Khái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phân
Trang 1THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
Khái niệm nguyên hàm và tích phân
A Tóm tắt lý thuyết
1 Khái niệm
Nguyên hàm: Cho hàm f xác định trên D Hàm F là một nguyên hàm của hàm
f nếu F' x f x với mọi xD
Họ nguyên hàm: f x dx F x C F' x f x (C là hằng số bất kỳ)
a a
2 Tính chất
Nguyên hàm
+) kf x dxk f x dx
+) f x g x dx f x dx g x dx
Tích phân
a
a
f x dx
3 Công thức
1) 0duC 2) du u C
Trang 23)
1
1
u
( 1)
Đặc biệt:
1
1 1
du
C
u n u
4) du lnu C
5)
ln
u
a
6) e du u e u C
7) cosudusinu C 8) sinudu cosu C
cos
du
sin
du
Trong các công thức trên, u được gọi là biểu thức dưới dấu vi phân Khi tính tích phân, việc
phát hiện biểu thức dưới dấu tích vi phân là rất quan trọng Trong phần này, ta sử dụng công thức biến đổi biểu thức dưới dấu vi phân sau đây
d ax b dx
a
trong đó, a , b là các hằng số, a 0 Đặc biệt, cho a 1, ta có công thức
dxd x b
Trang 3THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 Tìm họ nguyên hàm I x1 2 x2dx
Giải
I x1 2 x2dx
2
Ví dụ 2 Tìm họ nguyên hàm
2
2 1
x
Giải
I 1 3 3
1
dx x
3 3 1
x
2 1
Ví dụ 3 Tìm họ nguyên hàm I 2x14dx
Giải
I 1 2 14 2 1
5
1
Ví dụ 4 Tính tích phân
2
0
I x dx
Giải
Ta thấy 2x 1 đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 1
2 nên
I
1
1
2
0
2x 1dx 2x 1dx
Trang 4
1
1
2
0
2x 1 dx 2x 1 dx
2
0
5 2
Ví dụ 5 Tính tích phân
1 ln 2 1 1
x
Giải
1 ln 2 1 1
1
x
e d x
1 ln 2 1 1
x
e
1
Ví dụ 6 Tính tích phân
3 8
2
4 cos 2
2
dx I
x
Giải
I
3 8
2 4
2
2
2
x
3
4
tan 2
2
x
1
Trang 5THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
C Bài tập
Bài 1 Tìm họ nguyên hàm
5
x x dx
2x 3x 1
2
2 ln x x x C
2 x x e x 3x
3x x e x 3ln x C
4) 2 x2
3
1
x dx
1 2x dx
2x3 dx
4
2 3 8
x
C
101
1 101
x
C
10) 3x x2
e e dx
ĐS: e66x e42x e22x C
12) 2 3 52
10
x
dx
ln 6
x C
13) 2 5x 1
x
e
6
x x
e
5
6
x
C
4
2
x
x C
sin xcos x dx
4 16
sin 2xcos 2x dx
8 64
C
20) cos 2 x3.cos 2 x4dx ĐS: 1 1
8sin 4x12 2xsin12 C
Trang 621) sin2 2x dx ĐS: sin
C
C
Bài 2 Tính tích phân
0
20
0
20
1
2010
0
1
2011
4)
10
0 2010 1
dx
x
2010
5)
2 2
x
dx
x
6)
0
2
1
7)
2
2
0
|x x dx|
5
3
9)
0
1 sin 2xdx
10)
0
1 cos 2xdx
Trang 7THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
0
cos x sin x dx
2
0
sin x cos x dx
32
13)
2
0
sin sin 2x xdx
3
14)
4
3
0
sin xdx
12
15)
3
4
0
cos xdx
64
1
3
2
0
1
x
6e 4e 2e 2
17) 2 2
2
0
2
x
x
e
dx e