Hãy xác định toạ độ các đỉnh cịn lại của tam giác.. Hãy xác định toạ độ các đỉnh cịn lại của tam giác.. Hãy xác định toạ độ các đỉnh cịn lại của tam giác.. Bài toán 7 Viết phương trình
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Chủ đề 1 Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng
Bài 1 Trên mặt phẳng toạ độ, cho u (x, y)
, u (x , y )
Chứng minh rằng u
, u
cùng
phương khi và chỉ khi xy x y 0
Bài 2 Trên mặt phẳng toạ độ, cho A(1, 2) , B(3, 4) , C(5, 6) Chứng minh A, B, C thẳng
(c) ABCM là hình bình hành Tìm toạ độ giao điểm các đường chéo
Bài 6 Trên mặt phẳng toạ độ, cho A( 2, 5) , B(2, 4) Hãy tìm toạ độ giao điểm của đường
trung trực của AB với các trục toạ độ
Bài 7 Trên mặt phẳng toạ độ, cho A( 3, 6) , B(1, 2) , C(6, 3) Tìm toạ độ tâm đường trịn
ngoại tiếp ABC
Bài 8 Trên mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A( 1,1) , B(3, 2) , C( 1 , 1)
2
(a) Tính chu vi ABC
(b) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp ABC
Bài 9 Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC với A(2, 4) , B(2,1) , C(6,1)
(a) Tính độ dài đường phân giác trong gĩc A
(b) Tìm toạ độ tâm đường trịn nội tiếp ABC
Bài 10 Trên mặt phẳng tọa độ cho các điểm A( 3, 4) , B( 4, 0) Tìm tọa độ điểm C sao
cho gốc toạ độ O(0, 0) là trọng tâm tam giác
Bài 11 Trên mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-3, 4), B(-4, 0) Tìm toạ độ điểm C sao
cho trọng tâm ABC nằm trên trục tung và cách trục hồng một đoạn cĩ độ dài bằng 1
Trang 2Bài 12 Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC Biết A(1, 2) , M(0,1) là trung điểm của
AB, N(3, 1) là trung điểm của AC Hãy xác định toạ độ các đỉnh cịn lại của tam giác
Bài 13 Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC Biết A(1, 2) , M(0,1) là trung điểm của
AB, P(3,1) là trung điểm của BC Hãy xác định toạ độ các đỉnh cịn lại của tam giác
Bài 14 Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC Biết M( 1, 2) , N( 3, 2) , P(5, 0) lần lượt
là toạ độ trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác Hãy xác định toạ độ các đỉnh của
tam giác
Bài 15 Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC Biết A( 3, 4) và các trung tuyến đi qua B,
C lần lượt là Ox, Oy Hãy xác định toạ độ các đỉnh cịn lại của tam giác
Bài 16 Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC Biết A(1, 3) và các trung trực ứng với các
cạnh AB, AC lần lượt là Ox, Oy Hãy xác định toạ độ các đỉnh cịn lại của tam giác
Bài 17 Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC Biết A(2, 5) và các trung trực ứng với các
cạnh AB, BC lần lượt là Ox, Oy Hãy xác định toạ độ các đỉnh cịn lại của tam giác
Bài 18 Trên mặt phẳng toạ độ cho A(1, 2) , B(3, 4) Tìm trên trục hồnh điểm M sao
cho
(a) (MA MB) nhỏ nhất
(b) | MA MB | lớn nhất
Bài 19 Cho A(2, 4) Tìm B Ox, C Oy sao cho chu vi ABC đạt giá trị nhỏ nhất
Giá trị nhỏ nhất nĩi trên bằng bao nhiêu?
