Tính toán mối hàn bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Hiện nay trên thế giới, có nhiều phương pháp hàn khác nhau tuy nhiên ta có thể phân theo các nhóm phương pháp hàn như sau: - Các phương pháp hàn điện, bao gồm các phương pháp dùng điện n

MỤC LỤC Trang

Chương 1: Tổng quan 3

1.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước 3

1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước 3

1.3 Tính khoa học, thực tiễn đề tài 4

1.4 Mục tiêu, phương pháp nghiên cứu đề tài 4

1.5 Kết luận 10 Chương 2: Cơ sở lý thuyết 11

2.1 Vấn đề ứng suất dư và biến dạng dư trong mối hàn 11

2.2 Thiết lập phần tử cơ nhiệt 2 D 12

2.3 Kết luận 22

Chương 3: Cấu trúc dữ liệu và sơ đồ phần tử hữu hạn với Matlab 23

3.1 miền hình học 23

3.2 Cấu trúc dữ liệu của miền 24

3.3 Giải thuật phát sinh lưới 24

3.4 Giải thuật tính toán ,lắp ghép trên miền 25

3.5 Giải thuật mã hóa bậc tự do của miền trong toàn kết cấu 25

3.6 Giải thuật lắp ghép miền vào toàn kết cấu 25

3.7 Giải thuật khai báo tải trọng tập trung trên nút và tải trọng phân bố trên cạnh 26

3.8 Giải thuật áp đặt điều kiện biên trên nút và trên cạnh 26

3.9 Giải thuật giải hệ phương trình đại số tuyến tính 26

Chương 4: Tính một số mối hàn bằng phương pháp phần tử hữu hạn 28

4.1 Mối hàn chồng 28

4.2 Mối hàn góc 31

4.3 Mối hàn giáp nối 42

4.4 Mối hàn phức tạp 49

4.5 Kết luận 52

Chương 5: Kết luận và hướng phát triển của đề tài 53

4.1 Kết luận về các kết quả đạt được 53 4.2 Hướng phát triển đề tài 54

Chương 1: TỔNG QUAN 1.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước:

Mối ghép bằng hàn có nhiều ưu điểm nên được dùng ngày càng rộng rãi trong các ngành công nghiệp Trong quá trình hàn, các chi tiết được đốt nóng cục bộ cho tới nhiệt độ nóng chảy hoặc dẻo và gắn lại với nhau nhờ lực hút giữa các phần tử kim loại Hiện nay trên thế giới, có nhiều phương pháp hàn khác nhau tuy nhiên ta có thể phân theo các nhóm phương pháp hàn như sau:

- Các phương pháp hàn điện, bao gồm các phương pháp dùng điện năng biến thành nhiệt năng để cung cấp cho quá trình hàn như là: Hàn hồ quang, hàn điện tiếp xúc…

- Các phương pháp hàn cơ học: Bao gồm các phương pháp sử dụng cơ năng để làm biến dạng kim loại tại các khu vực cần hàn và tạo ra liên kết hàn như là: Hàn nguội, hàn ma sát, hàn siêu âm …

- Các phương pháp hàn hóa học: Bao gồm các phương pháp sử dụng năng lượng

do các phản ứng hóa học tạo ra để cung cấp cho quá trình hàn như là: Hàn khí, hàn hóa nhiệt…

Hiện nay trên thế giới đã sử dụng hàn để chế tạo nhiều sản phẩm khác nhau như là chế tạo nồi hơi, ống bình chứa, sườn nhà, tàu thuyền, thân máy bay, vỏ máy, tên lửa, toa xe, ôtô và ngay cả đến tàu vu hành vũ trụ Nói chung, những bộ phận máy có hình dáng phức tạp phải chịu lực tương đối lớn, mà lại phải mỏng đều phải chế tạo bằng phương pháp hàn

Để tính toán mối hàn người ta dùng những công thức trong sức bền vật liệu nhưng đối với những chi tiết phức tạp thì gặp khó khăn Vào cuối những năm 50 đã xuất hiện ý tưởng của phương pháp phần tử hữu hạn và nhờ vào sự phát triển của máy tính đặc biệt là Mỹ mà từ đó phương pháp phần tử hữu hạn phát triển rất nhanh, cụ thể là cách đây khoảng 40 năm các nhà khoa học Mỹ đã dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán thân máy bay Boeing Từ đó trở đi các nhà lập trình hàng đầu thế giới thiết lập, nâng cấp, cập nhật thường xuyên và hoàn thiện dần như: SAP, ANSYS, COSMOS, NASTRAN, …

