Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC... Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với đường thẳng d.. Viết phương trình mặt phẳng a chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.. Viết p
Trang 1BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ
1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
và mặt phẳng P :x y z 0 Tìm tọa độ hai điểm M d N1, d2sao choMN song song
P và MN 6
Hd : Gọi M d 1 M t; t; 2t , N d 2 N 1 2t '; t ';1 t '
1 ' 0
12 '
13
P
t t
t
t
Vậy 11; 11; 22 , 11; 12 2;
13 13 13 13 13 13
M N
hoặc M(1;1;2), N ( 1;0;1)
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : 1: 4
1 2
x t
;
d2: 2
và d3: 1 1 1
Viết phương trình đường thẳng , biết cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC
Hd: Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3
Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)
A, B, C thẳng hàng và AB = BC B là trung điểm của AC
( 1 5 ) 2
4 (1 2 ) 2.(2 3 )
1 2 ( 1 ) 2( 3 )
Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0 Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1)
Đường thẳng đi qua A, B, C có phương trình 2
3 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(2;1;0 ,) (B 0; 5;0 ,- ) (C 1; 2;6- ) và mp(P): x+ + -y z 4=0
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC Tìm điểm I thuộc mp(P) sao cho IA IB IC+ + nhỏ nhất
HD: + Trọng tâm G của tam giác ABC: G(1; 2; 2- )
+ Ta có IA IB IC + + =3IG
Suy ra IA IB IC + + nhỏ nhất Û 3IG nhỏ nhấtÛ IGnhỏ nhất
Û I là hình chiếu vuông góc của G trên (P)
GV Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ 1
Trang 2+ Đường thẳng d qua G, vuơng gĩc với (P) cĩ phương trình
1 2 2
ì = + ïï
ïï =- + íï
ï = + ïïỵ
+ Tọa độ M là nghiệm của hệ
1
2 2
1 2
3
4 0
x
y
z
ì = +
ï + + - = ïỵ
Hay tọa độ M là (2; 1;3- )
4 Trong khơng gian tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và (P) cắt mặt cầu (S): x2+y2+ -z2 2x+6y- 4z+ =5 0 theo giao tuyến là một đường tròn cĩ bán kính bằng 2
HD; + (P) chứa Oy nên phương trình cĩ dạng Ax Cz+ = 0 với (A2+C2¹ 0)
(P) cắt (S) theo một đường tròn cĩ bán kính r=2Þ d I P( ,( ))= R2- r2 = 5
2
+
+ .Chọn A=1 Þ C=2 Vậy phương trình mặt phẳng (P) là
2 0
5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-2;1;-2) và đường thẳng d có phương
a Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với đường thẳng d
b Viết phương trình mặt phẳng ( )a chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
c Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;1;3) tiếp xúc với mặt phẳng ( )a
6 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M(0; 1;2) và N ( 1;1;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K0;0; 2 đến (P) đạt giá trị lớn nhất Hd: Gọi nA B C, , A2 B2 C2 0là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Phương trình mặt phẳng (P) cĩ dạng;
P : 2B C x By Cz B 2C 0
Khoảng cách từ K đến mp(P) là:
,
B
d K P
-Nếu B = 0 thì d(K,(P))=0 (loại)
-Nếu B 0thì
2
B
d K P
B
Dấu “=” xảy ra khi B = -C Chọn C = 1
Khi đĩ pt (P): x + y – z + 3 = 0
GV Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ 2
Trang 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A2;3;1 , B1; 2;0 , C1;1; 2 Tìm tọa
độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
HD: H x y z; ; là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi BH AC CH, AB H, ABC
2 15
1 2 2 3 0 0
29 2 29 1
15 15 15 3
2 8 3 5 1 0
3
x
BH AC
AH AB AC
z
I x y z; ; là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi AI BI CI I , ABC
AI AB AC
14
15
, ,
1 3
x
z
8 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường
thẳng : (d) x 1 3 y z 2
và (d’)
x 1 2t
y 2 t
z 1 t
Viết phương trình tham số của đường
thẳng () nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) CMR (d) và (d’) chéo nhau
và tính khoảng cách giữa chúng
GV Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ 3
Trang 4
d d , d '
11
u, u '
9 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 1
1
1 2
Đường thẳng d2 là
giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0
a Chứng minh rằng d1, d2 cắt nhau tại I, viết phương trình mặt phẳng chứa d1và d2
b Viết phương trình đường thẳng d3 qua A(2; 3; 1) tạo với hai đường thẳng d1và d2
tam giác cân đỉnh I.
10.Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 biết: 1
2
3
2
:
11.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình
t z
t y
t x
3 1
2 1
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách
từ d tới (P) là lớn nhất
12.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình
3
1 1
2
y z
x
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất
13
GV Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ
Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :
x 9 t
y 6 8t
z 5 15t
+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2
+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' 2;1;1
Ta có :
MM ' 2; 1;3
1 1 1 2 2 1
MM ' u, u ' 2; 1;3 ; ; 8 0
Do đó (d) và (d’) chéo nhau (Đpcm)
Khi đó :
4