Bài 20 Chứng minh với mọi x , y, z , t ta cĩ:
x y z t (x z) (y t) Bài 21 Tìm trên trục hồnh điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P đến A(1, 2) và
B(3, 4) đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 22 Cho M (x , y ) , 1 1 1 M (x , y ) , 2 2 2 M (x , y ) lần lượt là trung điểm các cạnh 3 3 3 BC,
CA, AB của ABC Hãy xác định tọa độ của A, B, C theo tọa độ của M , 1 M , 2 M 3
Trang 3Chủ đề 2 Phương trình tổng quát của đường thẳng
* Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
+) : ax c 0, (a 0) song song hoặc trùng với Oy (Hình 2)
+) : by , ( c 0 b 0) song song hoặc trùng với Ox (Hình 3)
+) : ax by 0, (a 2 b 2 0) đi qua gốc tọa độ (Hình 4)
+) Phương trình đường thẳng theo hệ số gĩc: : y kx m , (k được gọi là hệ số gĩc của )
Nếu k 0 đặt M Ox, gọi Mt là nửa đường thẳng ở phía trên Ox Khi đĩ
x
O
y
Trang 4Hình 5 Hình 6
II Các bài toán cơ bản
Bài toán 1 Viết phương trình đường thẳng biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc đường
Bài toán 5 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước
Phương trình đường thẳng qua M(x , y ) và có hệ số góc 0 0 k là: y k(x x ) 0 y 0
Bài toán 6 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Quy về Bài toán 2: đường thẳng đi qua hai điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A và
Trang 5Bài toán 7 Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng
Quy về Bài toán 1: trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của
đoạn thẳng này và nhận AB
làm vectơ pháp tuyến
Bài toán 8 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và tạo với Ox góc cho trước
đi qua M(x , y ) và tạo với 0 0 Ox góc ( 0 o 90 o) : y k(x x ) 0 y 0
Bài toán 9 Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng
Giả sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng , ta làm như sau
* Lập phương trình đường thẳng ' qua M, vuông góc với (Bài toán 4)
* H là hình chiếu vuông góc của M lên H '
Bài toán 10 Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một đường thẳng
Giả sử cần tìm điểm M ' đối xứng với điểm M qua đường thẳng , ta làm như sau
* Lập phương trình đường thẳng ' qua M, vuông góc với (Bài toán 4)
* Tìm giao điểm I của và '
* M ' đối xứng với M qua ' M ' đối xứng với M qua I
III Bài tập
* Các bài toán lập phương trình đường thẳng đơn giản
Bài 1 Lập phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau
(f) đi qua hai điểm A(2, 4) và B(2, 1)
(g) đi qua hai điểm A(3, 0) và B(0, 1)
(h) là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút A( 1, 7) và B(2, 4)
Trang 6Bài 2 Tìm tọa độ điểm A trong các trường hợp sau
(a) A là giao điểm của các đường thẳng : 3x 4y 3 0 và ' : 10x 4y 10 0
(b) A là giao điểm của các đường thẳng : x 2y 5 0 và ' : 4x 5y 14 0
(c) A là hình chiếu vuông góc của B(3, 1) lên đường thẳng : x 3y 4 0
(d) A đối xứng với B( 1, 2) qua đường thẳng : x 2y 0
* Các bài toán về tam giác
Bài 3 Cho tam giác ABC với A(1, 2) , B( 1, 2) , C(3, 3) Hãy lập phương trình các cạnh và
các đường cao của tam giác
ĐS: AB : 2x y 0, BC : x 4y 9 , CA : 5x 0 2y 9 0 Gọi d , A d , B d lần lượt là các C
đường cao qua A, B, C, ta có d A : 4x y 2 0, d : 2x B 5y 8 0, d : x C 2y 3 0
Bài 4 Viết phương trình các cạnh của ABC biết trung điểm của các cạnh là M(2,1) , N(5, 3) ,
Bài 8 Cho ABC có (AB) : 5x 3y 2 và các đường cao đi qua 0 A, B có phương trình
lần lượt là (d ) : 4x 1 3y 1 0 và (d ) : 7x 2 2y 22 Lập phương trình hai cạnh còn lại và 0
đường cao còn lại của tam giác
Bài 9 [ĐHD04] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh
A 1;0 , B (4;0) , C 0;m với m 0 tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m
xác định m để tam giác GAB vuông tại G
Bài 10 [ĐHB03] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có
Trang 7giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
ĐS: A(0, 2)
Bài 11 [CĐ09Chuẩn] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có C 1;2 ,
đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình l5x y-9 và 0
Bài 14 Cho ABC có M( 1,1) là trung điểm của một cạnh, hai cạnh còn lại có phương trình
