CHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘCHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Trang 1Mặt phẳng tọa độ
A Tóm tắt lý thuyết
1 Các định nghĩa
* Hệ trục toạ độ Oxy gồm hai trục tọa độ Ox, Oy vuông góc với
nhau Véc-tơ đơn vị trên Ox là i
, véc-tơ đơn vị trên Oy là j
* Tọa độ của véc-tơ: a x;y
a x i y j
* Tọa độ của điểm: M x;y OM x;y
y
x
j
i
2 Tính chất
* Tính chất của tọa độ véc-tơ: Cho a x;y
và b x';y '
, ta có
+) a b
x x '
y y '
; +) a b x x ';y y '
;
+) ka kx;ky
; +) a b xx' yy '
;
+) a x 2 y 2
, b 0
);
+) a b
xx ' yy ' 0; +) a b
k x kx'
y ky '
xy ' x ' y
Đặc biệt: khi cả y và y ' đều khác 0, ta có a b
x y
x y
* Tính chất của tọa độ điểm: Giả sử A x ;y ;z A A A, B x ;y ;z B B B, C x ;y ;z C C C, ta có
+) AB x B x ; y A B y A
, AB x B x A2 y B y A2 ; +) M x M ;y M là trung điểm của AB
x A x B
y A y B
x y
;
+) G x ;y G G là trọng tâm tam giác ABC
x A x B x C
y A y B y C G
x y
Trang 2
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 Cho hai véc-tơ a 1;2
, b 2; 4
1) Tìm tọa độ của các véc-tơ a b
, a b
, 4a 3b
2) Tính độ dài của hai véc-tơ a
, b
, tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ a
, b
Góc
giữa hai véc-tơ a
, b
là góc nhọn hay góc tù
Giải
1) Áp dụng công thức tính tọa độ của véc-tơ ta có a b 3; 2
, a b 1;6
Áp dụng công thức tính tọa độ của tích một số với một véc-tơ ta có 4a 4;8
, 3b 6; 12
, suy ra 4a 3b 2;20
2) Áp dụng công thức tính tính độ dài của véc-tơ ta có a 5
, b 2 5
Áp dụng công thức tính tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ ta có
a b 6
5
5 2 5
a b
cos a, b 0
nên a, b
là góc tù
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có A 1;2 , B 3;7 , C 2; 6 Xác định tọa độ trung điểm các cạnh và trọng tâm của tam giác nói trên
Giải
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Sử dụng công thức xác định trung điểm của đoạn thẳng ta có 9
2
M 2; , 5 1
2 2
2
P ; 2 Gọi G là trọng tâm của tam
giác, theo công thức xác định tọa độ trọng tâm của tam giác thì G 2;1
Ví dụ 3 Cho các điểm A 1;4 , B 2; 3 , C 1;18, D 4;5 Chứng minh ba điểm A ,B,
C thẳng hàng và ba điểm A, B, D không thẳng hàng
Giải
Ta có AB 1; 7
, AC 2;14
Ta thấy AC 2AB
, suy ra hai véc-tơ AC
và AB
cùng phương, tức là A, B, C thẳng hàng
Trang 3Ta có AD 5;1
Vì 1 7
nên AB
và AD
không cùng phương, suy ra A, B, D không thẳng hàng
Ví dụ 4 Cho hai véc-tơ a m; 3
, b 2;2m 1
(m là tham số) Tìm m để hai véc-tơ đã
cho cùng phương
Giải
Hai véc-tơ đã cho cùng phương khi và chỉ khi m 3
, hay 2m 2 m 6 0 Giải phương trình này ta được m 2 hoặc 3
2
m
Ví dụ 5 Cho hai điểm A 1;2 và B 3;7 Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục tọa độ
Giải
