Thi hs giỏi Toán 8 2011

Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật.. c/ Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vuông?. ĐÁP ÁN

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN ………

HỌ VÀ TÊN :

LỚP:

THI HS GIỎI VÒNG TRƯỜNG

NĂM HỌC : 20…-20….

MÔN: TOÁN – KHỐI LỚP 8

Chữ ký GT1

Chữ ký GT2 Số TT bài

Mật mã bài

GK1 Chữ ký GK2 Số TT bài

Mật mã bài

NỘI DUNG ĐỀ 1:

Bài 1:(4đ) phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a/ x4+2x3+x2

/ 18

25

c/ x8-28

d/ 3x2 -10x-8

Bài 2:(4đ) Chứng tỏ rằng :

a/ x2-6x+10 >0 với mọi x

b/ 4x-x2-5 <0 với mọi x

Bài 3 :(2đ) Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 3n3+10n2-5 chia hết cho giá trị của biểu thức 3n+1

Bài 4 :(4đ) Chứng minh rằng :

a/ (a+b)(a2-ab+b2)+(a-b)( a2+ab+b2)=2a3

b/ a3+b3 = (a+b)[(a-b)2+ab]

Bài 5 :(6đ) Cho tam giac ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC Goi M là điểm

đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC, F là giao điểm của DN và AC

a/ Tứ giác AEDF là hình gì ?Vì sao?

b/ Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì ?Vì sao?

c/ Chứng minh rằng M đối xứng N qua A

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM – ĐỀ 1 Bài 1:(4đ) phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a/ x4+2x3+x2= x2(x2+2x+1)=x2(x+1)2 (1đ)

b x − x= x x − = x x+  x− 

c/ x8-28=(x4)2-(24)2 = (x4+24)(x4-24)=(x4+16)(x2+22)(x2-22)

= (x4+16)(x2+4)(x+2)(x-2) (1đ) d/ 3x2 -10x-8 = 3x2 -12x+2x-8=3x(x-4)+2(x-4)= (x-4)(3x+2) (1đ)

Bài 2 (4đ)Chứng tỏ rằng :

a/(2đ) Ta có : x2-6x+10= (x-3)2+1

Mà (x-3)2 ≥0

Nên (x-3)2+1 >0

Vậy x2-6x+10 >0 với mọi x

b/(2đ) Ta có 4x-x2-5=- (x2-4x+4)-1=-(x-2)2-1

Mà -(x-2)2 ≤0

Nên -(x-2)2-1<0

Vậy 4x-x2-5 <0 với mọi x

Bài 3 :(2đ) Thực hiện phép chia, ta có 3n3+10n2-5=(3n+1)(n2+3n-1)-4

Để có phép chia hết thì 4M 3n+1

Vậy ta tìm số nguyên n sao cho 3n+1 là ước của 4 Khi đó ta có n=0; n=1; n=-1

Bài 4 :(4 đ) Chứng minh rằng :

a/(2đ) (a+b)(a2-ab+b2)+(a-b)( a2+ab+b2)=2a3

Ta có : (a+b)(a2-ab+b2)+(a-b)( a2+ab+b2)=a3+b3+ a3-b3=2a3 ( đpcm)

b/ (2đ)a3+b3 = (a+b)[(a-b)2+ab]

Ta có : (a+b)[(a-b)2+ab]= (a+b)[(a2-2ab+b2)+ab]= (a+b)(a2-ab+b2)= a3+b3

Bài 5 (6đ)

D

F E

N M

A

a/ (1đ) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật vì có ba góc vuông

Ta lại có :DE=EM ( D đối xứng với M qua AB)

Tứ giác ADBM có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành (1,5đ)

Hình bình hành ADBM có hai đường chéo vuông góc AB⊥DM nên là hình thoi Chứng minh tương tự, tứ giác ADCN là hình thoi (1,5đ)

c/ (2đ) ADBM là hình thoi => AM // BD => AM // BC

Chứng minh tương tự , AN //BC

Qua A ta có AM // BC và AN // BC nên M,A,N thẳng hàng (1)

Ta lại có AM=BD, AN=BC mà BD=DC nên AM=AN (2)

Từ (1) và (2) => A là trung điểm của NM, do đó M đố xứng với N qua A

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN ……….