1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước:

Trong những phương pháp hàn thì phương pháp hàn hồ quang tay, hàn khí, hàn hồ quang dưới lớp thuốc bảo vệ và trong môi trường khí bảo vệ được ứng dụng phổ biến nhất ở nước ta, các phương pháp này có chi phí không cao Hàn được dùng trong

cơ khí như chế tạo tàu, vỏ máy, … và trong xây dựng như là thiết kế các dàn xưởng công nghiệp

Trước đây việc tính toán mối hàn thường rất hạn chế chỉ tính được các liên kết thông dụng quen thuộc mà ta sử dụng các công thức trong tài liệu chi tiết máy ở phần

ghép bằng hàn, nhưng gần đây đã dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán nhờ sự trợ giúp của máy tính có thể tính toán được các liên kết hàn có biên dạng bất kỳ mà trước đó chưa làm được Ở nước ta tại các viện nghiên cứu, các Trường Đại học cũng dần dần áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán cho các bài toán cơ học nói chung, liên kết mối ghép bằng hàn nói riêng Và cũng đưa vào sử dụng những phần mềm tính toán cơ học như: SAP2000, ANSYS để thiết kế các kết cấu, chi tiết, thực chất các phần mềm này được xây dựng như trên nguyên lý của phương pháp phần tử hữu hạn Cụ thể là tại xưởng đóng tàu Việt nam đã dùng phần mềm SAP2000, ANSYS để tính toán nội lực trong hệ kết cấu cũng như các mối hàn để thiết kế các chiếc tàu

1.3 Tính khoa học, thực tiễn của đề tài:

Hàn tiết kiệm được kim loại do sử dụng mặt cắt làm việc của chi tiết hàn triệt để hơn so với tán ri vê, bu long Sử dụng hàn trong xây dựng nhà cao cho phép giảm 15% trong lượng sườn,kèo, đồng thời việc chế tạo và lắp ráp chúng cũng được giảm nhẹ, độ cứng của kết cấu cũng tăng , giảm được thời gian và giá thành chế tạo kết cấu Hàn cũng có năng suất cao so với các phương pháp khác do giảm được số lượng nguyên công, giảm được cường độ lao động và tăng độ bền chắc của kết cấu, hàn có thể nối được các kim loại có tính chất khác nhau, thiết bị hàn tương đối đơn giản và dễ chế tạo Việc tính toán mối ghép bằng hàn bằng phương pháp phần tử hữu hạn, cũng như các phần mềm tính toán cơ học như SAP2000, ANSYS sẽ có kết quả chính xác và đồng thời cũng có thể mô phỏng đồ họa của chi tiết, kết cấu sau khi chịu tải trọng tác dụng Điều đó rất thuận tiện về mặt khoa học trong việc thiết kế mối ghép bằng hàn nói riêng và kết cấu nói chung.Trước dây chỉ tính được các liên kết hàn đơn giản dựa vào tài liệu chi tiết máy.Trong đề tài này ta chọn phương pháp số để tính toán liên kết hàn cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn,phương pháp này có hiệu quả hơn so với phương pháp tính toán dựa tài liệu chi tiết máy ở chỗ là có thể tính toán được các biên dạng hàn phức tạp bất kỳ,kết quả thu được đáng tin cậy

1.4 Mục tiêu, phương pháp nghiên cứu đề tài:

Ta chia nhỏ kết cấu hàn thành các phần tử, sau đó tính chuyển vị tại các nút của hệ và tìm ứng suất hiệu dụng vonmises trên các phần tửù Nhưng ở đây ta cần quan tâm đến phần tử tại chỗ hàn vì tại đó chính là nơi bị phá hoại khi kết cấu hàn chịu lực tác dụng

1 3 3 2 2 1 2 3 2 2 2

a) – Mối hàn giáp nối

b) – Mối hàn chồng

c) – Mối hàn góc

a Mối hàn giáp nối:

Mối hàn giáp mối rất được thông dụng vì nó đơn giản và đảm bảo hơn các loại mối hàn khác Tùy theo bề dày của các thành phần ghép, có thể hàn theo các phương án trình bày trên hình 2.1 sau

Hình 1.1: Các phương án hàn

™ Giáp mối thẳng góc:

Đối với đường hàn giáp mối, vì các thành phần được hàn lại thành một thể như nguyên vẹn cho nên trong tính toán cũng áp dụng các công thức dùng cho các chi tiết máy nguyên vẹn Đường hàn giáp mối được xem như phần tử kéo dài của thép cơ bản nên cách tính giống như thép cơ bản

