Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Năm 1956, Irwin đƣ đưa ra một thông số đặc trưng dưới những điều kiện của cơ học rạn nứt đƠn hồi tuyến tính Linear Elastic Fracture Mechanics-LEFM, nó được biết với cái tên lƠ: Hệ số cườ

MỤC LỤC

C HƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu tổng quan về cơ học phá hủy 1

1.2 Tổng quan về sự phát triển bƠi toán dao động 6

1.3 Tổng quan về sự phát triển bƠi toán tấm chịu uốn 8

1.4 Phương pháp phần tử hữu hạn 9

1.5 Nhiệm vụ của đề tƠi vƠ phạm vi nghiên cứu 10

C HƯƠNG 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM 11

2.1 Lý thuyết cơ học rạn nứt 11

2.2 Lý thuyết đƠn hồi 17

2.3 Lý thuyết tấm 21

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 26

3.1 Phương trình phần tử 26

3.2 Phần tử tứ giác 8 nút 28

3.3 Phần tử suy biến điểm ữ 30

3.4 Tính toán ứng suất vƠ biến dạng trong FEM 33

3.5 Phương pháp tích phơn số 34

3.6 Tính toán hệ số cường độ ứng suất từ kết quả phơn tích FEM 35

3.7 Ma trận khối lượng tương thích phần tử 37

3.8 Dao động tự do- Xác định tần số dao động riêng theo phần tử hữu hạn 38

3.9 Phương pháp Newmark 40

Mục lục

CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN ÁP DỤNG 45

4.1 Sơ đồ khối 46

4.2 Khảo sát sự hội tụ cho bƠi toán tấm không nứt 47

4.3 Khảo sát bƠi toán tấm thép SM490 chịu uốn 50

4.5 Khảo sát tấm hợp kim Titanium Ti-6Al-4V 55

4.6 Khảo sát tấm thép AISI-4147 70

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 86

5.1 Kết luận về đề tƠi 86

4.2 Đề xuất vƠ hướng phát triển đề tƠi 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Các kết quả nghiên cứu trong vƠ ngoƠi nước có liên quan đến trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt Trong vật liệu tr ng thái gi i h n lƠ tr ng thái mà

n u vượt quá nó thì k t c u không sử d ng được

Trạng thái giới hạn về cường độ (kết cấu bị đổ vỡ)

Trạng thái giới hạn về biến dạng (kết cấu bị biến dạng lớn đến mức nƠo đó) Trạng thái giới hạn về khe nứt (bị nứt hoặc bề rộng khe nứt lớn tới một trị số nƠo đó)

Phư ng pháp tính toán k t c u Tr ng thái gi i h n lƠ phương pháp mới nhất đang được dùng hiện nay, được giáo sư Lôlơytơ (A F Lolejt; 1868 - 1933) đặt nền móng từ 1931 nhưng mƣi đến năm 1953 lần đầu tiên được đưa vƠo tiêu chuẩn thiết kế kết cấu

Nội dung cơ bản của phương pháp nƠy lƠ cho phép k t c u lƠm vi c t i

Tr ng thái gi i h n Nhờ xét đến một cách chi tiết hơn các yếu tố ảnh hưởng đến độ

an toƠn của kết cấu, phương pháp tính theo Trạng thái giới hạn cho kết quả sát với sự lƠm việc thực của kết cấu vƠ đạt được hiệu quả kinh tế cao hơn

1.1 GI I THI U T NG QUAN V CƠ H C PHÁ HUỶ:

Cơ học phá hủy lƠ khoa học chuyên nghiên cứu về độ bền vƠ tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện có vết nứt thực tế

Chương 1: Tổng quan

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 2 HVTH: Vũ Duy Cảnh

Nội dung nghiên c u g m:

Trường ứng suất vƠ biến dạng ở đầu vết nứt, quy luật phát sinh, lan truyền vết nứt, ảnh hưởng của các loại nhơn tố

Cấu trúc vật liệu, chế độ tải trọng, môi trường nhiệt độ ảnh hưởng tới sự lan truyền vết nứt

Các giải pháp điều khiển vƠ kìm hƣm sự lan truyền vết nứt, phương pháp tính

độ bền vƠ tuổi thọ của các kết cấu theo các chỉ tiêu mới (các chỉ tiêu nƠy được xác định qua thực nghiệm)

Phư ng pháp nghiên c u lƠ k thừa lý thuy t đƠn h i, lý thuy t dẻo, lý thuy t vật lý kim lo i Cơ học phá hủy xơy dựng các giả thiết vƠ các mô hình tính toán, trên cơ sở đó tiến hƠnh các thí nghiệm để kiểm tra hoặc từ các kết quả thực nghiệm khái quát hoá xơy dựng các công thức tính toán

Cơ học phá hủy được ứng dụng rộng rƣi trong các ngƠnh công nghiệp, luyện kim, xơy dựng, hoá chất, đóng tƠu, hƠng không, tƠu vũ trụ, vv

Sau đó trên cơ sở kết quả tính toán về quan hệ giữa ứng suất vƠ chuyển vị của Westergaard (1938), Irwin đƣ xơy dựng được phư ng trình tính một tham

số liên quan đ n tốc độ gi i phóng năng lượng, được gọi lƠ hệ số cường độ ứng suất (the stress intensity factor)

Trong những năm 1945 trở lại đơy khi nghiên cứu các công trình bị phá hủy, người ta nhận thấy rằng nguyên nhơn gơy ra phá hủy lƠ do sự xuất hiện của vết nứt

trong kết cấu có ảnh rất lớn, từ đó đƣ hình thƠnh ngƠnh cơ học phá hủy (Fracture

Nhưng vấn đề được đặt ra lƠ cần xác định chính xác vị trí của các vết nứt vƠ trạng thái giới hạn của những chi tiết có vết nứt để từ đó có khả năng dự báo trình trạng lƠm việc hiện tại của kết cấu, đồng thời có những giải pháp kịp thời ngăn ngừa các tai nạn, thiệt hại có thể xảy ra

Các vết nứt trong các kết cấu cơ khí gơy ra sự suy giảm độ cứng cục bộ Điều nƠy dẫn đến các đặc trưng tĩnh vƠ động học thay đổi theo Một số nghiên cứu về các đặc trưng nƠy điển hình như:

Richard W Hertzberg “Cơ học biến dạng và rạn nứt của vật liệu cơ khí” [36]

Irwin, G.R.“Động học rạn nứt”, “Sự rạn nứt của vật liệu” [18]

Nguyên nhơn của sự suy giảm độ cứng cục bộ lƠ do dạng hình học của đầu vết nứt Đầu vết nứt thường có dạng nhọn với bán kính tiệm cận bằng không Độ nhọn nƠy sinh ra các ứng suất cục bộ có khuynh hướng tiến đến vô cùng khi điểm quan tơm cƠng lúc tiến đến gần đầu vết nứt