là x y 2 0, 2x 6y 3 Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác 0
Bài 15 Cho ABC có phương trình hai cạnh là 5x 2y 6 0 và 4x 7y 21 Viết 0
phương trình cạnh còn lại của tam giác biết gốc tọa độ chính là trực tâm của tam giác
ĐS: Giả sử AB : 5x 2y 6 0, BC : 4x 7y 21 0 CA : y 7 0
Bài 16 Cho ABC với A(2, 1) và hai phân giác trong của các góc B và C lần lượt là
B
(d ) : x 2y 1 0 và (d ) : x C y 3 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác
Bài 17 [ĐHD09] Cho ABC có M(2, 0) là trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến và đường
cao đi qua A có phương trình lần lượt là 7x 2y 3 0 và 6x Viết phương trình y 4 0
đường thẳng AC
Bài 18 [ĐHA02] Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại
A, phương trình đường thẳng BC là 3x y 3 0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và
bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Trang 8Bài 19 [ĐHB07] Cho A 2; 2 và d : x 1 y – 2 , 0 d : x 2 y – 8 Tìm toạ độ các điểm 0 B
và C lần lượt thuộc d và 1 d sao cho tam giác 2 ABC vuông cân tại A
Bài 20 [ĐHB08] Hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông
góc của C trên đường thằng AB là H 1; 1, đường phân giác trong của góc A có phương
trình x – y 2 và đường cao kẻ từ 0 B có phương trình 4x 3y – 1 0
Bài 21 [ĐHA10NC] Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6) , đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x Tìm tọa độ các đỉnh y 4 0 B và C,
E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho
ĐS: B(0; 4) , C( 4;0) hoặc B( 6;2) , C(2; 6)
Bài 22 [ĐHD10Chuẩn] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 3; 7 ,
trực tâm là H 3; 1 , tâm đường tṛòn ngoại tiếp là I 2;0 Xác định toạ độ đỉnh C, biết C
có hoành độ dương
ĐS: C 2 65;3
* Các bài toán về hình thang
Bài 23 Cho hình thang ABCD (AB / /CD) Biết A(2, 2) , B(4,1) , C( 3,1) Tìm tọa độ đỉnh D
của hình thang biết rằng CD 3AB
ĐS: D( 9, 4)
Bài 24 Cho hình thang ABCD (AB / /CD) Biết đường thẳng AB cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng 5
3, AD : x 2, C nằm trên trục hoành, B có tung độ bằng hai lần hoành độ và
đường trung bình của hình thang có phương trình d : x 3y 1 Hãy tìm tọa độ các đỉnh của 0
hình thang
ĐS: A( 2,1) , B(1, 2) , C(7, 0) , D( 2, 3)
Bài 25 Cho hình thang ABCD (AB / /CD) Biết A(-1,1) , BC : x 4y 9 0, đường trung
bình của hình thang có phương trình d : y 1 x
2
và DC 2AB Hãy lập phương trình các cạnh
và xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang
ĐS: B(1, 2) , C(5,1) , D( 1, 2) AB : x 2y 3 0, CD : x 2y 3 0, DA : x 1 0
Trang 9Bài 26 Cho hình thang cân ABCD (AB / /CD) Biết M( 3, ) 1
2
là trung điểm của AB,
AD : y 3x 12 và đường trung bình của hình thang có phương trình d : 2x 4y 3 Hãy 0
lập phương trình các cạnh còn lại và xác định tọa độ các đỉnh của hình thang
ĐS: A(-4, 0) , B(-2,1) , C(1, 0) , D(-5, -3)
* Các bài toán về hình bình hành
Bài 27 Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình các cạnh của hình bình hành ABCD biết rằng
hai đường chéo của hình hành này cắt nhau tại gốc tọa độ và các đỉnh A, B, C, D lần lượt
Bài 28 Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD biết rằng
hai đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại I 3 3 ,
CD : x 3y , DA : 3x 1 0 y 13 0
Bài 29 [ĐHA09Chuẩn] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có
tâm I 6;2 là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M 1;5 thuộc đường thẳng
AB và trung điểm E của CD thuộc đường thẳng : x Viết phương trình đường y 5 0
, phương trình đường thẳng AB là x – 2y 2 và 0 AB 2AD Tìm tọa độ các
đỉnh A, B, C, D biết rằng A có hoành độ âm
ĐS: A( 2, 0) , B(2, 2) , C(3, 0) , D( 1, 2)
* Các bài toán về hình vuông
Trang 10Bài 31 Cho hình vuông ABCD có I(1, 2) là giao điểm của hai đường chéo A và C lần lượt
nằm trên các đường thẳng d : x 1 y 3 0 và d : x 2 2y 5 0 Biết thêm rằng B có hoành
độ dương Hãy xác định tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của hình vuông
là trung điểm của CD Biết thêm rằng A có
hoành độ âm, hãy xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông
ĐS: A(-2, 2) , B(2,1) , C(1, -4) , D(-3, -2)
Bài 33 Cho hình vuông ABCD có A( 4,1) và đường chéo BD có phương trình y 5x 8
Hãy xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông
ĐS: A(-4,1) , B(-1, 3) , C(1, 0) , D(-2, -2) hoặc A(-4,1) , B(-2, 2) , C(1, 0) , D(-1, 3)
Bài 34 [ĐHA05] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 2 đường thẳng d : x – y 1 và 0
2
d : 2x y – 1 Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông 0 ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d , 1 C
thuộc d và các đỉnh 2 B, D thuộc trục hoành
Trang 11Chủ đề 3 Phương trình tham số của đường thẳng
I Tĩm tắt lý thuyết
1 Phương trình tham số của đường thẳng
* Bài tốn: Lập phương trình của đường thẳng , biết qua M(x , y ) 0 0
* Chú ý 1 (về ý nghĩa của phương trình tham số):
+) Thay mỗi t vào phương trình tham số (0.1), ta được một điểm M(x, y)
+) Điểm M(x, y) thì cĩ một số t sao cho x , y thỏa mãn hệ
* Chú ý 2: một đường thẳng luơn cĩ vơ số phương trình tham số
2 Phương trình chính tắc của đường thẳng
Nếu a 0, b 0, từ (0.1), khử tham số t, ta được
Ví dụ 1 Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu cĩ) và phương trình tổng
quát của đường thẳng trong các trường hợp sau:
(a) qua M(1, 6) và nhận u(2, 1)
Trang 13 Từ đó suy ra phương trình tổng quát : 2x y 4 0
Ví dụ 2 Lập phương trình tham số của đường thẳng trong các trường hợp sau:
Trang 15Chủ đề 4 Khoảng cách và gĩc
+) M và N nằm khác phía đối với (ax M by M c)(ax N by N c) 0
+) M và N nằm cùng phía đối với (ax M by M c)(ax N by N c) 0
3 Hai đường phân giác của hai gĩc tạo bởi hai đường thẳng
Cho
: a x b y c 0 : a x b y c 0
Trang 16Bài 2 Cho tam giác ABC Biết A( 2, 0) , B(4, 2) , S( ABC) 10 và C nằm trên đường
, A(2, 3) , B(3, 2) và trọng tâm G của tam giác thuộc
đường thẳng có phương trình (d) : 3x Tìm tọa độ đỉnh y 8 0 C
Bài 4 [ĐHA06] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các đường thẳng d : x 1 y 3 0,
2
d : x y 4 , 0 d : x 3 2y 0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d sao cho 3
khoảng cách từ M đến đường thẳng d bằng hai lần khoảng cách từ 1 M đến đường thẳng d 2
Bài 5 [ĐHB09NC] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có
đỉnh A( 1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng x Xác định toạ độ các điểm y 4 0 B
và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18
Bài 6 [CĐ09NC] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho các đường thẳng
1 :x 2y 3 0
và 2 :x y 1 0 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho 1
khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng bằng 2 1
2 Bài 7 [ĐHB04] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A 1;1 , B 4; 3 Tìm điểm C
thuộc đường thằng x – 2y – 1 sao cho khoảng cách từ 0 C đến AB bằng 6
Bài 8 [ĐHD10NC] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A 0;2 và là đường thẳng đi
qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên Viết phương trình đường thẳng , biết
(a) d(d,d ') 2
(b) d(d,d ') 3
Trang 17* Các bài tập về đường phân giác
Bài 11 Viết phương trình hai đường phân giác của hai góc tạo bởi hai đường thẳng d và 1 d 2
trong các trường hợp sau
trên các đường thẳng có phương trình 3x 4y 0, 4x 3y 0 và 5x 12y 101 0
Bài 13 Cho A(1, 2) , B(3, 4) và C( 1, 2) Hãy lập phương trình các đường phân giác trong và
xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp của ABC
Bài 15 Lập phương trình đường thẳng qua P(2, 1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường
thẳng d : 2x 1 y 5 0 và d : 3x 2 6y 1 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
C 4; 1 , phân giác trong góc A có phương trình x y – 5 Viết phương trình đường thẳng 0
BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương
* Các bài tập về góc
Trang 18Bài 17 Cho d : y 1 k x 1 b 1 và d : y 2 k x 2 b 2 Biết k k 1 2 Chứng minh rằng 1
m 1
Bài 20 Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:
(a) qua M(1,1) và tạo với d : x 2t