HỌ VÀ TÊN :

LỚP:

THI HS GIỎI VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC : 20….-20… MÔN: TOÁN – KHỐI LỚP 8 Chữ ký GT1 Chữ ký GT2 Số TT bài Mật mã bài

ĐIỂM: LỜI PHÊ: Chữ ký GK1 Chữ ký GK2 Số TT bài Mật mã bài NỘI DUNG ĐỀ 2: Bài 1:(4đ) phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a/ (xy+1)2-(x+y)2

b/ 5x2-10xy+5y2-20z2

c/ x4-5x2+x3-5x

d/ 60x+18x2-6x3

Bài 2:(3đ) Cho biểu thức 34 2 2 2 3 3 3 1 x x A x x x + − = − − + Tìm điều kiện để A có nghĩa

Bài 3 :(3đ) Tìm a sao cho đa thức x4-x3+6x2-x+a chia hết cho đa thức x2-x+5

Bài 4 :(3đ) Cho a+b+c =0 Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc

Bài 5 :(7đ) Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm

của AB và CD

a/ Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì ?Vì sao?

b/ Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật

c/ Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vuông ?

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM -ĐỀ 2

Bài 1:(4đ) phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a/ (xy+1)2-(x+y)2=[(xy+1)+(x+y)][(xy+1)-(x+y)]

=(xy+x+y+1)(xy-x-y+1) (1đ)

b/ 5x2-10xy+5y2-20z2=5(x2-2xy+y2-4z2)=5[(x2-2xy+y2)-(2z)2]

=5[(x-y)2-(2z)2]=5(x-y-2z)(x-y+2z) (1đ)

c/ x4-5x2+x3-5x=x(x3-5x+x2-5)=x[x2(x+1)-5(x+1)]=x(x+1)(x2-5)

= x x( + 1)(x− 5)(x+ 5) (1đ)

d/ 60x+18x2-6x3 =-6x(x2-3x-10)=-6x(x2-5x+2x-10)

=-6x[(x2-5x)+(2x-10)]=-6x(x-5)(x+2) (1đ)

Bài 2:(3đ) Cho biểu thức 34 2 2

A

=

Ta có : 3x3-x2-3x+1=x2(3x-1)-(3x-1)=(3x-1)(x2-1)=(3x-1)(x+1)(x-1) ≠0 3x-1≠0 => x≠1/3 ;

x+1≠0 => x≠-1 ;

x-1 ≠0 => x≠1

Vậy A có nghĩa  x≠1/3, x≠-1, x≠1

Bài 3 (3đ): Tìm a sao cho đa thức x4-x3+6x2-x+a chia hết cho đa thức x2-x+5

Thực hiện phép chia x4-x3+6x2-x+a cho x2-x+5, ta được :

x4-x3+6x2-x+a= (x2-x+5)(x2+1)+(a-5) (2đ)

Để x4-x3+6x2-x+a chia hết cho đa thức x2-x+5 thì a-5=0 => a=5 (1đ)

Bài 4 :(3đ) Cho a+b+c =0 Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc

Ta có a+b+c =0 => a+b=-c

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)

Do đó : a3+b3+c3=(a+b)3-3ab(a+b)+c3=-c3-3ab(-c)+c3=3abc

Bài 5 : (7đ)

C F

D

M

N

B E

A

a/(2đ) Tứ giác AEFD có AE=EF=DF=DA nên là hình thoi (1đ)

Tứ giác AECF có AE=CF và AE//CF nên là hình bình hành (1đ)

b/(3đ)Tứ giác AECF là hình bình hành nên EN//FM

Tứ giác EBFD là hình bình hành vì có EB//DF và EB=DF nên EM//FN

Do đó tứ giác EMFN là hình bình hành ( 1,5đ) Lại có AEFD là hình thoi nên AF⊥ED, hay ¶ 90o

M =

Hình bình hành AEFD có M¶ = 90o nên là hình chữ nhật ( 1,5đ) c/(2đ) Hình chữ nhật là hình vuông

 ME=MF  DE=AF ( vì DE=2ME, AF=2MF)

 hình thoi AEFD có hai đường chéo bằng nhau

 AEFD là hình vuông  Â=900

 hình bình hành ABCD là hình chữ nhật

Như vậy, hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật ( với điều kiện AB=2CD)