Khi đó, các lý thuyết về hỏng hóc, chẳng hạn lý thuyết của Tresca hay Von Mises, không thể ứng dụng được vƠ lực cần thiết để tạo ra chảy dẻo cục bộ hoặc việc bắt đầu cho sự lan truyền của vết nứt không thể dự đoán được Vì vậy, cần phải

có một lý thuyết vƠ những thông số đặc trưng cho tính chất suy biến nƠy

Năm 1956, Irwin đƣ đưa ra một thông số đặc trưng dưới những điều kiện của

cơ học rạn nứt đƠn hồi tuyến tính (Linear Elastic Fracture Mechanics-LEFM), nó được biết với cái tên lƠ:

Hệ số cường độ ứng suất (Stress Intensity Factor-SIF) [25, 36, 32] Hệ số nƠy được lƠm tiêu chuẩn để đánh giá sự lan truyền của vết nứt Tuy nhiên, vi c tính

toán h số cường độ ng su t cũng gặp nhiều khó khăn vì hệ số cường độ ứng

Wu XR, Carlsson AJ “Hàm trọng số và hệ số cường độ ứng suất” [44]

Brennan FP, Teh LS “Xác định SIF bằng tổ hợp hàm trọng số” [6]

Chen DH, Nisitani H, Mori K “Tính toán SIF trên tấm bán vô hạn có vết nứt elip dưới ứng suất kéo” [7]

Chongmin Song*, Zora Vrcelj “Đánh giá hệ số cường độ và ứng suất T bằng phương pháp điều kiện biên” [8]ầ

VƠo những năm 1960-1961, lý thuyết cơ học phá hủy do các nhƠ khoa học xơy dựng lúc đó không còn đúng nữa đối với vật liệu dẻo biến dạng Sau khi nghiên cứu, Wells phát triển lý thuyết về tham số CTOD – crack tip open displacement (độ mở đầu vết nứt) đặc trưng cho vật li u dẻo

1968, Rice đƣ phát triển một tham số khác nữa đặc trưng cho ứng xử của vật

liệu phi tuyến ở đầu vết nứt – J integral

Các lý thuyết nền tảng trên lƠ cơ sở để các nhƠ khoa học nghiên cứu về lĩnh

vực cơ học phá hủy trong các giai đoạn tiếp theo

Vi t Nam, một số nghiên c u thƠnh công trong lĩnh vực nƠy có thể kể

đ n như:

Chẩn đoán dầm đƠn hồi có nhiều vết nứt – Nguyễn Tiến Khiêm – Viện cơ học, Đại học xơy dựng HƠ Nội

Nhận dạng vết nứt trong kết cấu dầm khung – Nguyễn Xuơn Hùng – Viện cơ học ứng dụng Tp HCM

Nhận dạng vết nứt trong kết cấu giƠn khoan – Nguyễn Xuơn Hùng, Nguyễn Xuân Hoàng - Viện cơ học ứng dụng Tp HCM – Trung tơm khoa học tự nhiên vƠ công nghệ quốc gia Việt Nam

Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến tần số dao động của kết cấu dầm khung – Đỗ Kiến Quốc, Lê HoƠng Tuấn – Trường ĐHBK Tp HCM 1998

Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến đặc trưng động lực học của kết cấu tấm mỏng – Nguyễn Phi Hùng - Luận văn thạc sĩ trường ĐHBK Tp.HCM 2003

V i đề tƠi:

P hơn tích tr ng thái gi i h n c a t m phẳng có v t n t bằng phư ng pháp ph n tử hữu h n

Trong luận văn nƠy, trước tiên tác giả sử dụng Phư ng pháp ph n tử hữu

h n (FEM) vi t chư ng trình bằng ngôn ngữ lập trình Matlabđể:

Phơn tích tĩnh học, động học, cho bƠi toán tấm mỏng

Phơn tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt thông qua việc phơn tích hệ số cường độ ứng suất K

Nhằm tăng độ chính xác của phương pháp cũng như của bƠi toán, tác giả

chọn mô hình Phần tử đẳng tham số tứ giác bậc hai (8 nút) , kết hợp với Phần tử

đẳng tham số tam giác bậc hai (do phần tử đẳng tham số tứ giác bậc hai suy biến

tạo nên, với nút giữa của cạnh dịch chuyển về vị trí ữ chiều dƠi cạnh) do Barsoum

hồ nướcầv.vầ

Những đề tƠi nƠy cũng chỉ giới hạn với một số điều kiện biên nhất định vƠ phần lớn chỉ lƠ dùng để giải tìm nội lực mƠ thôi

Đối v i phơn tích động lực học bƠi toán t m, phơn tích tr ng thái gi i

h n c a t m phẳng thì các nghiên cứu giải tích dựa trên định luật Newton, phương trình công ảo v.vầ còn hạn chế hơn nữa vì các khó khăn về mặt toán học

Một số các phương pháp xấp xỉ như phương pháp biến phơn, Galerkin v.vầ cũng được phát triển để giải quyết các khó khăn của các phương pháp truyền thống tuy nhiên cũng gặp phải các khó khăn tương tự

Cùng với sự phát triển của công nghệ máy tính hiện nay, các tiếp cận sử dụng phương pháp số như phần tử hữu hạn, phần tử biên, phương pháp không phần

tử (meshless) v.vầ đƣ được nghiên cứu áp dụng vƠ cho kết quả rất tốt Các khó khăn vì khối lượng tính toán nhiều đƣ được máy tính với tốc độ vƠ khả năng xử lý cao giải quyết

Trong t t c các phư ng pháp số thì phư ng pháp ph n tử hữu h n có

thể được xem như một công c r t m nh để gi i quy t h u h t t t c các bƠi toán c hi n nay đặc bi t lƠ bƠi toán t m

Với mong muốn đóng góp vƠo việc nghiên cứu vƠ phát triển các vấn đề cơ học rạn nứt trong những bƠi toán tấm bằng phương pháp mới, tác giả đƣ chọn đề

tài :

Phân tích tr ng thái gi i h n c a t m phẳng có v t n t bằng phư ng pháp ph n tử hữu h n

1.2 S PHÁT TRI N C A BÀI TOÁN DAO Đ NG

Lịch sử hình thƠnh vƠ phát triển c a bƠi toán dao động:

BƠi toán phơn tích dao động với những ý tưởng đầu tiên khởi đầu từ những thập niên cuối thế kỷ 16 vƠ đầu thế kỷ 17

Galileo (1564-1642) lƠ người đ u tiên đi đ u trong lĩnh vực phân tích dao động với bƠi toán dao động của con lắc đơn Ông cũng đƣ có nhiều thí nghiệm

về các hệ dơy vƠ tấm phẳng nhưng chưa có một lời giải chính xác bằng giải tích cho các hệ nƠy

