Phõn tớch biểu thức A thành nhõn tử... Tính tổng: HD HE HF b... Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF.d.. Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN.. Chứng minh đờ
Trang 1
Phòng Giáo dục và đào tạo Duy xuyấN
năm học 2009 - 2010
Môn: Toán - lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút)
1 3 6
6 4
3
2
x x x
x
x
2
10 2
2
x
x x
a Rỳt gọn M
b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất
Giải :
1 3 6
6 4
3
2
x x x
x
x
1 ) 2 ( 3
6 )
2 )(
2 (
2
x x
x x x x
= x 2((x x2)(2) (x 2)x 2)
= (x 2)(6x 2)
2
10
2
2
x
x
x = ( 2)( 2) (10 2)
2
x
= 6
2
x
) 2 )(
2 (
x
2 1
b)+ Nếu x 2 thì M 0 nên M không đạt GTLN
+ Vậy x 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 – x) phải là GTNN,
Mà (2 – x) là số nguyên dơng 2 – x = 1 x = 1
Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1
Bài 2:(3 điểm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a Phõn tớch biểu thức A thành nhõn tử
b Chứng minh: Nếu a, b, c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc thỡ A < 0 Giải :
a) A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc)
= (b c ) 2 a2 (b c )2 a2
= (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)
b) Ta cú: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giỏc)
Tơng tự: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) <0 ; (b + c –a ) >0
Vậy A< 0
Bài 3:(3 điểm)
a Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014
b Cho cỏc số x,y,z thỏa món đồng thời:
x + y + z = 1: x2+ y2+ z2= 1 và x3+ y3+ z3= 1
Tớnh tổng: S = x2009+y2010+ z2011
Giải :
Trang 2a) A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010
Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0
Nờn:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 2010
Dấu ''='' xảy ra x – y = 0 và y – 2 = 0 x = y = 2
Vậy GTNN của A là 2010 tại x = y =2
b)Ta cú: (x + y + z)3= x3+ y3+ z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x)
kết hợp cỏc điều kiện đó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0
Một trong cỏc thừa số của tớch (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0
Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = 1 z = 1, lại kết hợp với đ/k: x2 + y2+ z2= 1 x = y = 0
Vậy trong 3 số x,y,z phải cú 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1,
Nờn tổng S luụn cú giỏ trị bằng 1
Bài 4:(3 điểm)
a Giải phơng trình:
20 9
1 2
x
30 11
1 2
x
42 13
1 2
x
18 1
b Giải phơng trình với nghiệm là số nguyên:
x( x2 + x + 1) = 4y( y + 1)
Giải :
a)Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: x 4; 5; 6; 7 )
(x 4)(x 5) ( x 5)(x 6) ( x 6)(x 7) = 1
18
x x ) + ( 1 1
x x ) + ( 1 1
18
= 1
18 (x + 4)(x +7) = 54
(x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phơng trình là: S = 13; 2
b) + Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x2+ 1) = (2y + 1)2
+ Ta chứng minh (x + 1) và (x2+ 1) nguyên tố cùng nhau !
Vì nếu d = UCLN (x+1, x2+ 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ)
2 1
1
2
2 1 1
1
2d mà d lẻ nên d = 1
+ Nên muốn (x + 1)(x2+ 1) là số chính phơng
Thì (x+1) và (x2+ 1) đều phải là số chính phơng
Đặt:
2
1
1
(k + x)(k – x) = 1 1
0
k x
0
k x
+ Với x = 0 thì (2y + 1)2= 1 y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt)
Vậy nghiệm của phơng trình là: (x;y) =(0;0),(0; 1)
Bài 5:(7 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có các đờng cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
a Tính tổng: HD HE HF
b Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC2
Trang 3c Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF.
d Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN
Chứng minh đờng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định Giải :
O
K I
N
M
E
H F
A
D B
C
a)Trớc hết chứng minh:
HD
( ) ( )
S HBC
S ABC
( )
( ) ( )
Nên HD HE HF
( )
S ABC
HD HE HF
b)
Trớc hêt chứng minh BDH BEC
BH.BE = BD.BC
Và CDH CFB CH.CF = CD.CB
BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC2 (đpcm)
c) Trớc hết chứng minh: AEF ABC AEF ABC
Và CDE CAB CED CBA
Tơng tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE
Vậy H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác DEF
nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
d) Gọi O là giao điểm của các đờng trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có
OMH = ONC (c.c.c) OHM OCN (1)
Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên:OHC OCH (2)
Từ (1) và (2) ta có: OHC OHB HO là phân giác của góc BHC
Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của góc BHC nên O là
điểm cố định
Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O