[ ]' '

[ ]' '

σ : Ứng suất tính toán mối hàn khi kéo và nén

F : Tải trọng kéo hoặc nén các chi tiết ghép

δ : Chiều dày nhỏ nhất trong các chi tiết ghép

[ '

k

σ ], [ '

n

σ ] : Ứng suất cho phép mối hàn khi kéo và nén

™ Đường hàn giáp mối xiên góc:

Khi đường hàn giáp mối thẳng góc không đủ khả năng chịu lực, có thể tăng tiết diện đường hàn bằng cách sử dụng đường hàn xiên

Đường hàn giáp mối xiên góc chịu cả hai lực: Lực pháp tuyến và lực cắt

Hình 1.3: Mối hàn giáp mối xiên góc chịu kéo

Điều kiện bền:

[ ]' '

sin

k k

[ ]'

k

σ , [ ]τ' : Ứng suất cho phép mối hàn khi chịu kéo và cắt

b Mối hàn chồng:

- Mối hàn dọc

- Mối hàn ngang

- Mối hàn xiên

Đối với mối hàn chồng ta tính theo ứng suất cắt nằm trên mặt phẳng phân giác góc vuông mặt cắt ngang của mối hàn

™ Mối hàn ngang:

Mối hàn ngang chịu tác dụng của lực kéo như hình 1.4

Hình 1.4: Mối hàn ngang

Điều kiện bền:

( ) [ ]'

7.0

kl F

™ Mối hàn dọc:

Mối hàn dọc chịu tác dụng của lực kéo như hình 1.5

Hình 1.5: Mối hàn dọc Điều kiện bền:

( ) [ ]'

7.0

kl F

Trong đó:

'

τ : Ứng suất tính toán trong mối hàn

l : Chiều dài mối hàn

[ ]τ' : Ứng suất cắt cho phép của mối hàn

k : Bề rộng cạnh hàn

™ Mối hàn xiên: Hình 1.6

Hình 1.6: Mối hàn chồng dạng Mối hàn xiên Điều kiện bền:

( ) [ ]'

7

kl F

c Mối hàn góc: Có hai loại

™ Mối hàn góc kiểu hàn 2 bên: hình 1.8

Hình 1.8: Mối hàn gốc kiểu hàn hai bên

Điều kiện bền:

( ) [ ]'

7.0

2

kl F

'

τ : Ứng suất tiếp tính toán trong mối hàn

[τ']: Ứng suất tiếp cho phép của mối hàn

Trường hợp Hàn chữ K tính toán như mối hàn giáp nối, kiểu hàn hai bên tính toán như mối hàn chồng

ỨNG SUẤT CHO PHÉP CỦA MỐI HÀN THÉP KHI CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH

ỨNG SUẤT CHO PHÉP CỦA

MỐI HÀN PHƯƠNG PHÁP HÀN

KÉO [σ]’ k NÉN [σ]’ k CẮT [σ] k

Hàn hồ quang, bằng tay, dùng que hàn ∋42 và ∋50

Hàn hồ quang tự động dưới lớp thuốc hàn; hàn bằng

tay, dùng que hàn ∋42A và ∋50A Hàn tiếp xúc giáp

mối

[σ]k – ứng suất kéo cho phép của kim loại được hàn khi chịu tải trọng tĩnh Hệ số an toàn của các kết cấu kim loại [s] ≈ 1,2 ÷ 1,8

1.5 Kết luận

- Như đã nói ở phần trên, hàn được ứng dụng rất nhiều trong cơ khí, xây dựng

- Việc tính toán mối hàn sẽ làm cho chi phí giảm trong việc chế tạo lắp ghép các chi tiết với nhau

Chương 2 : CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Vấn đề ứng suất dư và biến dạng dư trong mối hàn:

Ứng suất và biến dạng hàn là trạng thái ứng suất và biến dạng do quá trình hàn gây ra và tồn tại trong kết cấu hàn sau khi hàn Nó ảnh hưởng nhất định đến chất lượng và khả năng làm việc của kết cấu hàn.Việc tìm hiểu nguyên nhân sinh ra ứng suất và biến dạng hàn và tìm phương pháp để đề phòng, hạn chế ảnh hưởng của chúng là một vấn đề quan trọng ngay cả đối với người thợ hàn khi tham gia chế tạo kết cấu hàn

Quá trình hàn là quá trình nung nóng cục bộ khu vực cần hàn trong thời gian ngắn tới nhiệt độ rất cao Khi nguồn nhiệt hàn di động lên phía trước, thì khối lượng kim loại được nung nóng nguội dần về nhiệt độ ban đầu và kèm theo những biến dạng nhiệt Do sự phân bố nhiệt rất khác nhau (không đồng đều) ở các vùng xung quanh mối hàn nên sự thay đổi thể tích (co, giãn) ở các vùng đó cũng rất khác nhau và ảnh hưởng lẫn nhau Điều này dẫn đến sự tạo thành nội lực, ứng suất, biến dạng hàn

Có thể kể ra 3 nguyên nhân chính sau đây gây ra sự xuất hiện ứng suất và biến dạng hàn:

1 Nung nóng không đều kim loại ở vật hàn

2 Độ co ngót của kim loại nóng chảy ở mối hàn sau khi kết tinh

3 Sự thay đổi tổ chức của vùng kim loại lân cận mối hàn

Nung nóng không đều kim loại vật hàn làm cho những vùng ở xa nguồn nhiệt không hoặc rất ít bị biến dạng nhiệt, chúng sẽ cản trở sự biến dạng ở vùng lân cận mối hàn

Do vậy sẽ xuất hiện ứng xuất trong mối hàn và vùng kim loại lân cận đó Thường ứng suất này vẫn tồn tại cả khi đã kết thúc quá trình hàn và vật hàn đã trở về nhiệt độ bình thường (đã nguội hoàn toàn)

Kim loại lỏng ở mối hàn bị giảm thể tích do kết quả động đặc tương tự như đúc

Do sự co ngót của kim loại trong mối hàn xuất hiện các lực nén theo phương dọc cũng như phương ngang so với trục mối hàn và tạo ra trường ứng suất dư ở đó

Những thay đổi tổ chức kim loại trong vùng lân cận mối hàn là những thay đổi về kích thước và vị trí sắp xếp của các tinh thể kim loại, đồng thời kéo theo sự thay đổi thể tích của kim loại trong vùng ảnh hưởng nhiệt Sự thay đổi cục bộ như vậy dẫn đến tạo thành nội ứng suất Khi hàn các thép hợp kim và cacbon cao có khuynh hướng tôi thì các ứng suất này có thể đạt đến những giá trị rất cao

Ứng suất dư trong vật hàn kết hợp với ứng suất sinh ra do ngoại lực tác dụng khi làm việc có thể làm giảm khả năng làm việc của kết cấu và làm xuất hiện những vết nứt, gãy

Biến dạng hàn khi làm sai lệch hình dáng, kích thước của các kết cấu hàn, vật hàn, do đó sau khi hàn thường phải tiến hành các công việc sửa, nắn, v.v… rất phứt tạp và tốn kém

2.2 Thiết lập phần tử cơ nhiệt 2D

Bài toán ứng suất phẳng trong đàn hồi

Hình 2 1 : Kết cấu tấm cho bài toán ứng suất phẳng

Hình 2.2 : Mô hình toán học Với các vật thể mỏng (giả sử kích thước theo phương Z rất nhỏ so với hai phương còn lại) chịu tác dụng của các lực trong mặt phẳng xy, người ta có thể chấp nhận giả thuyết

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

+

−

−

−

=

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

G G G

E V E V E V

G G

G

E

V

E

V

E

zx yz xy

y x

x y

y x

zx yz xy z y x

zx

yz

xy

z

y

x

τ τ τ

σ σ

σ σ

σ σ

τ τ τ σ σ σ

γ

γ

γ

ε

ε

ε

1

0

0

0

0

0 0

1

0

0

0

0 0

0

1

0

0

0 0

0

0

E 1

E V

0

0

0

E V

E 1

0

0

0

E V

E V

1 Đối với bài toán ứng suất phẳng ta có: ( ) 0 0 1

1

0

0 0

E 1

1 0

E V

1 zx yz x = = + − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ γ γ σ σ ε τ σ σ γ ε ε E V G E E y x xy y x xy y x Vì thế các biến sơ cấp là các thành phần ứng suất, biến dạng trong mặt phẳng xy Bài tóan ứng suất phẳng có thể phát biểu theo các thành phần chuyển vị u, v trong mặt phẳng xy như sau: Các thành phần ứng suất: {σx σy τxy} Các thành phần biến dạng: {εx εy γxy} Quan hệ biến dạng – chuyển vị (với giả thuyết chuyển vị bé):

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

=

x

v

y

u

y

v

u

u

xy

y

x

γ

ε

ε

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:

Hình 2 3 : Nội lực trong phần tử của tấm ứng suất phẳng

{ } [ ]{ }C ;

2

v-1 0 0

0 1 v

0 v1V

Lời giải giả định:

v u v u v u

N N

N

N N

N v

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

3 3 2 2 1 1

3 2

1

3 2

1

0 0

0

0 0

0

(3)

Quan hệ biến dạng – chuyển vị: { } [ ] { } ( )4

x N y N x N y N 0 y N 0 y N 0 0 x N 0 x N 0 x N 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 d B v u v u v u x N y N y N y v x u y v x u T xy y x ≡ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = γ ε ε ε Quan hệ ứng xử: { }σ = c[ ]{ } { } [ε − ε0 ] Với bài tóan ứng suất phẳng: ( )5

0 2 v -1

0

0 0

1

v 0

v

1 1 2 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Δ Δ − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ T T V E xy y x xy y x α α γ ε ε τ σ σ Hệ phương trình phần tử: [ ]K { }d = { }r q +{ } { }r b + rε ( )6

Ma trận độ cứng của phần tử: [ ]K h [ ][ ][ ]B C B T dA ( )7

A ∫∫ = Vectơ tải tương đương do tải phân bố { } { } dc ( )8

q

q N

h

r

y x c

c q

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

= ∫

{Ne} : Các hàm nội suy chuyển vị theo tọa độ biên c của phần tử

Vectơ tải tương đương do tải thể tích

{ } { } dA ( )9

b

b N

h

r

y x A

Phần tử tam giác 3 nút:

Hình 4 mô tả phần tử tam giác 3 nút cho bài toán phẳng đàn hồi trong hệ tọa độ Oxy, với các nút là (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) Các ẩn chuyển vị tại 3 nút được gọi là các bậc tự

do tại nút u1.v1, u2.v2, u3.v3 Phương pháp tuyến ngoài và tọa độ biên c của mỗi cạnh được mô tả trên hình 2.4 Để đơn giản trong việc lấy tích phân, người ta giả sử rằng các lực tác dụng là hằng số trên mỗi phần tử

Hình 2.4 : Phần tử tam giác 3 nút cho bài tóan phẳng đàn hồi

Lời giải giả định trên phần tử được viết như sau:

( ) [ ] { } ( )11

N

0

0

0 0

0

0

, 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 d N v u v u v u N N N N N v u y x u ≡ T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≡ Cách thành lập hàm dạng, Lời giải xấp xỉ PTHH cần có dạng Bên trong phần tử: ( , ) { ( , ) N ( , ) N ( , ) } [ ] { } ( )12

3 2 1 3 2 1 N d u u u y x y x y x N y x u = T ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = Ở trên biên: ( ) { ( ) ( ) ( ) } { } { } ( )13

3 2 1 3 2 1 N d u u u c N c N c N c u = c T ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = Thật vậy, lời giải giả định trên phần tử được chọn dựa trên đa thức tuyến tính trong miền hai chiều ( , ) {1 x y} ( )14

2 1 0 2 1 0 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = c c c y c x c c y x u Biểu diễn các hệ số C0, C1, C2, theo các bậc tự do nút ( ) 15

y

x

1 y

x

1 y

x

1 2 1 0 3 3 2 2 1 1 3 2 1 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ c c c u u u ( ) 16

x

x

x y

y

2

1

3 2 1

1 2 3

1 2

3

2 1 1

3 3

2

1 2 2 1 3

1 1 3 2

3 3 2

2

1

0

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⇒

u u u

x x

x

y y

y y

y x y x y

x y x y

x y x

A c

c

c

Gọi A là diện tích tam giác cho bởi:

( ) ( )17

y x1

y x1

y x12

12

1

3 3

2 2

1 1

3 2 3 1 2 3 2 1 1 3 1

x

-y-y y

-x-x x

x

-2

1.y

x

1

,

3 2 1

1 2 3

1 3

2

2 1 1

3 3

2

1 2 2 1 3

1 1 3 2

3 3 2

x x

y y

y

y y y

y y

x y x A y

b b b

f f f2

1.y

x 1,

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

u u

u N

3 1

1 3

2

1 1 1 3

2 3 2 2

3

1

2

12

1

21 2

12

1

2

12

1

f yc xb A y

y x y y x y y x

A

N

f yc xb A y

y x y y x y y x

A

N

f yc xb A y

y x y y x y y x

A

N

++

=+

−+

−+

−

=

++

=+

−+

−+

+

−

=

++

=+

−+

−+

c b c c

c 0 c 0 c 0

0 b 0 b 0

2

1

3 3 2 2 1 1

3 3

2 2 1 1

3 2

1

3 2

1

d B

v u v u v u

b

b A x

v y

u

y v x u

T xy

[ ] [ ][ ][ ]T [ ][ ][ ]T ( )23

A

B C B hA dA B C B

h

Trong đó [C] là ma trận ứng xử tương ứng

Với bài tóan ứng suất phẳng:

[ ] ( )24

2

2v-1 0 0

0 v-1 v

0 v1

y x A

b

dA b N h

dA b N h

dA b N h

dA b N h

dA b N h

dA b N h

dA b

b N

x x

h

r

y x e

( )29

n n x y ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ t n y x y x q q n n q q Trong đó nx, ny là các thành phần của vectơ đơn vị pháp tuyến với biên mà ở đó có lực tác dụng Hình 2 5: Sự cân bằng của phân tố ở trên biên Ở đây biên của phần tử được định nghĩa bởi ba cạnh của nó Trên mỗi cạnh, lời giải là tổ hợp tuyến tính giữa toạ độ biên c và các bậc tự do trên hai nút của cạnh đó • Cạnh 1 – 2 [ ] { } ; 0 c L ( )30

0

0

0

0

0

0

0

0

12 3 3 2 2 1 1 12 12 12 12 12 12 ≤ ≤ ≡ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ d N v u v u v u L c L L c L c L L c v u T c ( 2 1) (2 2 1)2 là chiềudàicạnh1 -2 ( )31

Có côsin chỉ phương theo phương x, y:

x 0

Phần biên

Liên kết

0

=

∧

u

y

nxdc

nydc

qx

qy

qn

qt

σx

τxy

σy

τxy

dc

( )32

;

12 1 2 12 1 2 L x x n L y y n x y − = − = Từ đó ta có: { } { } ( )33

0

0

12 12 12 12 0 12 0 12 0 12 12 0 12 12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ L y L x L y L x y x c c q dc q L c h dc q L c h dc q L L c h dc q L L c h dc q q N h r Hay ta có: { } { }T x x q h L q q r q q 0 0

2 y y 12 = (34)

Hay { } { -n q n q -n q n q 0 0} ( )35

2 t x t y t x t y 12 T n y n x n y n x q h L n q n q n q n q r = + + Tương tự cho các cạnh còn lại: • Trên cạnh 2 – 3: { } {0 0 -n q n q -n q n q } ( )36

2 t x t y t x t y 23 T n y n x n y n x q h L n q n q n q n q r = + + ( 3 2) (2 3 2)2 là chiềudàicạnh2 -3 ( )37

23 x x y y L = − + − ( )38

;

23 2 3 23 2 3 L x x n L y y n x y − = − = • Trên cạnh 3 – 1: { } { -n q n q 0 0 -n q n q } ( )39

2 t x t y t x t y 31 T n y n x n y n x q h L n q n q n q n q r = + + ( 3 1) (2 3 1)2 là chiềudàicạnh 3- 1 ( )40

31 x x y y L = − + − ( )41

;

31 3 1 31 3 1 L x x n L y y n x y − = − = Với các thành phần như trên các phương trình phần tử sẽ là: [ ]K { }d = { }r q + { } { }r b + rε ( )42

2.3 kết luận :

Dựa trên cơ sở lý thuyết sức bền vật liệu ,lý thuyết đàn hồi ta xác định ma trận độ cứng [K] phần tử thông qua ma trận đàn hồi [C] (ở biểu thức (2) ) và ma trận hình học [B] (ở biểu thức (22)), và véc tơ tải tương đương cho phần tử (theo biểu thức (26),(27),(28) ) Lắp ghép [K] của các phần tử lại để được ma trận độ cứng tổng thể [K*]

Lắp ghép các véc tơ tải phần tử để được véc tơ tải tổng thể { }F

Lắp ghép các chuyển vị nút phần tử để được các chuyển vị nút tổng thể { }u

Giải phương trình:

[K*]{ }u ={ }F

tính được tìm được chuyển vị tại các nút của kết cấu

Chương 3 : CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ SƠ ĐỒ PHẦN TỬ HỮU HẠN VỚI

MATLAB

3.1 Miền hình học:

Miền hình học được quản lý bởi Geometry bao gồm điểm, đường, mặt trong đó các thông số để quản lý chúng như sơ đồ ở hình 3.1

Hình 3.1 Sơ đồ tổ chức quản lý miền hình học

1 Hàm gmpoint(i,x,y,z): Nhập vào tọa độ x, y, (z) cho điểm thứ i, i=1,2,…n

• Geometry.points(i).x: Thông số quản lý tọa độ theo phương x của điểm thứ i Tương tự cho Geometry.points(i).y, bài toán 3D Geometry.points(i).z

• Geometry.points(i).owner: Thông số quản lý đường thẳng (hoặc cong) đi qua điểm thứ i

2 Hàm gmcurve(i,type,ipoints,nel): Nhập vào đường thứ i, i=1,2,…n, được định nghĩa bởi kiểu đường (thẳng hoặc cong), các điểm để xây dựng nó, số khoảng

chia để làm mịn theo h tương thích trên nó

• Geometry.curves(i).type: Thông số để quản lý dạng đường, thẳng type=line, cong type=pc của đường thứ i

• Geometry.curves(i).ipoints: Các điểm để xây dựng đường i, nếu đường i là thẳng thì kích thước của ipoints là (1x2) và cong là (1x3)

• Geometry.curves(i).owner: Thông số quản lý mặt chứa đường i

3 Hàm gmsurf(i,type,icurves): Nhập vào mặt thứ i và các đường giới hạn nó

• Geometry.surfaces(i).type: Quản lý dạng mặt

geometry

.points (1,2,…,n)

.x y z owner

.curves (1,2,…,n)

.type ipoints owner

.surfaces (1,2,…,n)

.type icurves order ipoly ordered

• Geometry.surfaces(i).icurves: Quản lý các đường giới hạn mặt i, đánh số theo thứ tự, cùng chiều, liên tục

• Geometry.surfaces(i) order: Quản lý các điểm nút để xây dựng các đường gới hạn mặt i, loại bỏ điểm giữa của đường (nếu có)

• Geometry.surfaces(i) ipoly: Quản lý các điểm để xây dựng các đường gới hạn mặt i bao gồm cả điểm nút và đểm giữa của đường (nếu có)

• Geometry.surfaces(i) ordered: Sắp xếp lại các điểm nút để xây dựng các đường gới hạn mặt i, trong Geometry.surfaces(i) Order

3.2 Cấu trúc dữ liệu của miền:

Trên cơ sở dữ liệu quản lý miền hình học, các đặc trưng của vật liệu, các ma trận ứng xử, tải trọng tác dụng, điều kiện liên kết … được xử lý và đưa vào cấu trúc dữ liệu của từng miền hình học thông qua Domains như sơ đồ hình 3.2

Hàm Mesh2d(i,Geometry,etype): Nhập

vào miền hình học thứ i, kiểu phần tử của

miền, trong quá trình tự động phát sinh lưới

và sẽ tạo ra tọa độ của các điểm, mã hóa bậc

tự do cho các điểm, mã hóa bậc tự do đến

từng phần tử trong miền, quản lý bậc tự do

trên các cạnh của miền, quản lý tọa độ theo

các phương đến từng phần tử

• Domains(i).etype: kiểu phần tử

chẳng hạn phần tử của bài toán hai

chiều vô hướng 3 nút flw2t

(Ndofs=1, Nen=3), 4 nút

flw2i4(Ndofs=1, Nen=4), phần tử

của bài toán ứng suất, biến dạng

phẳng 3 nút plant (Ndofs=2,

Nen=3), 4 nút plani4 (Ndofs=4,

Nen=4), …

• Domains(i).Coord: tọa độ của các

điểm trong miền sau khi chia lưới

• Domains(i).Edof: mã hóa bâïc tự do của tùng phần tử trong hệ tọa độ của miền

• Domains(i).Dof: mã hóa bâïc tự do trong miền

• Domains(i).Sdof: mã hóa bậc tự do trên các cạnh của miền

• Domains(i).Ex, Domains(i).Ey: quản lý tọa độ theo các phương của từng phần tử trong miền

3.3 Giải thuật phát sinh lưới:

Thông số đầu vào:

Hình 3.2 Sơ đồ tổ chức quản

lý dữ liệu của

Domains

.Etype K Ndofs Nen Coord Edof Dof Sdof Ex Ey

Tọa độ của các điểm nút và cạnh (nếu có) của miền

N1=số khoảng chia trên cạnh 1

N2=số khoảng chia trên cạnh 2

for i=1 đến (N2 +1)

Sdof=Sdof(cạnh 1, cạnh 2, cạnh 3, cạnh 4);

Ex=Ex(theo phương x của mỗi phần tử);

Ey=Ey( theo phương y của mỗi phần tử);

end

end

3.4 Giải thuật tính toán, lắp ghép trên miền:

for i=1 đến (số phần tử của miền)

Ke=Ke(tính cho mỗi phần tử);

Kmiền=lắp ghép (Ke vào ma trận độ cứng Kmiền của miền);

fe=fe(tính cho mỗi phần tử);

fmiền=lắp ghép (fe vào véc tơ tải fmiền của miền);

end

3.5 Giải thuật mã hóa bậc tự do của miền trong toàn kết cấu:

Sau khi tính toán và xử lý trên miền ta có được ma trận độ cứng (ma trận các hệ số đối với các bài toản không phải đàn hồi), véc tơ tải của miền Việc lắp ghép chúng vào ma trận độ cứng và véc tơ tải toàn cục của kết cấu cần phải được mã hóa bậc tự do của miền trong toàn kết cấu và giải thuật mã hóa được thể hiện như sau:

for i=1 đến (số miền trong kết cấu)

Tìm các cạnh chung giữa các miền;

Loại bỏ bớt bậc tự do trên các cạnh chung;

Tìm các nút chung giữa các miền;

Loại bỏ bớt bậc tự do trên các nút chung;

Mã hóa lại bậc tự do trên các cạnh;

Mã hóa lại bậc tự do trên các nút;

Mã hóa lại bậc tự do trong các miền;

end

3.6 Giải thuật lắp ghép miền vào toàn kết cấu:

for i=1 đến (số miền trong kết cấu)

K=lắp ghép (Kmiền vào ma trận độ cứng K của kết cấu);

f=lắp ghép (fmiền vào véc tơ tải f của kết cấu);

• Tải trọng tập trung:

Thông số đầu vào: [nút chịu tải, giá trị của tải]

C*=tìm cạnh chứa nút chịu tải (chỉ cần 1 cạnh đầu);

Sdof*=tìm bậc tự do của cạnh C*; f(ở vị trí chịu tải)=tìm vị trí Sdof*(ở vị trí nút chịu tải);

f(ở vị trí chịu tải)=gán giá trị của tải

• Tải trọng phân bố trên cạnh:

Thông số đầu vào: [cạnh chịu tải, giá trị của tải]

Tìm tọa độ của các nút trên cạnh chịu tải;

Tìm khoảng cách li giữa các nút;

Qui tải trọng phân bố trên chiều dài li về 2 nút của li: qi, qi+1, (qi,qi+1)=g(li,giá trị của tải); với tải phân bố đều qi=qi+1=li×giá trị của tải/2;

Sdof*= tìm bậc tự do của cạnh chịu tải;

f(i,i+1)= tìm Sdof*(i,i+1);

f(i)= gán qi; f(i+1)= gán qi+1;

3.8 Giải thuật áp đặt điều kiện biên trên nút và trên cạnh:

• Aùp đặt điều kiện biên cho nút:

Thông số đầu vào: [nút chịu ràng buộc, giá trị của ràng buộc]

C*= tìm cạnh chứa nút chịu ràng buộc(chỉ cần 1 cạnh đầu);

Sdof*= tìm bậc tự do của cạnh C*; Nghiệm u(ở vị trí ràng buộc)= tìm Sdof*(ở vị trí nút ràng buộc);

u(ở vị trí ràng buộc)= gán giá trị ràng buộc

• Aùp đặt điều kiện biên cho cạnh:

Thông số đầu vào: [cạnh chịu ràng buộc, giá trị ràng buộc]

Sdof*= tìm bậc tự do của cạnh chịu ràng buộc;

u(Sdof*)= gán giá trị của ràng buộc;

3.9 Giải thuật giải hệ phương trình đại số tuyến tính:

Nhập ma trận K; kích thước K(n,n)

Nhập véc tơ f; kích thước f(n,1)

Nhập hệ số chỉnh lý M ( nên chọn 1/100);

Cho trước bộ nghiệm ban đầu bất kỳ x(0);

Giải: ( ) 0 ( ) 0

Kx f

p z

p x

( ) ( ) ( )i

i i i

q r

Chương 4: TÍNH MỘT SỐ MỐI HÀN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ

HỮU HẠN 4.1 Phân tích trạng thái ứng suất của liên kết hàn chồng:

Cho một kết cấu các tấm thép liên kết hàn chồng, chịu kéo như hình 4.1

Mỗi phần chi tiết hàn có chiều dài là 20cm,diện tích mặt cắt ngang 1à 1×15cm,đặc trưng vật liệu thép có modun đàn hồi E=20×103 2

Lực kéo :F = 200KN Xác định ứng suất phát sinh trong mối hàn

Hình 4.1 Mối hàn chồng

Do tính đối xứng bài toán được mô hình bởi mối ghép

20cm 10cm

20cm 1cm

20cm 10cm