Chỉ vƠi thập niên sau, Joseph Sauveur (1653-1716) đƣ tính được giá trị

g n đúng t n số c b n c a một h dao động lƠ một hƠm theo chuyển vị được đo tại tơm của nó, tương tự như cách thức tính tần số riêng của hệ dao động lò xo và khối lượng một bậc tự do từ chuyển vị tĩnh

VƠ đơy cũng chính lƠ thời kỳ mƠ khoa học gặt hái được nhiều thƠnh quả nhất Đầu tiên lƠ:

Robert Hooke (1635-1703) đƣ thiết lập được định luật đƠn hồi cơ bản

F=kX tiếp theo lƠ

Newton (1642-1727) thiết lập công thức lực quán tính bằng tích số khối lượng vƠ gia tốc chuyển động cơ hệ F=ma

Leibnitz (1646 - 1716) thiết lập được phép tính vi phơnầ

Năm 1713, nhƠ toán học người Anh tên Brook Taylor (1658-1731) đƣ kết hợp tiếp cận vi phơn với định luật hai Newton đƣ ứng dụng một phần tử của dơy liên tục để tính toán giá trị thực của tần số cơ bản

Sự tiếp cận nƠy dựa trên nền tảng của dạng dao động đầu tiên được giả định Năm 1747, Jean Le Rond d’Almbert (1717-1783) đƣ tìm thấy nguồn gốc của phương trình vi phơn truyền sóng Nguyên lý chồng chất của các mode dao động được Daniel Bernoulli đưa ra đầu tiên vƠo năm 1747 vƠ cho đến năm 1753, Euler

đƣ chứng minh được nguyên lý nƠy

Phương trình dao động ngang của dầm chịu uốn được Daniel Bernoulli tìm thấy vƠo năm 1735 Euler lƠ người đƣ tìm ra các lời giải đầu tiên cho bƠi toán dầm đơn giản hai gối tựa vƠ công bố trước khoa học vƠo năm 1744

Các công trình nghiên cứu về dao động của tấm cũng tiến triển nhanh trong giai đoạn nƠy Chịu ảnh hưởng thƠnh công của Euler trong việc tìm ra phương trình dao động của mƠng bằng cách khảo sát sự chồng chất của các dơy, James Brnoulli

đƣ cố công tìm kiếm phương trình dao động của tấm bằng cách khảo sát sự chồng chất của các dầm giao nhau nhưng kết quả không có gì mỹ mƣn

1811 [31]

1.3 S PHÁT TRI N C A BÀI TOÁN T M CH U U N

Lịch sử hình thƠnh vƠ phát triển c a bƠi toán t m chịu uốn:

VƠo những năm đầu thế kỷ 19, các bƠi toán tấm chịu uốn được giải bằng các

mô hình giải tích, tiêu biểu lƠ công trình của S Germaine (1776-1831), Lagrange (1736-1813) và Poisson (1781-1840)

Từ những thƠnh tựu nƠy dẫn đến sự ra đời Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff, trong đó các biến dạng trượt được bỏ qua Năm 1828, Poisson hoƠi nghi

về các điều kiện biên vƠ cho rằng cần ba điều kiện biên trên mỗi biên tự do Tiếp đến, ông đƣ xác định chính xác độ cứng chống uốn vƠo năm 1829

Tuy nhiên, các điều kiện biên tương thích thì không được triển khai, cho đến năm 1850 Kirchhoff (1824-1887) mới đề ra Lời giải chính xác đối với tấm tròn cũng được ông công bố sau đó

Kirchhoff đưa ra lý do lƠ hai điều kiện biên thì thích hợp hơn ba vƠ định nghĩa lực cắt tương đương đặc biệt để giảm số lực trên biên tự do từ ba xuống còn hai Sau đó vƠo năm 1883, T William (1824-1907) và G.T Peter (1831-1901) bổ sung biểu thức liên hệ năng lượng của lực cắt tương đương với sự giải thích rõ rƠng

về vật lý [1, 4, 38]

Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff lƠ lý thuyết tấm đơn giản nhất được sử dụng rộng rƣi để phơn tích tấm Tính đơn giản thể hiện bằng việc giả thiết rằng, trước vƠ sau biến dạng pháp tuyến vẫn thẳng vƠ vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm Giả thiết nƠy có nghĩa lƠ bỏ qua biến dạng trượt trong tấm, nó chỉ đúng đối với tấm mỏng còn tấm dƠy sẽ cho lời giải với sai số lớn

Năm 1945, E Reissner công bố lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt trong tấm đƠn hồi chịu uốn Lý thuyết Reissner không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt bởi vì nó được thƠnh lập bằng cách giả định sự phơn bố ứng suất tiếp theo quy luật Parabol qua chiều dƠy của tấm

Sau đó vƠo năm 1951, R.D Mindlin đưa ra lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của quán tính quay vƠ biến dạng trượt trong dao động uốn của tấm đƠn hồi đẳng hướng hoƠn toƠn tương thích với lý thuyết của Reissner

Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu các góc xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong suốt quá trình biến dạng Tuy nhiên, sự nới lỏng về giả thiết pháp tuyến nƠy vi phạm yêu cầu về tĩnh học, đó lƠ ứng suất tiếp phải bằng không tại biên tự do của tấm

Để khắc phục sai sót đó, người ta đưa ra hệ số hiệu chỉnh lực cắt Lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang được gọi lƠ lý thuyết tấm Reissner-Mindlin Lý thuyết nƠy đƣ mở rộng lĩnh vực ứng dụng lý thuyết tấm vƠo trường hợp tấm dƠy vƠ tấm trung bình [1, 38]

1.4 T NG QUAN V PH ƠNG PHÁP PH N T H U H N (PTHH)

Phư ng pháp ph n tử hữu h n (Finite element method) lƠ một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả trong việc giải các phương trình vi phơn đạo hàm riêng, bằng cách rời rạc hóa các phương trình nƠy theo các không gian nghiên cứu

Thuật ngữ Phần tử hữu hạn (Finite element)được biết đến với công trình nghiên cứu của R W Clough năm 1960 Ông đƣ đề nghị sử dụng phương pháp nƠy như lƠ một sự lựa chọn cho phương pháp sai phơn hữu hạn đối với lời giải số của bƠi toán tập trung ứng suất trong cơ học môi trường liên tục

Sau đó, phương pháp phần tử hữu hạn tiếp tục phát triển vƠ hoƠn thiện với các cống hiến của nhiều nhƠ khoa học, có thể kể đến như:

O C Zienkiewicz, R L Taylor (1967, 1971, 1977, 1989), G Strang, G Fix (1973), J N Reddy (1984, 1993), S S Rao (1982, 1989), T J T Hughes (1979), R H Gallagher (1975), E L Wilson (1971),ầ

Các nội dung nghiên c u chính trong luận văn:

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết cho đề tƠi đó lƠ lý thuyết về cơ học rạn nứt, lý thuyết đƠn hồi vƠ lý thuyết tấm mỏng Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn vƠ ngôn ngữ lập trình Matlab phục vụ cho đề tƠi trong việc lập trình tính toán vƠ phơn tích những dữ liệu tìm được

Khảo sát sự hội tụ cho bƠi toán tấm không nứt, vật liệu lƠ thép tấm SM490 Khảo sát tấm chịu uốn lƠm bằng vật liệu thép SM490, một tấm có một vết nứt ở biên vƠ một tấm có vết nứt ở giữa Sử dụng phơn tích phần tử hữu hạn - FEA (Finite Element Analysis) kết hợp với ngôn ngữ Matlab viết chương trình tính toán tĩnh học, động học, động lực học tìm tần số dao động riêng của các mode dao động, đáp ứng chuyển vị vƠ vận tốc của từng nút

Khảo sát tấm chịu kéo, tấm thép hợp kim Titanium Ti-6Al-4V có một vết nứt

ở biên, tấm thép AISI-4147 có một vết nứt ở giữa Sử dụng phần tử tam giác suy biến điểm ữ do Barsoum đề xuất nhằm tính hệ số cường độ ứng suất (Stress Intensity Factor – SIF) của chi tiết tấm chịu kéo có vết nứt

Cuối cùng, tác giả sẽ đưa ra các kết luận về kết quả đạt được, nêu lên các vấn

đề đƣ giải quyết được, các vấn đề còn tồn đọng chưa được giải quyết vƠ đề xuất hướng phát triển của đề tƠi

2.1.1 Ảnh hưởng c a v t n t đ n độ bền k t c u [50]

Khảo sát các kết cấu đƣ hình thành vết nứt, người ta nhận thấy rằng, kích thước của vết nứt sẽ phát triển nhanh theo thời gian dưới tác dụng của tải trọng hoặc các tác nhơn môi trường so với các kết cấu hoƠn toƠn không có nứt Sự tập trung ứng suất cƠng cao đối với các vết nứt cƠng lớn Khả năng lƠm việc của kết cấu giảm đáng kể theo sự tăng dần kích thước của vết nứt Qui luật lan truyền của vết nứt là một hƠm theo thời gian vƠ có thể biểu diễn bằng các đường cong cho trên Hình 2.1a

Khả năng lƠm việc của kết cấu giảm đáng kể theo sự tăng dần kích thước của vết nứt Giới hạn bền của kết cấu cũng suy giảm theo sự tăng dần kích thước của vết nứt, Hình 2.1b Sau một thời gian nhất định, giới hạn bền kết cấu giảm dần vƠ không đủ khả năng để chịu một tải trọng lớn bất thường có thể xảy ra trong quá trình lƠm việc của kết cấu Đơy chính lƠ nguyên nhơn dẫn đến kết cấu bị phá hủy

Trong trường hợp tác dụng của tải trọng bất thường có thể không xảy ra, lúc

đó vết nứt tiếp tục phát triển cho đến khi giới hạn bền giảm đến mức thấp nhất, sự phá hủy kết cấu sẽ xảy ra ngay ở tải trọng tác dụng bình thường

Chương 2: LÝ THUY T C H C R N N T, LÝ THUY T ĐÀN H I, LÝ THUY T T M

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 12

2.1.2 ng su t vƠ chuyển vị t i đáy v t n t

Trong bƠi toán tổng quát ba chiều, có ba kiểu hình thành vết nứt có thể xảy ra:

- Kiểu I: Vết nứt có dạng mở rộng tách vuông góc, Hình 2.2a

- Kiểu II: Vết nứt có dạng trượt dọc, Hình 2.2b

- Kiểu III: Vết nứt có dạng trượt ngang, Hình 2.2c

Khi ứng suất bình thường trong kết cấu gia tăng có thể dẫn đến sự hình thành vết nứt theo kiểu I Bề mặt của vết nứt di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng có chứa vết nứt

Kiểu II thường hình thành dưới tác dụng của lực cắt trong mặt phẳng Khi

đó, sự chuyển dịch của bề mặt vết nứt ở trong mặt phẳng của vết nứt và vuông góc với cạnh có chứa vết nứt

Kiểu III thường xảy ra do tác dụng của các lực cắt ngoƠi mặt phẳng, chuyển dịch của bề mặt vết nứt ở trong mặt phẳng của vết nứt vƠ song song với cạnh có chứa vết nứt

Hình 2.2 : Các kiểu hình thành vết nứt

Kích thước

vết nứt

Tần số Thời gian

Giới hạn bền khi thiết kế

Kích thước vết nứt

ời gian (t)

Giới hạn bền

Khả năng chịu tải lớn nhất

Khả năng chịu tải bình thường

Phá hủy

có thể xảy ra

Phá hủy

Hình 2.1 : nh hưởng của vết nứt đến tần số và độ bền kết ấ

Khảo sát vết nứt trên một tấm vô hạn có bề dƠy không đổi chịu ứng suất kéo phơn bố, Hình 2.3

Hình 2.3 : Vết nứt trong trường hợp ứng suất kéo

Khi đó, ứng suất tại một điểm bất kỳ trong lơn cận đáy vết nứt đối với kiểu hình thành vết nứt kiểu I cho vật liệu đƠn hồi đẳng hướng được xác định:

2

3 sin 2 sin 1 2 cos 2

2

3 sin 2 sin 1 2 cos 2

xy y

x

ng suất tại những điểm lơn cận đáy vết nứt phụ thuộc vƠo khoảng cách r

Các ứng suất nƠy sẽ tiến đến vô hạn (kỳ dị) khi r 0 (đáy vết nứt) Điều nƠy không phù hợp với thực tế, cho nên khái niệm Hệ số cường độ ứng suất [17, 41]

được đưa ra nhằm giải quyết sự kỳ dị ở đáy vết nứt vƠ thể hiện đặc trưng của vết nứt ở lơn cận đáy vết nứt Từ đó, công thức (2.1) có thể viết lại:

2

3 sin 2 sin 1 2 cos 2

2

3 sin 2 sin 1 2 cos 2

I xy

I y

I x

y

x

xy

Chương 2: LÝ THUY T C H C R N N T, LÝ THUY T ĐÀN H I, LÝ THUY T T M

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 14

2

2 sin 2 1 2 cos 2

2

2 1

2 1

K u

r G

K u

3 : đối với bƠi toán ứng suất phẳng

G : module trượt

 : hệ số poisson mặt phẳng   0,

r

K

y x

2

3 cos 2 cos 2 sin 2

2

3 cos 2 cos 2 2 sin 2

II xy

II y

II x

2

2 cos 2 1 2 sin 2

2

K u

r G

K u

II y

II x

2 cos 2

2 sin 2

r K r K

III z

III yz

III xz

 Hệ số cường độ ứng suất chung KIresđược tính như sau:

Tiêu chuẩn gƣy vở của một cấu trúc: KI = KIC

Với KIC: Hệ số cường độ ứng suất tới hạn (ngưỡng) (Critical Stress Intensity Factor)

2 1.3 Sự hình thành bi n d ng dẻo ở đáy v t n t [50]

Trong thực tế, mỗi loại vật liệu đều có một giới hạn chảy riêng nhất định, vƠ khi ứng suất trong kết cấu đạt đến giới hạn chảy thì sẽ xuất hiện biến dạng dẻo Điều nƠy có nghĩa lƠ ở đáy vết nứt sẽ luôn tồn tại một vùng biến dạng dẻo, vùng biến dạng dẻo nƠy có kích thước nhỏ vƠ mang tính chất cục bộ lơn cận đáy vết nứt

Kích thước của vùng biến dạng dẻo ở đáy vết nứt được xác định theo lý thuyết của Irwin, trong mặt phẳng  = 0,

ch p

p

a K r





Trong đó:  lƠ ứng suất bên trong kết cấu xung quanh vị trí vết nứt; a là

chiều dƠi vết nứt; chlƠ ứng suất giới hạn chảy của vật liệu

Thực tế cho thấy, đối với vật liệu đàn – dẻo, khi xảy ra sự chảy thì ứng suất

có hiện tương phơn bố lại để thỏa mƣn sự cơn bằng Khi đó vùng biến dạng dẻo với kích thước *

Chương 2: LÝ THUY T C H C R N N T, LÝ THUY T ĐÀN H I, LÝ THUY T T M

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 16

Hình 2.4: Vùng biến dạng dẻo tại đáy vết nứt Hình 2.5: Độ mở rộng của đáy vết nứt

Độ mở rộng ở đáy vết nứt CTOD (Crack Tip Opening Displacement) được xác định [11, 18, 37]:

ch

I p

E

K ar

E CTOD

2.1.4 H số cường độ ng su t (Stress Intensity Factor) [17, 50]

Như đƣ đề cập trên, hệ số cường độ ứng suất được đưa ra nhằm giải quyết sự suy biến tại đáy vết nứt vƠ nó cũng lƠ thông số đặc trưng cho vết nứt Nó được định nghĩa:

)2(lim

lƠ một hƠm phụ thuộc vƠo độ đớn của ứng suất tác dụng vƠ dạng hình học của kết

cấu Giá trị hữu hạn của Kđược xác định:

a

Đàn - dẻo Đàn hồi

*

p r

a

*

p r

Hệ số cường độ ứng suất có tính hữu hạn vƠ lƠm cơ sở cho việc xác định lực giới hạn Điều kiện tới hạn trong cơ học rạn nứt lƠ sự khởi đầu vƠ lan truyền của vết nứt, trong đó vết nứt phát triển cường độ cao dẫn đến kết cấu bị hư hỏng

Nếu cho rằng vật liệu (kết cấu) bị hư hỏng cục bộ do sự kết hợp tới hạn nƠo

đó của ứng suất vƠ căng suất, việc tiếp theo lƠ rạn nứt sẽ xảy ra tại một hệ số cường

độ ứng suất tới hạn K C Như thế, K C lƠ một số đo độ cứng (toughness) vƠ nó được xác định bằng thực nghiệm Khi

C K

có thể tra trong sổ tay cơ học Trong luận văn nƠy, giá trị F(a/b) được tra từ sổ tay

TaDa [41]

2.2 LÝ THUY T ĐÀN H I

Lý thuyết đƠn hồi bắt nguồn từ cơ học vật liệu Về mặt lịch sử, nguồn gốc của cơ học vật liệu khởi sự vƠo thế kỷ 17, lý thuyết đƠn hồi được trình bƠy chi tiết trong sách “Theory of Elasticity” của S Timoshenko and J.N Goodier [39]

Trong giới hạn phạm vi của luận văn, tác giả chỉ tóm tắt về lý thuyết biến dạng đƠn hồi trong trường hợp kết cấu ở trạng thái ứng suất phẳng vƠ lý thuyết tấm lƠm cơ sở để giải quyết các vấn đề được đưa ra ở chương 1

2.2.1 Lý thuy t đƠn h i cho bài toán ng su t phẳng

Một cách tổng quát, ứng suất vƠ biến dạng trên các vật thể bao gồm 6 thành phần, Hình 2.6 [12, 39]

Chương 2: LÝ THUY T C H C R N N T, LÝ THUY T ĐÀN H I, LÝ THUY T T M

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 18

Đối với ứng suất:x,y,z,xy,yz,xztương ứng với ứng suất pháp theo

phương x, y, z vƠ ứng suất tiếp theo phương z, x, y

Đối với biến dạng:x,x,x,xy,yz,xztương ứng với biến dạng pháp căng

theo phương x, y, z vƠ trượt căng theo phương z, x, y

Dưới những điều kiện cho trước, trạng thái ứng suất vƠ biến dạng có thể

được đơn giản hóa Vì vậy, phơn tích vật thể 3D có thể được đưa về thành phân tích 2D [12]

Với các vật thể mỏng, kích thước theo phương z rất nhỏ so với hai phương còn lại, chịu tác dụng của các lực trong mặt phẳng Oxy, Hình 2.7,

Người ta có thể chấp nhận giả thiết rằng:

a Quan hệ ứng suất - biến dạng – nhiệt độ

Hình 2.7: Mô hình bài toán ứng suất phẳng

Hình 2.6 : Các thành phần ứng suất và biến dạng

Đối với vật liệu đẳng hướng và đƠn hồi, chúng ta có:

0

/ 1 0 0

0 /

1 /

0 / /

1

xy y x

xy y x

xy y x

G

E E

E E

Trong đó,   là vector 0 biến dạng ban đầu; [ ] lƠ ma trận hệ số đƠn hồi (hay

ma trận ứng xử); E lƠ module đƠn hồi;  lƠ hệ số possion; G lƠ module trượt

Với:

)1(

0

2 / ) 1 ( 0 0

0 1

0 1

1

xy y x

xy y x

xy y

Trong đó:  0 [] 0 lƠ ứng suất ban đầu

Biến dạng ban đầu   0 lƠ do nhiệt độ, được xác định:

0

T T

xy y

Trong đó,  lƠ hệ số giƣn nhiệt, Tđộ thay đổi nhiệt độ

b Quan hệ biến dạng – chuyển vị

Với giả thuyết biến dạng bé, chúng ta có:

y

u x

v y

v x

u

xy y

xy y x

/ /

/ 0

0 /







(2.26)

Chương 2: LÝ THUY T C H C R N N T, LÝ THUY T ĐÀN H I, LÝ THUY T T M

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 20

x xy x

q y x

q y x

d Điều kiện biên

Biên S của vật thể có thể được chia thƠnh hai thƠnh phần, Hình 2.8 Thành

phần biên chính S u vƠ thƠnh phần biên tự nhiên S t [13] Khi đó, trên S u ta có

0

0,v v

u

u  và trên St ta có t x t x0,t y t y0, với t x,t y lƠ các lực trên biên theo phương

x, y tương ứng Trong đó u0 ,v0 ,t x0 ,t y0 lƠ các thƠnh phần biết trước

2.3 LÝ THUY T T M

Tấm lƠ một kết cấu được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song vƠ cách nhau một khoảng h gọi lƠ bề dƠy của tấm Mặt trung bình lƠ mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng tấm

Mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm gọi lƠ mặt trung hòa (mặt trung gian hay mặt giữa)

Khi 1 h 1

100  l  5 , thì được gọi lƠ tấm mỏng

Hình 2.8 : Biên S của vật thể

Với l lƠ chiều dƠi cạnh nhỏ nhất của tấm

Xét một tấm mỏng chịu uốn dưới tác dụng của các lực vuông góc với mặt

phẳng tấm, hệ tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng Oxy trùng với mặt giữa của tấm, trục z vuông góc với mặt phẳng tấm (Hình 2.9a )

Mômen uốn, lực cắt vƠ sự phơn bố ứng suất được mô tả trên (Hình 2.9a,b)

2.3.1 Quan h lực - ng su t

Với giả thuyết tấm mỏng chịu uốn, các thƠnh phần ứng suất x,y,xy quan

hệ với các thƠnh phần momen uốn M x,M y,M xy như sau:[1,9,38]:

2 /

2 /





 h

h x

2 /





 h

h y

h

h xy

2 /





 h

h xz

h

h yz

2.3.2 Lý thuy t t m mỏng c a Kirchhoff

Các giả thiết của Kirchhoff [1, 9, 12]:

- Các đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm vẫn còn thẳng

vƠ vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn vƠ độ dƠi của chúng lƠ không đổi

- Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo, nén hay trượt, nó lƠ mặt trung hòa

- Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm

a Mối quan h bi n d ng - chuyển vị - ng su t

Chuyển vị (u,v) theo phương (x,y) trong mặt phẳng trung hòa tấm, Hình 2.10

Hình 2.9 : a) Các thành phần lực và Momen trên tấm; b) Sự phân bố ứng suất

Chương 2: LÝ THUY T C H C R N N T, LÝ THUY T ĐÀN H I, LÝ THUY T T M

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 22

 x, ylần lượt lƠ góc xoay của mặt phẳng trung hòa quanh trục x vƠ y

ww ( v u, )lƠ hƠm độ võng theo phương z của mặt phẳng trung hòa của tấm

Biến dạng của một điểm bất kỳ thuộc tấm:

y x

w z x

u y u

y

w z y u

x

w z x

u x

2

2 y

2 2

2 ;

xy y

0 1

0 1

xy y x

k k

k E

z

2 / ) 1 ( 0 0

0 1

0 1

Hình 2.10: Quan hệ giữa các góc xoay của mặt phẳng trung hòa và đạo hàm độ võng

   T T

xy y x

y x

w y

w x

w k

k k k

E lƠ module đƠn hồi,  lƠ hệ số poisson

{k}: vectơ độ cong của tấm chịu uốn

Trong đó, n lƠ vector pháp tuyến của biên, Hình 2.11

2.3.3 Bi n d ng trượt c a t m, lý thuy t t m c a Reissner – Mindlin:

Nếu chiều dƠy tấm không nhỏ, khi đó lý thuyết tấm của Reissner – Mindlin [1, 9, 12, 38] được áp dụng Lý thuyết nƠy tính toán sự thay đổi góc của tiết diện ngang, hay

0 ,

Hình 2.11 : Đường biên và pháp vector n

Chương 2: LÝ THUY T C H C R N N T, LÝ THUY T ĐÀN H I, LÝ THUY T T M

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 24

01)1(

Biến dạng trượt trung bình xz,yzđược xem lƠ không đổi trên suốt bề dƠy của tấm nên hợp lực của các ứng suất tiếp nƠy trên mặt cong của tiết diện lƠ các lực cắt Q x,Q y quan hệ với biến dạng trượt như sau:

y

x

v

Eh Q

01)1(

Các thƠnh phần nội lực (gồm moment uốn  M vƠ lực cắt  Q trong trường hợp tấm chịu uốn đƠn hồi đẳng hướng có thể biểu diễn theo vector độ cong  k và biến dạng trượt   như sau:

E Q

M

s T

t

Q Q M M M

f t

E

E E

t k k k





 (2.46)

Do giới hạn của đề tƠi, phương pháp phần tử hữu hạn được trình bƠy ngắn gọn, dựa trên cơ sở lý thuyết đƠn hồi cho bƠi toán ứng suất phẳng vƠ lý thuyết tấm của Reissner-Mindlin cho bƠi toán tấm chịu uốn Với việc sử dụng phần tử tứ giác tám nút vƠ phần tử suy biến điểm ữ của Barsoum tại đáy vết nứt [19, 20]

2 1

2 1

00

00

v u v u

N N

N N

v

u

Trong đó,  N lƠ ma trận hƠm dạng, Ni lƠ hƠm dạng ở nút thứ i được tính toán từ

phương pháp nội suy Lagrange [25];  u lƠ ma trận chuyển vị tại một điểm bất kì trên phần tử và  d lƠ vector chuyển vị nút phần tử

Từ mối quan hệ biến dạng – chuyển vị Vector biến dạng lƠ

  [D] u   D N d

Trong đó,     B  D N lƠ ma trận biến dạng Đối với bƠi toán ứng suất phẳng, [B] có

dạng:

y N x N B

i i i

i

0

0]

N N

x

N y N

y N x N

B

i i

i i

i i i i

0 0 0

0 0

0 0

(3 5)

Trong đó: i=1,2,3ầ lƠ số nút của phần tử

Năng lượng biến dạng trong phần tử

1

(3.7) Thay công thức (3.3) vào (3.7) ta được,

   

B d     EB d dA  d     B E B dA d U

A

T T T

A

2

1 2

được gọi lƠ ma trận độ cứng phần tử

Đối bƠi toán tấm mỏng chịu uốn, ma trận ứng xử [E]t , chia hai thƠnh phần,

ma trận hệ số đƠn hồi do uốn  E f vƠ ma trận hệ số đƠn hồi do cắt  E s

f T

f E B dA B E B dA B

k]

Chương 3: PH NG PHÁP PH N T H U H N

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 28

Trong đó,  B f lƠ ma trận biến dạng do uốn;  B s lƠ ma trận biến dạng do cắt

0 0

x

N y N

y N x N

B

i i i i

x

N N

B

i i

i i

W

2

1 2

2

12

Trong đó, U lƠ năng lượng biến dạng; W lƠ công của ngoại lực tác dụng

Thay các phương trình (3.9) và (3.16) vào (3.17) ta được:

       d T k d d T p

2

1 ] [ 2

Hình 3.1: P hần tử tứ giác 8 nút

Trong hệ tọa độ tự nhiên  , , 8 hƠm nội suy cho 8 nút tương ứng,

), 1 )(

1 )(

1 ( 4

1 ( 2

i i

) 1 )(

1 ( 2

i

i N

N

i,j=1 8 Trường chuyển vị u,v trong bƠi toán ứng suất phẳng được xác định,



 8

i i

i u N

i i

i v N

x N

i yi i

y N

i i

i w N

y x u

Hình 3.2 : a) Phần tử tứ giác suy biến điểm ¼

b) Phần tử tam giác suy biến điểm ¼

Đặc tính nƠy lƠ do dọc theo các cạnh gần đáy vết nứt, giá trị đạo hƠm riêng bậc một của các thƠnh phần chuyển vị ( v u, )theo phương ( y x, )biến thiên theo tỷ lệ

r

/

1 , tỷ lệ nƠy bị suy biến khi r 0(tại đáy vết nứt) Sự suy biến nƠy xảy ra trong

định thức Jacobi của phép biến đổi hệ tọa độ toƠn cục (x,y) vƠ hệ tọa độ tự nhiên

 , [32]

3.3 1 Ph n t t giác suy bi n đi m ¼

Xét một phần tử tứ giác 8 nút với nút giữa trên các cạnh gần đáy vết nứt chuyển về điểm ữ gần đáy vết nứt, Hình 3.3, gốc tọa độ toƠn cục Oxy đặt tại điểm

1

HƠm dạng trên cạnh 1-2 tại nút 1, 2 vƠ 5 được xác định,

),1(2

1 ( 1 ) ( 1 ) 2

1 ) 1 ( 2

1

x x

x

Trong hệ tọa độ (x,y), thì x10,x2 Lvà x5L/4, ta được

4 ) 1 ( ) 1 ( 2

Trong đó, L lƠ chiều dƠi của cạnh phần tử chứa nút 1 và 2

Jacobi của phép biến đổi tọa độ x vƠ ,

xL L

Phương trình (3.28) cho ta thấy rằng, khi x=0, thì det(J)=0 Do đó, giá trị

đạo hàm riêng của chuyển vị bị suy biến tại vị trí nƠy

Mặc khác, thay phương trình (3.27) vƠo phương trình (3.25), nội suy chuyển

3L/4

L/4

Miền suy biến 1 / r

Chương 3: PH NG PHÁP PH N T H U H N

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 32

5 2

1

42

21

222

121

u L

x L

x u

L

x L

x

u K

x L

x u

1

424

12

14

32

1

u L xL

u L xL

u L xL x

Như vậy, biến dạng thể hiện tính suy biến 1/ r dọc trên cạnh của phần tử

3.3 2 Ph n t tam giác suy bi n đi m ¼

Phần tử tam giác được tạo ra bằng cách chập ba nút 1,4 và 8 từ phần tử tứ giác suy biến điểm ữ sẽ cho kết quả tính toán tốt hơn vì tính suy biến 1/ r tồn tại

dọc theo cạnh 1-5-2 , 4-7-3 vƠ bên trong phần tử

Xét phần tử tam giác suy biến điểm ữ với gốc tọa độ toƠn cục Oxy đặt tại điểm chập 1, 4 vƠ 8, Hình 3.4

Hình 3.4: Phần tử tam giác suy biến điểm ¼

Trên trục x, khi đó =0 Mối quan hệ giữa x và  được xác định:

4 ) 1 2

Trong đó, L1 lƠ chiều dƠi của phần tử theo phương x

Lời giải theo :

1

21

Như vậy, tương tự như phần tử tứ giác suy biến điểm ữ, trong phần tử nƠy, biến dạng thể hiện tính suy biến 1/ r dọc trên phương x

3.4 TÍNH NG SU T VÀ BI N DẠNG TRONG FEM

Biến dạng tại một điểm bất kỳ trên phần tử có thể xác định được thông qua mối quan hệ chuyển vị - biến dạng,    B d , vƠ ứng suất được xác định theo định luật Hooke,    E 

Độ chính xác của ứng suất vƠ biến dạng trên phần tử phụ thuộc vƠo vị trí điểm tính toán Đối với phần tử tứ giác 8 nút, ứng suất vƠ biến dạng có giá trị chính xác nhất tại điểm tích phơn 2×2, với vị trí trong tọa độ tự nhiên tương ứng lƠ

 , 1/ 3,1/ 3 [12], Hình 3.5

Như vậy, giá trị ứng suất vƠ biến dạng tại một nút được tính toán trên các phần tử khác nhau chứa nút đó lƠ khác nhau, điều nƠy dẫn đến trường ứng suất vƠ biến dạng bị mất liên tục, đơy cũng chính lƠ nhược điểm của phương pháp phần tử hữu hạn

Cách để tính toán trường ứng suất vƠ biến dạng liên tục gồm hai bước: bước thứ nhất, sử dụng phương pháp ngoại suy [12] để tìm giá trị tại các nút góc từ các giá trị được tính toán tại các điểm tích phơn; bước thứ hai, trung bình cộng các giá

trị được tính trên các phần tử liên quan Sau cùng trường ứng suất vƠ biến dạng sẽ được nội suy theo hƠm dạng

Đối với phần tử đẳng tham số bậc hai 8 nút, công thức ngoại suy được cho như sau

 f  L(m) f(m) (3.33)

Hình 3.5: Điểm tích phân 2x2 và các nút góc trên phần tử

Chương 3: PH NG PHÁP PH N T H U H N

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 34

Trong đó,  f lƠ giá trị trên nút ở bốn góc phần tử cần tìm;  f ( m) là giá trị tại điểm tích phân 2×2;  L ( m) là ma trận ngoại suy:

2/12

/312/12

/31

2/312/12/312/1

2/12

/312/12

/31

sử dụng phép tích phơn số sẽ cho kết quả chính xác hơn [12, 26, 27]

Có một vƠi phương pháp tích phơn số để tính các tích phơn xác định như: Phương pháp hình thang, phương pháp Simpon 1/3, phương pháp cầu phương Gaussầ Trong đó, phương pháp cầu phương Gauss được sử dụng rộng rƣi

Công thức tính tích phơn số bằng phương pháp cầu phương Gauss như sau: Đối với tích phơn đường:

s f

1

1

1

)(.)

j i j

i w f s t w

dt ds t s f

n: lƠ số điểm Gauss

Phép cầu phương Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả lƠ chính xác nếu hƠm f(,) lƠ một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng (2n -1), cũng cần phải dùng tất cả các số lẻ nếu muốn có kết quả chính xác

3.6 TÍNH HỆ SỐ C ỜNG Đ NG SU T BẰNG FEM

Hệ số cường độ ứng suất K (Stress Intensity Factor), được phát triển bởi Iwrin [16], lƠ một thông số quan trọng trong việc đánh giá trạng thái của vết nứt dưới những điều kiện lƠm việc cụ thể của kết cấu Vì dưới điều kiện của cơ học rạn nứt tuyến tính (Linear Elastic Fracture Mechanics- LEFM), trường chuyển vị, biến dạng vƠ ứng suất trong miền gần đáy vết nứt được xác định bởi hệ số cường độ ứng suất K nƠy Cho đến nay, dù khái niệm hệ số cường độ ứng suất K đƣ ra đời cách đơy 40 năm nhưng ngƠy nay, các nhƠ khoa học vẫn tiếp tục nghiên cứu vƠ phát triển những công cụ tính toán hệ số nƠy với mục đích nhằm đánh giá chính xác trạng thái của vết nứt trong kết cấu Những công cụ nƠy bao gồm kỹ thuật tính toán hệ số cường độ ứng suất K từ kết quả tính toán FEM với nhiều phương pháp khác nhau như: kỹ thuật chuyển vị nút (nodal displacement techniques), kỹ thuật mở rộng vết nứt ảo (virtual crack extension techniques), kỹ thuật tích phơn kín vết nứt đƣ thay đổi (modified crack closure integral techniques) và kỹ thuật đường tích phơn J (J-integration techniques) Trong luận văn này, tác giả sẽ trình bƠy phương pháp tính toán hệ số cường độ ứng suất từ kết quả FEM bằng phương pháp kỹ thuật chuyển vị nút (nodel displacement techniques)

Do giới hạn của luận văn, tác giả chỉ giới thiệu cơ sở tính toán hệ số cường

độ ứng ở kiểu nứt thứ I (mode I) với 2 trường hợp: nứt cạnh vƠ nứt giữa Cả 2 trường hợp được tính toán ở trạng thái ứng suất phẳng [6, 7, 8, 19, 20, 35, 45]

3.6 1 C sở tính toán

Kỹ thuật chuyển vị nút lƠ phương pháp đơn giản nhất để tính toán hệ số cường độ ứng suất K từ kết quả FEM [45] Kỹ thuật nƠy còn gọi lƠ phương pháp trực tiếp Một cách đơn giản, kết quả chuyển vị từ FEM đối với nút trong lưới chia được thay thế trực tiếp vƠo phương trình phơn tích hệ số cường độ ứng suất Thông thường, những nút nƠy được chọn lƠ nút nằm trên đường nứt vƠ gần đáy vết nứt

nhất, ở đơy lƠ nút a và b, Hình 3.6

Từ phương trình trường chuyển vị (2.3), ta có

)1(

r G

K v

Như vậy, hệ số cường độ ứng suất K ở mode I cho bƠi toán phẳng là:

Chương 3: PH NG PHÁP PH N T H U H N

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 36

)(

bƠi toán ứng suất phẳng k=(3-v)/(1+v)

Hình 3.6 : Điểm a, b trong phương trình 3.37

Độ chính xác của phương pháp nƠy phụ thuộc vƠo độ mịn lưới vƠ kiểu phần

tử Độ chính xác của phương pháp sẽ được cải thiện nếu sử dụng phần tử suy biến

điểm ữ [45] Trong trường hợp nƠy, chuyển vị dọc theo đường nứt đối với nội suy

phần tử suy biến điểm ữ được xác định, Hình 3.7

l

r v v v l

r v v v v

v upper a  (  3 a  4 b  c)  ( 2 a  4 b  2 c) (3.39)

l

r v v v l

r v v v v

v lower  a (3 a 4 d  e) (2 a 4 d 2 e) (3.40)

Hình 3.7: P hần tử suy biến điểm ¼ tại đáy vết nứt và các nút a, b, c, d, e

Chuyển vị mở rộng vết nứt (Crack Open Displacements-COD) từ kết quả FEM [45]:

l

r v v v

v l

r v v v v v

v upper lower  [ 4 ( b d)  e  c]  [ 4 ( b  d)  2 ( e c)] (3.41)

Số hạng căn bậc hai trong phương trình (3.41) thay vƠo phương trình trường chuyển vị (2.3) ta thu được công thức tính toán hệ số cường độ ứng suất K từ kết quả chuyển vị trong phơn tích FEM:

])

(4[

Trong bài toán động lực học, có 2 dạng ma trận khối lượng được sử dụng, đó

là ma trận khối lượng tập trung (lumped mass matrix) và ma trận khối lượng tương thích (consistent mass matrix)

Ma trận khối lượng tập trung lƠ một ma trận đường chéo, được thiết lập bằng

cách qui cho khối lượng phơn bố trên phần tử thƠnh các khối lượng tập trung đặt tại nút Còn ma trận khối lượng tương thích phần tử lƠ một ma trận được thiết lập trên

cơ sở hƠm dạng lƠ hƠm xấp xỉ của chuyển vị

Ma trận khối lượng tập trung sẽ cho kết quả gần chính xác trong các trường

hợp kết cấu nhẹ vƠ có các vật nặng (các khối lượng tập trung) đặt sẵn tại các nút

Tuy nhiên, vì có dạng ma trận đường chéo nên ma trận khối lượng tập trung có tính đơn giản hơn Còn việc sử dụng ma trận khối lượng tương thích sẽ cho kết quả

chính xác nếu dạng dao động thực có thể biểu diễn bằng tổ hợp của các hƠm dạng [N] Tuy nhiên, các hàm dạng nƠy lƠ các hƠm dạng khi phơn tích tĩnh nên sự phơn

bố khối lượng theo cách nƠy cũng chỉ lƠ gần đúng Mặc dù vậy, ma trận khối lượng tương thích vẫn cho kết quả chính xác hơn [34] Chính điều đó, nhằm nơng cao tính chính xác của bƠi toán, trong luận văn nƠy, tác giả sử dụng ma trận khối lượng tương thích

Công thức xác định ma trận khối lượng tương thích được tính như sau [34],[40]:

 M    N N dV

e V

T

Chương 3: PH NG PHÁP PH N T H U H N

GVHD: PGS.TS Nguyễn HoƠi Sơn Trang 38

Trong hệ tọa độ tự nhiên của phần tử thì ma trận khối lượng tương thích phần tử được tính như sau:

 Đối với bƠi toán uốn:

 M I    N N J dd I    N N J dd

T T

0 1

1

1

1 0

h

h

h dz





 22

3 2

h

h

h dz z

(3.45)

lƠ các momen quán tính khối lượng vƠ I2 còn được gọi lƠ quán tính quay do các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình quay xung quanh trục x vƠ y trong quá trình tấm bị uốn

00

00

000

000

h

h

h dz

N

N N

Phương trình dao động cưỡng bức có cản của một hệ kết cấu n bậc tự do theo

mô hình tương thích của phương pháp phần tử hữu hạn được cho như sau: [17, 9, 40]

 M q  C q  K   q  P (3.49) Trong đó:

[M] lƠ ma trận khối lượng tổng thể    

i n i e M



1