Ta có AB 4;5
C thuộc trục hoành thì tọa độ C có dạng C c;0 , suy ra AC c 1; 2
Từ
điều kiện A, B, C thẳng hàng ta có c 1 2
hay 13
5
c Vậy 13
5
Tương tự, D thuộc trục tung nên tọa độ D có dạng D 0;d , suy ra AD 1;d 2
Từ điều kiện
A, B, C thẳng hàng ta có 1 d 2
hay 13
4
d Vậy 13
4
Ví dụ 6 Cho A 1;2 , B 5;6 , C 3; 1
1) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Giải
1) Ta có AB 4;4
, AC 2; 3
Vì 4 4
2 3 nên A, B, C không thẳng hàng
2) Vì A, B, C không thẳng hàng nên tồn tại điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Giả sử D a;b , suy ra DC 3 a; 1 b
.ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC
C
A
B
D
Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, ta
có 4 3 a
Giải hệ ta được a 1 và
b 5 Vậy D 1;5
Trang 4Ví dụ 7 Cho tam giác ABC Biết M 1;2, N 3; 2, P 5;0 lần lượt là toạ độ trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác
Giải
Ta thấy AM PN
Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai
véc-tơ, ta có A
A
Suy ra A 7;4
Vì B đối xứng với A qua M nên B M A
,
suy ra B 9;0
N
A
Vì C đối xứng với B qua N nên C N B
, suy ra C 3; 4 Vậy A 7;4 ,
B 9;0 , C 3; 4
Ví dụ 8 Cho tam giác ABC Biết A 1;2, B 3;4 và C thuộc trục hoành Tìm tọa độ điểm
C sao cho trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng đi qua B và gốc tọa độ O
Giải
Điểm C thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng C c;0 Theo công thức xác định tọa độ trọng
tâm thì
x A x B x C c 2
y A y B y C
x
, hay c 2
3
G ;3 Ta có c 2
3
, OB 3;4
G thuộc
đường thẳng qua B và gốc tọa độ khi và chỉ khi OG
và OB
cùng phương, có nghĩa là
c 2
3 3
3 4
Giải phương trình này ta được 35
4
c Vậy 35
4
Ví dụ 9 Cho A 1;2 và B 3;7 Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC
cân tại C
Giải
Tam giác ABC cân tại C khi và chỉ khi AC BC và A, B, C không thẳng hàng Điểm C
thuộc trục tung nên tọa độ C có dạng C 0;c Ta có
Trang 5
AC 1;c 2
AC 2 c 2 4c 5, BC 3;c 7
BC 2 c 2 14c 58 Phương trình AC BC tương đương với c 2 4c 5 c 2 14c 58 Phương trình này có
nghiệm duy nhất 53
10
c Khi đó AB 4;5
, AC 1; 33
10
Vì 4 5
33 1 10
nên A, B, C không
thẳng hàng Vậy C 0; 53
10
Ví dụ 10 Cho A 3; 2, B 1; 3 Tìm điểm C thuộc trục hoành sao cho ACB 45
Giải
Điểm C thuộc trục hoành nên tọa độ C có dạng C c;0
Ta có CA 3 c; 2
, CB 1 c;3
Sử dụng công thức tính cô-sin của góc giữa hai véc-tơ ta
có
2
Do đó điều kiện ACB 45
tương đương đương với 1
cos ACB
2
, hay
2
2
Ta thấy c 2 4c 9 0 với mọi c nên bình phương hai vế phương trình trên ta được phương
trình tương đương
2 2
2
Phương trình nói trên tương đương với
c 1 c 2 c 2 5c 16 0 c 1
(c 2 5c 16 0 c)
Vậy C 1;0 hoặc C 2;0
Trang 6Ví dụ 11 Cho A 1;2 , B 4;5 , C 2; 7.
1) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh một tam giác
2) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC
Giải
1) Ta có AB 3;3
, BC 6; 12
Vì 3 3
6 12
nên A, B, C không thẳng hàng Do đó A,
B, C là ba đỉnh một tam giác
2) Giả sử I a;b Ta có
IA 1 a;2 b
IA 2 1 a 2 2 b 2 a 2 b 2 2a 4b , 5
IB 4 a;5 b
IB 2 4 a 2 5 b 2 a 2 b 2 8a 10b 41,
IC 2 a; 7 b
IC 2 2 a2 7 b2 a 2 b 2 4a 14b 53
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi IA IB
Điều này tương đương
với hệ
Giản ước hai vế từng phương trình của hệ ta được hệ tương đương
a 13
Vậy I 13; 7
Ví dụ 12 Cho tam giác ABC với A 2; 3 , B 2;0, C 6;3 Tìm tọa độ D là chân đường phân giác trong góc A
Giải
Ta có
AB 4; 3
AB 16 9 5, AB 4;0
AC 16 0 4
D là chân đường phân giác trong góc A nên DB DC
và
Trang 7DB DC
AB AC , hay 4DB 5DC
Suy ra 4DB 5DC 0
Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, điều kiện này tương đương
với 4 2 a; b 5 6 a;3 b 0;0, hay 9a 22 0
Giải hệ ta được 22
9
3
b
Vậy 22 5
f x x 2x 5 x 2x 10
Giải
Ta có f x 1 x 2 2 2 1 x 2 3 2 Đặt u 1 x;2
, u 1 x;3
Áp dụng bất
đẳng thức u v u u
(đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u v
), ta có
f x 2 5 29
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u v
, hay 1 x 2 0
Phương trình có nghiệm duy nhất 1
5
x Vậy giá trị nhỏ nhất của f x là 29 (đạt đươc khi 1
5
x )
Trang 8C Bài tập
Bài 1 Cho a 1;2
, b 2;3
, c 3;7
Hãy biểu diễn c
qua a
, b
Bài 2 Cho A 1;1, B 1;2 , C 4;0 Tìm toạ độ điểm M sao cho:
1) AM 2BC 3AC
2) AM 2BM 3CM 0
3) ABCM là hình bình hành Tìm toạ độ giao điểm các đường chéo
Bài 3 Cho A 3;4, B 4;0 Tìm tọa độ điểm C sao cho gốc toạ độ O 0;0 là trọng tâm
ABC
Bài 4 [ĐHD04] Cho tam giác ABC có các đỉnh A 1;0, B 4;0 , C 0;m với m 0 tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông tại G
Đáp số: m
3
G 1; , m 3 6
Bài 5 Cho A 1; 1 , B 2;4 Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục toạ độ
Bài 6 Cho A 2;5, B 2;4 Hãy tìm toạ độ giao điểm của đường trung trực d của AB với các trục toạ độ
Đáp số: Giao điểm là 9
2
I 0;
Bài 7 Cho A 1; 2 , B 3;4 Tìm tọa độ điểm C Ox sao cho
1) Tam giác ABC vuông tại A
2) Tam giác ABC cân tại A
Đáp số: 1) C 5;0 2) C 7;0 hoặc C 5;0
Bài 8 Cho A 3;6, B 1; 2 , C 6;3 Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
Đáp số: Tâm đường tròn ngoại tiếp là 5 1
4 2
Bài 9 Cho ABC với A 2;4 , B 2;1 , C 6;1
1) Tính độ dài đường phân giác trong góc A
2) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp ABC
Trang 9Bài 10 Cho A 3;4, B 4;0 Tìm toạ độ điểm C sao cho trọng tâm ABC nằm trên trục tung và cách trục hoành một đoạn có độ dài bằng 1
Bài 11 Cho ABC Biết A 1;2 , M 0;1 là trung điểm của AB, N 3; 1 là trung điểm của AC Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác
Bài 12 Cho ABC Biết A 1;2 , M 0;1 là trung điểm của AB, P 3;1 là trung điểm của
BC Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác
Bài 13 Cho ABC Biết A 3; 4 và các trung tuyến đi qua B, C lần lượt là Ox, Oy Hãy
xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác
Đáp số: B 3;0 , C 0;4
Bài 14 Cho ABC Biết A 1;3 và các trung trực ứng với các cạnh AB, AC lần lượt là
Ox, Oy Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác
Bài 15 Cho ABC Biết A 2;5 và các trung trực ứng với các cạnh AB, BC lần lượt là
Ox, Oy Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác
Bài 16 Cho A 1;2 , B 3;4 Tìm trên trục hoành điểm M sao cho
1) MA MB nhỏ nhất
2) MA MB lớn nhất
Bài 17 Cho A 2;4 Tìm B Ox, C Oy sao cho chu vi ABC đạt giá trị nhỏ nhất Giá trị nhỏ nhất nói trên bằng bao nhiêu?
Bài 18 Chứng minh với mọi x , y, z , t ta có: x 2 y 2 z 2 t 2 x z2 y t2 Hãy chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào