Nghiên cứu động lực học của cầu cáp treo nhịp dài bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp này được thiết kế và ứng dụng để xác định các đặc tính của động học, các tần số tự nhiên, các dạng của dao động và khả năng tích trữ năng lượng của các thành phần khác nhau c

MỤC LỤC

Trangtựa TRANG

Quyếtđịnhgiaođềtài

Lý lịch cá nhân

Lờicamđoan Error! Bookmark not defined. Lời cảm ơn ii

Tóm tắt luận văn Error! Bookmark not defined. Mục lục Error! Bookmark not defined. Danh mục các hình iix

Danh mục các bảng ixi CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU Error! Bookmark not defined 1.1 TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN C U 1

1.2 CÁC KẾT QUẢ NGHIÊNC U TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC 2

1.2.1 ngoàiNước 2

1.2.2 trongnước 6

1.3 MỤC TIEU NGHIEN C U CỦA DỀ TAI 8

1.4 NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI VÀ GIỚI HẠN ĐỀ TÀI 8

1.5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C U 8

C HƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 9

2.1 GI I THI U V PH N T H U H N 9

2.1.1 Giớithiệuchung 9

2.1.2 Địnhnghĩahìnhhọccácphầntửhữuhạn (FEM) 9 2.1.3 Các dạng phần tử hữu hạn (FEM) Error! Bookmark not

defined.0

2.1.4 Tínhtoánbằng FEM Error! Bookmark not defined.1

2.1.5 ng dụng của FEM Error! Bookmark not defined.2

defined.3

2.2.1 Lịch sử ra đời của Matlab 13

2.2.2 Khái niệm về Matlab Error! Bookmark not defined.3 2.3 GI I THI U C U CÁP TREO Error! Bookmark not defined.4 CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG THẲNG Đ NG CỦA CẦU CÁP TREO 15

3.1 GI I THI U 15

3.2 PHỂN TệCH C U CÁP TREO B NG PH NG PHÁP FEM 15

3.2.1 Giả thiết ban đầu 15

3.2.2 Đánh giá các cấu trúc ma trận 17

3.3 CÁC Đ C TệNH Đ NG L C H C C U TREO 20

3.3.1 Các dữ liệu ban đầu 20

3.3.2 Sơ đồ khối 21

3.3.3 Bàitoánápdụng……….22

CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG XOẮN TỰ DO CỦA CẦU CÁP TREO 24

4.1 GI I THI U 24

4.2 GI THI T BAN Đ U 25

4.3 ĐÁNH GIÁ CÁC C U TRÚC MA TR N 26

4.3.1 Ma trận độ cứng đàn hồi của thanh biên 27

4.3.2 Ma trậnđộcứngđànhồicủahệthốnggiằngtăngcứng 27

4.3.3 Ma trậnđộcứngtrọnglựccủacáp 28

4.3.4 Ma trậnđộcứngđànhồicủacáp 28

4.3.5 Ma trậnđặctính – quántính 29

4.3.6 Phươngtrìnhcânbằng 30

4.4 BÀI TOÁN ÁP D NG 30

4.4.1 Cácdữliệu ban đầu 30

4.4.2 Kết quả dao động 31

CHƯƠNG 5 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO THEO PHƯƠNG NGANG CỦA CẦU CÁP TREO 33

5.1 GI I THI U 33

5.2 GI THI T BAN Đ U 34

5.3 ĐÁNH GIÁ CÁC C U TRÚC MA TR N 35

5.3.1 Ápdụngphầntửhữuhạnvào dao độngtheophươngngang 35

5.3.2 Ma trậnđộcứngđànhồicủacấutrúcmặtcầu 37

5.3.3 Ma trậnđộcứngtrọnglựccủacấutrúcmặtcầu 38

5.3.4 Ma trậnđộcứngđànhồicủacáp 39

5.3.5 Ma trậnđộcứngtrọnglựccủacáp 39

5.3.6 Ma trậnkhốilượngđồngnhấtcủacấutrúcmặtcầu 40

5.3.7 Ma trậnkhốilượngcủacáp 41

5.3.8 Phương trình cân bằng 41

5.4 BÀI TOÁN ÁP D NG 41

5.4.1 Các dữ liệu ban đầu 41

5.4.2 Kết quả dao động 42

CHƯƠNG 6 PHÂN TÍCH ẢNH HƯỞNG CỦA ĐỘNG ĐẤT ĐỐI VỚI CẦU CÁP TREO 44

6.1 GI I THI U 44

6.2 GI THI T BAN Đ U 45

6.2.1 Cường độ động đất 45

6.2.2 Sóngđộngđất 46

6.2.3 Cácgiảthiếtchính 47

6.3 PH NG TRÌNH CHUY N Đ NG D I NH H NG C A Đ NG Đ T 48

6.3.1 Phương trình chuyển động 48

6.3.2 Chuyển đổi động lực học bậc hai thành bậc một 49

6.4 BÀI TOÁN ÁP D NG CHO NH H NG C A Đ NG Đ T Đ N C U TREO 50

6.4.1 Dao động theo phương thẳng đứng 50

6.4.2 Dao động xoắn 51

6.4.3 Dao động theo phương ngang 51

CHƯƠNG 7 KẾT LUẬN –HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 53

1 KẾT LUẬN 53

2 HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 53

TÀI LI U THAM KH O 55

PH L C 1: 58

PH L C 2: 61

PH L C 3: 64

PH L C 4: 68

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Cầu Gavin Canyon đổ sập năm 1994 dưới ảnh hưởng của động đất 6

Hình 2.1 Các dạng biên chung giữa các phần tử 10

Hình 2.2 Phần tử một chiều 10

Hình 2.3 Phần tử hai chiều 10

Hình 2.4 Phần tử ba chiều 11

Hình 2.5 Phần tử lăng trụ 11

Hình 2.6 Các dạng dao động của cầu treo 14

Hình 3.1 Cấu hình động học của tháp đỡ 17

Hình 3.2 Tọa độ dịch chuyển và quay 17

Hình 3.3 Các biểu đồ xác định phần tử hữu hạn 18

Hình 3.4 Dạng dao động theo phương thẳng đứng ở nhịp giữa cầu treo 23

Hình 4.1 Biến dạng của mặt cầu 26

Hình 4.2 Dạng dao động xoắn ở nhịp giữa cầu treo 32

Hình 5.1 Dao động cầu treo theo phương ngang 35

Hình 5.2 Phân tích phần tử hữu hạn của cầu treo (dao động tự do theo phương ngang 36

Hình 5.3 Dạng dao động theo phương ngang của nhịp giữa cầu treo 43

Hình 6.1 Sóng bề mặt có sự chuyển vị lớn nhất được ghi lại trên máy ghi động đất và xác định được đỉnh biên độ 45

Hình 6.2 Sóng bề mặt dưới ảnh hưởng của động đất 47

Hình 6.3 Biểu đồ gia tốc cầu treo đo được bằng máy đo địa chấn 47

Hình 6.4 Mô hình nhịp giữa được đơn giản hóa bằng cách áp dụng mô hình một bậc tự do khi xét một phần tử 48

Hình 6.5 Gia tốc của dao động tự do theo phương thẳng đứng dưới ảnh hưởng của động đất 50

Hình 6.6 Gia tốc của dao động tự do xoắn dưới ảnh hưởng của động đất 51

Hình 6.7 Gia tốc của cầu treo xét dao động theo phương ngang dưới ảnh hưởng của động đất 51

DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 Các thông số cầu Vincent – Thomas khi tính toán dao động theo phương thẳng đứng 20

Bảng 3.2 Tần số tự nhiên trong 25 dao động đầu 22

Bảng 4.1 Các thông số cầu Vincent – Thomas khi tính toán dao động xoắn 30

Bảng 4.2 Tần số tự nhiên trong 25 dao động đầu 31

Bảng 5.1 Các thông số cầu Vincent – Thomas khi tính toán dao động theo phương ngang 42

Bảng 5.2 Tần số tự nhiên trong 25 dao động đầu 42

đó là điều kiện đầu tiên để nghiên cứu sâu hơn về sự ổn định của khí động học, tác động của các phương tiện giao thông, sự tương tác của các cấu trúc đất đá và ảnh hưởng của động đất đến thiết kế cầu treo Và điều cần thiết để biết được các đặc tính của động học như tần số dao động tự nhiên và các dạng dao động có thể xảy ra

sự chuyển động trong quá trình dao động

Nhiều người trong chúng ta chắc sẽ không quên sự phá hủy của cầu treo dây võng Tacoma Narrows, xây dựng năm 1940, đã bị phá hủy chỉ sau vài tháng đưa vào sử dụng Trong cơn bão, chiếc cầu đong đưa như một dải lụa mỏng manh rồi gãy vụn Mặc dù trước đó có nhiều thử nghiệm, nhưng từ sau Tacoma, mọi công trình cầu lớn đều phải qua khâu thử nghiệm tải trọng gió hết sức ngặt nghèo

Trong các phân tích những năm gần đây, các dạng dao động tự do của cầu treo

có thể được phân thành: chuyển động thẳng đứng, chuyển động xoắn và chuyển động hai bên Và ngày nay máy tính được sử dụng ngày càng phổ biến và mạnh hơn thì người ta có xu hướng sử dụng phương pháp số để xây dựng mô hình lý thuyết Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) là một phương pháp

hiệu quả để giải quyết nhiều lĩnh vực trong cơ học Việc tính toán trên máy tính phân tích phần tử hữu hạn đóng vai trò trọng tâm và là phương pháp phát triển để phân tích vấn đề động học của cầu treo Phương pháp phần tử hữu hạn là chia miền

khảo sát thành một số hữu hạn các miền con đơn giản, gọi là các phần tử Công việc

được áp dụng đối với cấu trúc phức tạp như cầu treo Việc tính toán trên máy tính đưa ra kết quả phương trình chuyển động của cấu trúc mà có thể lên đến hàng trăm

bậc tự do Phương pháp này được thiết kế và ứng dụng để xác định các đặc tính của động học, các tần số tự nhiên, các dạng của dao động và khả năng tích trữ năng lượng của các thành phần khác nhau của cầu treo

Trong luận văn này, người hướng dẫn và học viên sử dụng Phương pháp phần

tử hữu hạn (FEM) viết chương trình bằng ngôn ngữ Matlab nhằm Nghiên cứu động

l ực học của cầu cáp treo nhịp dài

Tóm l i: Nghiên cứu về vấn đề động lực học của cầu cáp treo luôn có ý nghĩa

lớn lao không chỉ trong nước và ngoài nước Với mong muốn đóng góp vào việc nghiên cứu và phát triển các vấn đề động lực học cầu cáp treo ở Việt Nam bằng

phương pháp mới; người hướng dẫn và học viên đã chọn đề tài :”Nghiên cứu động

l ực học của cầu cáp treo nhịp dài bằng phương pháp phần tử hữu hạn ”

1.2 CÁC K ẾT QU NGHIÊN C U TRONG VÀ NGOÀI N C

1.2.1 ngoƠi n c

Sau thảm họa cầu treo Tacoma, các nhà nghiên cứu đã tìm ra nguyên nhân gây ra không chỉ do gió mà còn do tải trọng động học thay đổi, như xe cộ di chuyển, động đất.Thiết kế việc chống động đất của các tòa nhà cao tầng tuy cấu trúc

phức tạp nhưng đối với một cầu treo lớn thì cấu trúc của cầu treo đa dạng và phức tạp hơn Dao động cơ bản của cầu treo lớn bằng nhiều lần dao động dài nhất của tòa cao tầng Ngoài ra, cầu treo là một đầu mối giao thông quan trọng giữa các vùng do

đó nghiên cứu về cầu treo giữ vai trò quan trọng nhằm đảm bảo độ bền vững, ổn định khi chịu tác động của tải trọng thay đổi

Trong nghiên cứu cầu Vincent Thomas, Masanobu Shinozuka, Debasis Karmakar, Samit Ray Chaudhuri và Ho Lee [10]đã rời rạc các phần tử cầu dựa trên

phần tử hữu hạn ba chiều cũng như mô hình cầu được đơn giản hóa Để đưa ra được các mô hình này, các đặc tính riêng của mô hình cầu được đánh giá và so sánh với

hệ thống kết quả đạt được bằng cách sử dụng dao động với môi trường xung quanh, các giá trị động đất đo được trong hai kỳ động đất

Raid Karoumi [12] giải quyết các vấn đề di chuyển xe cộ của cầu dây văng và cầu cáp treo Trong nghiên cứu này, cầu được lý tưởng hóa như dầm Bernouli –Euler, cầu dây văng sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tính phương trình chuyển động của cầu, cầu cáp treo dựa trên phương pháp phần tử hữu

hạn phương trình phi tuyến Hai phương pháp đánh giá được đáp ứng động lực học Các thông số về độ giảm chấn, sự tương tác giữa cầu và xe, dao động của cáp, bề

mặt đường, tốc độ xe được xem xét để đưa ra kết quả về ảnh hưởng của bề mặt cầu đến đáp ứng động lực học

Shamin N.Pakzad và Gregory L.Fenves [14] đưa cảm biến không dây lắp đặt lên cầu để ghi gia tốc của môi trường xung quanh và phân tích các dữ liệu Thu được độ phân giải cao và chính xác của các dạng dao động Tuy nhiên, việc xác định các đặc tính dao động với các tần số đạt độ chính xác cao, còn tỉ lệ giảm xóc còn chưa đạt chính xác

Robert JamesWestgate [15] nghiên cứu đáp ứng của cầu treo về nhiệt độ

và tải trọng Khi nhiệt độ của cấu trúc cầu tăng lên, mặt cầu bị chảy và giãn nở đồng thời tần số tự nhiên cũng giảm trong ngày Ngoài ra, khi tăng tải trọng thì tần

số tự nhiên giảm, đặc biệt trong các giờ cao điểm Từ đó đưa ra được sự thay đổi về

dạng tần số và khối lượng phụ thuộc vào sự thay đổi dòng giao thông trên cầu, mà

có thể làm tăng hay giảm các dạng dao động của cầu

Theo M Zribi, N B Almutairi, M Abdel-Rohman [16] độ linh hoạt của cáp và giảm chấn trên cấu trúc cầu treo thấp khiến cầu dễ bị dao động do gió và tải trọng tác động Bài báo nghiên cứu việc điều khiển dao động của cầu cáp treo dựa trên tải trọng theo phương thẳng đứng di chuyển trên mặt cầu với tốc độ không đổi, cáp giữa mặt cầu và cấu trúc treo được sử dụng thiết bị thủy lực Cơ cấu điều khiển

nhằm giảm dao động theo phương thẳng đứng, mà thiết kế dựa trên thuyết Lyapunov, đảm bảo cơ cấu cứng vững Kết quả cho thấy cơ cấu điều khiển làm việc

tốt

Trong nghiên cứu của J.D Yau, L Fryba [17], cầu treo được mô hình như

dầm được treo một nhịp, đểtính toán dao động của dầm với thời gian phụ thuộc vào điều kiện biên, đáp ứng của dầm được chia thành hai phần: phần tĩnh và phần độnglực học dựa trên phương pháp phân tích Từ đó xem xét ảnh hưởng của sóng địa chấn dọc chiều dài nhịp cầu, nhịp giữa của dầm treo không ở vị trí quan trọng

của đáp ứng gia tốc cực đại Các dạng dao động cao đối với biên độ gia tốc cực đại được đưa vào tính toán

 Các nghiên c u v nh h ng c a đ ng đ t đối v i cầu cáp treo

Thảm họa tự nhiên do động đất cách đây vài thập niên đã cung cấp rất nhiều các dữ liệu về sự hư hại và đổ sập của cầu treo Để bảo vệ tốt hơn cho cầu treo dưới ảnh hưởng của động đất trong tương lai, các nhà nghiên cứu đặt ra cho người thiết kế cầu bằng cách quan sát phạm vi sử dụng và mở rộng ra từ những nghiên

cứu trước Trong những năm đầu 1960, Konishi, Yamada và Takaoka đã bắt đầu nghiên cứu mở rộng về động lực học của cầu treo và thiết kế chống động đất Họ

đã mô phỏng cầu treo ba nhịp, bao gồm cấu trúc hệ thống khối lượng và lò xo

bằng cách sử dụng thuyết tuyến tính hóa, tính toán các chu kỳ và các dạng của dao động thẳng tự do Trong nghiên cứu này các dao động của thanh đỡ cũng được xem xét như dao động của cấu trúc cầu và cáp

Ichiro Konishi, Y Yamada [18] đưa ra phương pháp phân tích đáp ứng động đất của cầu treo nhịp dài, các đặc điểm động lực học cơ bản của cầu treo đến động đất Các vấn đề nghiên cứu động lực học cầu treo được nghiên cứu nhiều bởi các chuyên gia trong một vài thập kỷ trước Nhưng có rất ít nghiên cứu và bài báo công nghệ về đáp ứng của động đất đến cầu treo Trong bài báo này cầu treo được giả thiết đơn giản thành hệ thống đồng chất mà thuyết về hệ thống bậc tự do hữu

hạn được áp dụng Sự chuyển động của động đất rất phức tạp được giả thiết với

dạng đơn giản, theo một phương nhất định

M Domaneschi, M.P Limongelli &và L Martinelli [19] áp dụng Phương pháp phát hiện hư hỏng bằng nội suy (Interpolation Damage Detecion Method

(IDDM)) vào mô hình số của cầu treo nhịp dài Theo phương pháp này, có thể xác

định hư hỏng và vị trí của hư hỏng dựa vào đáp ứng gia tốc của cấu trúc trước và sau khi xảy ra hư hỏng Dựa vào ảnh hưởng của tiếng ồn trong tín hiệu được ghi

nhận các giá trị đưa ra bởi phương pháp IDDM, đáp ứng của cầu treo với các tác động địa chấn từ mô hình đặc trưng tiếng ồn ngẫu nhiên của máy đo gia tốc được

mô phỏng theo điều kiện thực tế Kết quả được kiểm tra với các trường hợp tác động khác nhau

Theo Mustafa Erdik, Nurdan Apaydin [20] tần số tự nhiên của dao động và đáp ứng của biên dạng dao động trong cấu hình tải trọng tĩnh và tải trọng động được xác định dựa trên đánh giá các hoạt động động đất của cầu Fatih Sultan Mehmet và Bogazici Chuyển vị thời gian và ứng suất tại các điểm quan trọng của

cầu được tính toán và tác động động đất trên mô hình cầu treo được đánh giá

Hình 1.1 C ầu Gavin Canyon đổ sập năm 1994 dưới ảnh hưởng của động đất

1.2.2 trong n c

Đặc điểm ở nước ta là có nhiều sông rộng, biển lớn, vực sâu…thì việc áp dụng

kết cấu cầu cáp treo là một trong những phương án được ưu tiên trong việc đầu tư xây dựng cơ sở hạ tầng hiện nay và tương lai Tuy nhiên, việc nghiên cứu tính toán

kết cấu cầu cáp treo ở nước ta chưa được nhiều và luôn là bài toán khó và việc tự

yếu chỉ dừng lại ở mức nghiên cứu ứng dụng trên lý thuyết vì thiếu đi mất 2 yếu tố: đòi hỏi của thị trường và kinh phí triển khai nghiên cứu ứng dụng Một số nghiên

cứu ở Việt Nam như:

Độ ổn định Flutter và đáp ứng Buffeting là vấn đề quan tâm nhất khi thiết kế

cầu treo nhịp dài, Phan Đức Huynh, Nguyễn Ngọc Trung [4] đã nghiên cứu điều khiển động lực học bằng cách sử dụng flaps Hai Flaps được gắn ở hai phía của mặt

cầu và được dẫn động theo sự chuyển động của mặt cầu Khi Flaps được di chuyển,

bề mặt cắt ngang của mặt cầu chứa Flaps này thay đổi một cách liên tục Kết quả là

lực khí động lực học cũng thay đổi Hệ số của hệ thống điều khiển được nghiên cứu

suốt trong quá trình nghiên cứu thực nghiệm và xử lý số liệu

Phan Đức Huynh, Phạm Thanh Hoàng [6] đưa ra các giải pháp thay thế cho tính ổn định của rung động và rung lắc của cầu treo dài sẽ được điều khiển bằng cách sử dụng Flaps Phương pháp này phép dầm cứng trọng lượng nhẹ mà không có

độ cứng bổ sung cho độ ổn định của khí đàn hồi động học Bộ điều khiển phản hồi thông tin bằng cách sử dụng winglets cho việc tăng tốc độ rung động và giảm phản ứng rung lắc của cầu treo được nghiên cứu thông qua mô hình mặt cầu hai chiều

Kết quả cho thấy rằng tốc độ rung động được tăng và phản ứng rung lắc được giảm thông qua chuyển động kiểm soát thích hợp của winglets Ngoài ra nghiên cứu được

thực hiện trên cầu treo 3000m

Nguyễn Trọng Phước, Đỗ Nguyễn Văn Vương [5]nghiên cứu các phản ứng động lực học của cầu dây văng hai chiều đỡ cầu dưới điều kiện tải trọng của xe di chuyển Cáp đỡ cầu đơn giản được rời rạc bởi phương pháp phần tử hữu hạn khung 2D và các phần tử cáp Phương trình chuyển động có thể bắt nguồn từ nguyên lý D’Alembert và được giải quyết bằng phương pháp Newmark Chương trình tính toán cơ bản dựa trên ngôn ngữ Matlab và được xác định bằng cách so sánh kết quả phân tích với phần mềm SAP2000

1.3 M ỤC TIÊU NGHIÊN C U C A Đ TÀI

Mục đích của đề tài này nhằm phân tích, tính toán tần số dao động, mô phỏng các dạng dao động của cầu treo với các số liệu thực tiễn của cầu treobằng phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với tính toán trên Matlab đáp ứng với chuyển vị và

vận tốc từng nút Đồng thời đưa ra ảnh hưởng của động đất đối với cầu cáp treo.Và

học viên sẽ đưa ra các kết luận vềkết quả thực hiện, nêu lên các vấn đề đã giải quyết được, các vấn đề còn tồn đọng chưa được giải quyết và đề xuất hướng phát triển của

đề tài

1.4 NHI ỆM VỤ C A Đ TÀI VÀ GI I H N Đ TÀI

- Nghiên cứu nhằm đưa ra phương thức tính toán nhanh nhất, tiết kiệm chi phí tính toán

- Phân tích dao động của cầu treo ở trạng thái tĩnh và khi có ảnh hưởng của động đất bằng cách sử dụng máy tính dựa trên ngôn ngữ Matlab

- Xác định đặc tính của dao động, cụ thể là tần số tự nhiên, các dạng dao động

của cầu treo

Tuy nhiên đề tài chỉ tập trung tính toán cho dao động thẳng đứng, xoắn và dao động theo phương ngang của nhịp trung tâm, không tính toán cho hai nhịp bên

1 5 PH ƠNG PHÁP NGHIÊN C U

- Dựa vào lý thuyết về phân tích phân tử hữu hạn của cầu treo để tính toán

- Tham khảo tài liệu trong và ngoài nước về phương pháp này

- Dùng Matlab để kiểm tra kết quả tính toán, mô phỏng kết quả

mà FEM có thể áp dụng cho rất nhiều bài toán kỹ thuật và nhất là đối với bài toán

kết cấu, trong đó ẩn hàm cần tìm có thể được xác định trên các miền phức tạp với nhiều điều kiện biên khác nhau

Như vậy, đối với FEM miền tính toán V được thay thế bởi một số hữu hạn các miền con Ve được gọi là phần tử Các phần tử này chỉ được nối với nhau bởi các điểm định trước trên biên gọi là nút Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được xấp xỉ theo một dạng phân bố xác định nào đó Các hệ số của hàm xấp xỉ được gọi là các tham số hay các tọa độ tổng quát Các tham số này lại được biểu

diễn qua giá trị của hàm (và cóthể cả đạo hàm của nó) tại vị trí các điểm nút trên

phần tử Các giá trị tại nút được gọi là bậc tự do của phần tử và được xem là các ẩn

số cần tìm của bài toán Như vậy các hệ số của hàm xấp xỉ có ý nghĩa vật lý xác định, do vậy nó rất dễ thỏa mãn điều kiện biên của bài toán.Đây cũng chính là ưu điểm nổi bật của FEM so với các phương pháp khác [2]

2.1.2 Đ nh nghĩa hình h c các phần t h u h n (FEM)

Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các phần tử

hữu hạn Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần

tử Ve có dạng đơn giản hơn Mỗi phần tử Ve cần chọn sao cho nó được xác định

giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ

Quy tắc chia miền trong phần tử hữu hạn:

- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1)

- Tập hợp tất cả các phần tử Ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử

Hình 2.1: Các d ạng biên chung giữa các phần tử

Chương trình phần tử hữu hạn gồm các bước chính áp dụng cho tính toán trên

cầu treo sau [3]:

- Bước 1: Đọc các dữ liệu đầu vào Các dữ liệu này gồm các thông tin mô tả nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn

hồi, hệ số dẫn nhiệt…), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên)

- Bước 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k, ma trận khối lượng m và vectơ

lực nút phần tử f của mỗi phần tử

- Bước 3: Xây dựng ma trận khối tổng thể K, ma trận khối lượng M và vectơ

lực nút F chung cho cả hệ (ghép nối phần tử)

- Bước 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu bằng cách biến đổi

Phương pháp FEM được bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán phức

tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không

Nó được bắt đầu phát triển bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942) Mặc dù hướng tiếp cận của những người đi tiên phong là khác nhau nhưng

họ đều có một quan điểm chung, đó là chia những miền liên tục thành những miền con rời rạc Hrennikoff rời rạc những miền liên tục bằng cách sử dụng lưới tương

tự, trong khi Courant chia những miền liên tục thành những miền có hình tam giác cho cách giải thứ hai của phương trình vi phân từng phần elliptic, xuất hiện từ các bài toán về xoắn của phần tử thanh hình trụ Sự đóng góp của Courant là phát triển, thu hút một số người nhanh chóng đưa ra kết quả cho phương pháp vi phân từng phần (PPVPTP) elliptic được phát triển bởi Rayleigh, Ritz, và Galerkin Sự phát triển chính thức của FEM được bắt đầu vào nửa sau những năm 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng, và đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley (xem Early Finite Element Research at Berkeley) trong những năm

1960 trong ngành xây dựng Phương pháp này được cung cấp nền tảng toán học

chặt chẽ vào năm 1973 với việc xuất bản cuốn Strang và tổng kết trong An Analysis

of The Finite element Method và kể từ đó FEM được tổng quát hóa thành một ngành của toán ứng dụng, một mô hình số học cho các hệ thống tự nhiên, được ứng

dụng rộng rãi trong kĩ thuật, ví dụ như điện từ học và động lực học chất lỏng

Sự phát triển của FEM trong cơ học kết cấu đặt cơ sở cho nguyên lý năng lượng, ví dụ như: nguyên lý công khả dĩ, FEM cung cấp một cơ sở tổng quát mang

tính trực quan theo quy luật tự nhiên, đó là một yêu cầu lớn đối với những kỹ sư kết

2.2.2 Khái ni m v Matlab

Matlab là ngôn ngữ lập trình thực hành bậc cao được sử dụng để giải các bài toán về kỹ thuật Matlab tích hợp trong việc tính toán, thể hiện kết quả, lập trình Dữ liệu cùng với thư viện lập trình sẵn cho phép người sử dụng thực hiện các ứng dụng sau [12]:

- Sử dụng các hàm có sẵn trong thư viện, cho phép tính các phép toán thông thường

- Cho phép lập trình tạo ra những ứng dụng mới

- Cho phép mô phỏng các mô hình thực tế

- Phân tích, khảo sát và hiển thị dữ liệu

- Cho phép phát triển, giao tiếp với một số phần mềm khác như C++, Fortran

2.3 GI I THI ỆU C U CÁP TREO

Cầu cáp treo có những ưu điểm nổi bật khi so sánh với các loại cầu khác như: khả năng vượt nhịp lớn, qua địa hình phức tạp, tính thẩm mỹ cao Ngày càng có nhiều công trình cầu treo được xây dựng trên thế giới Hơn nữa sự tương tác xảy ra giữa các thành phần của cầu từ cáp đến các thành phần khác Khi xem xét

một thành phần của cầu phải nghiên cứu vấn đề liên quan đến tất cả thành phần khác ng suất trong một vài thành phần của cấu trúc như tháp đỡ, cáp và các thanh neo phần lớn do tải trọng tĩnh trong khi ứng suất ở các thành phần khác như dầm

cứng và giằng ngang phần lớn chịu tải trọng động, như gió, sự thay đổi nhiệt độ, chuyển động của xe cộ và có khi động đất

Các dạng dao động của cầu treo có thể được chia ra thành: dạng thẳng đứng,

dạng xoắn và dạng bên (hình 2.6) Trong dao động thẳng đứng của cầu, tất cả các điểm trên mặt cắt ngang của cầu di chuyển đồng thời theo phương thẳng đứng(hình 2.6-a) Trong dao động xoắn, mỗi mặt cắt ngang trên mặt cầu quay một góc so với phương thẳng đứng (hình 2.6-b) Trong dao động hai bên, mỗi mặt cắt ngang quay trong chuyển động kiểu con lắc đơn (hình 6-c) [8]

Hình 2.6: Các d ạng dao động của cầu treo

CH ƠNG 3

CÁP TREO

3.1GI I THI ỆU

Thảm họa của cầu Tacoma Narrows năm 1940 đã ảnh hưởng mạnh đến nghiên cứu của các nhà khoa học về cầu cáp treo Một vài đặc tính dao động của

cầu cáp treo được đưa ra trong các nghiên cứu là dao động dữ dội của cầu gây ra không chỉ bởi gió mà còn do tải trọng động lực học như sự di chuyển của xe cộ và động đất

Trong những năm gần đây, các phân tích dao động tự do của cầu treo được

áp dụng tính toán trên máy tính dựa vào phương pháp phần tử hữu hạn để xác định

tần số tự nhiên và các dạng dao độngvới độ chính xác cao Hầu hết các tính toán được dựa trên cấu trúc được lý tưởng hóa suốt hệ thống của khối lượng và lò xo đại

diện của cấu trúc thực tế

Phương pháp phân tích dao động thẳng đứng của cầu treo áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn và Matlab để xác định tần số tự nhiên, dạng của dao động động học của cầu treo [8]

3.2 PHÂN TÍCH C U CÁP TREO B NG PH ƠNG PHÁP FEM

3.2.1 Gi thi t ban đầu

Trong quá trình nghiên cứu ảnh hưởng của các nhân tố khác nhau vào việc phân tích động học của cầu treo có các giả định tổng quát sau [6]:

1- Tất cả ứng suất trong cầu theo định luật Hooke

2- Tải trọng tĩnh ban đầu của cáp không gây ra ứng suất trong dầm

Điều kiện này có thể đạt được một cách tổng quát khi nó đơn giản kết cấu Tuy nhiên nếu cầu được xây dựng theo cách mà tải trọng tĩnh gây ra ứng suất

trong dầm cứng, điều này có thể được cân bằng trong vấn đề động lực học bằng cách nghiên cứu tất cả các ứng suất bên trong liên quan

3- Cáp được giả định có mặt cắt ngang đồng nhất và biên dạng parabol dưới tải

trọng tĩnh Theo giả định biên dạng parabol yêu cầu tỉ lệ độ võng trên một

nhịp duy trì tương đối nhỏ, nói cách khác độ dốc của cáp được duy trì tương đối nhỏ

4- Cáp được giả định là hoàn toàn mềm dẻo Trong việc xem xét mômen quán tính nhỏ của cáp khi so sánh với dầm cứng Giả định này được đưa ra một cách rõ ràng để xác định lực căng cáp nằm ngang và ứng suất trong dầm

cứng Độ cứng chống uốn của cáp được nghiên cứu và nó được tìm ra rằng ứng suất uốn trong cáp có thể được bỏ qua

5- Hệ thống treo được xemlà không co giãn và được giả định vẫn giữ thẳng đứng trong suốt quá trình dao động của cầu Vì vậy chuyển vị dao động

thẳng đứng của cáp ( , ), i=1, 2, 3 và dầm cứng ( , ), i=1, 2, 3 được

với tải trọng tĩnh Pw

8- Độ cong ban đầu của dầm cứng được xem là nhỏ khi so sánh với độ cong của cáp, vì vậy được bỏ qua khi tính toán

hạn các điểm nút và trình bày trong (hình 3.2) [4, 6]

Hình 3.2: Tọa độ dịch chuyển và quay l = N x L

1 2 3 1

2 34 56

Nếu chỉ xét chuyển vị mặt phẳng thẳng đứng, có hai bậc tự do ở mỗi nút: chuyển động theo phương thẳng đứng và chuyển động quay Các chức năng nội suy

kết hợp với hai bậc tự do tại mỗi nút mà gây ra chuyển vị thẳng đứng, có thể là hình

dạng bất kỳ mà đáp ứng các yêu cầu về nút và tính liên tục bên trong Nhưng chúng thường được giả định là các dạng mà xuất hiện trong dầm đồng nhất lệ thuộc vào các chuyển vị nút

Đa thức khối Hermitian được trình bày trong các phương trình (3.2)

2 2 12

3 2 2 11

3 3 2 2 02

3 3 2 3 01

1 1

1 2

2 3

2 3

1

x L

x L x

l x

L

x L x x

l

x L

x L x l x

L

x L x

Với L là chiều dài của một phần tử trong cấu trúc cầu

a) Phần tử cầu b) Chuy ển vị và các tải trọng tuyến tính

qi: chuyển vị tại các nút

 t    L   L   q t

1 1 2

2 2 2 1 1

2 1 2

1, ,  3 2 ,   , 3 2 ,  

Áp dụng phương trình (3.5) vào phương trình động năng và thế năng của cấu trúc cứng và cáp Các đặc tính độ cứng và quán tính của từng phần tử rút ra và lắp ráp được để thu được các đặc tính lắp ráp tổng Sau đó sử dụng nguyên lý Hamilton thu được phương trình ma trận của chuyển động cho toàn bộ cấu trúc cầu, mà trong

w e

L L L

L

L L

L L L

L

L L

L

H k

1 2

2

2 2

433

3363

36

34

3

3363

e N w e E

c c

H

w f

H

w L

A E

e N

ge ge e

L L

L L

L L

L L

L L

L L

L

I E k

1 2

2

2 2

3

4 6 2

6

6 12

6 12

2 6 4

6

6 12

6 12

ge e

L L L L

L L

L L L L

L L

L

r m

L L L

L

L L

L L L

L

L L

L

m

m

1 2

2

2 2

2

2 2

2 2

*

4 3 3

3 36 3

36

3 4 3

3 36 3

36

30 4

22 3

13

22 156 13

54

3 13 4

22

13 54 22

Ta có thể giả thiết đơn giản rằng dao động có dạng và thay thế vào phương trình (3.11-a) được phương trình :

Giá trị đặc trưng tìm được từ phương trình:

2làtần số tự nhiên của dao động,  r là vec tơ của tọa độ chuyển vị

Dạng đối xứng, bao gồm lực căng cáp bổ sung H(t)

B ảng 3.1 Các thông số cầu Vincent – Thomas khi tính toán dao động theo phương

th ẳng đ ng

Các thông s ố chính Ký hi u Giá tr Đ n v

Moment quán tính của

cấu trúc cứng

Số phần tử của nhịp giữa Ncenter 28 Phần tử

Modul đàn hồi của cấu

3.3.2 S đ khối

Sơ đồ khối là phương tiện để mô tả từng bước được tiến hành và từng bước được đưa ra trong quá trình hoàn thành một quy trình Sơ đồ thể hiện quy trình từ khi bắt đầu đến khi kết thúc, tạo cơ sở để theo dõi quá trình thực hiện một cách dễ dàng

Dữ liệu ban đầu của bài toán (L, E, m, I, A, G)

Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn và điều kiện biên

Sau khi phân tích và tính toán trên Matlab, các giá trị tần số tự nhiên ứng với từng

dạng (Mode) trong 25 dao động đầu được trình bày hình 3.4 vàbảng 3.2

B ảng 3.2: Tần số tự nhiên trong 25 dao động đầu

Hình 3.4: Dạng dao động theo phương thẳng đ ng ở nhịp giữa cầu treo

Biểu đồ cho thấy tại mode đầu tiên ứng với vị trí tại giữa cầu tần số dao động nhỏ

nhất nhưng chiều dài sóng là lớn nhất, càng gần tháp đỡ thì tần số dao động tăng

dần và chiều dài sóng giảm dần

trọng này gây nên dao động xoắn của mặt cầu kết hợp với dao động thẳng đứng của hai cáp

Việc phân tích dao động thẳng đứng của cầu treo được nghiên cứu nhiều hơn Tuy trước đây một vài nghiên cứu được đưa ra để phát triển công thức cho việc tính toán tần số tự nhiên và các dạng dao động nhưng hầu hết những kết quả chưa đạt chính xác do giả thiết liên quan hay do giải pháp công nghệ áp dụng Các nghiên

cứu như của Steinman, Smith và Vincent, Bleich đưa ra đều chú ý đối với các vấn

đề chưa được triển khai của việc phân tích xoắn và các nghiên cứu gần đây như của Selberg, Sih và Irvine ngụ ý rằng phân tích dao động xoắn cần được giải quyết một cách có hiệu quả hơn

Trong đề tài này, việc áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào để phân tích dao động xoắn tự do của mặt rộng của cầu treo có kết hợp hệ thống bên Và trong tính toán, độ uốn của mặt cắt ngang của cầu và ảnh hưởng độ cứng xoắn của

trụ tháp được thiết kế để xác định tần số tự nhiên, các dạng của dao động xoắn và khả năng tích trữ năng lượng của các phần tử cầu Để đơn giản hóa trong tính toán,

việc kết hợp cả ba chuyển động : thẳng đứng, xoắn và hai bên được bỏ qua [6]

4.2 GI THI ẾT BAN Đ U

Tìm giải pháp chính xác cho vấn đề dao động xoắn tự do của cầu treo có cấu trúc mặt hình chữ nhật là không thể Và giả thiết đơn giản được đưa ra đối với giả thiết cơ bản được thông qua trong phân tích dao động thẳng đứng ở chương 2 Ngoài những giả thiết hệ thống treo là thẳng đứng và không co giãn, cáp có dạng parabol và biến dạng cho phép nhỏ, các nhà nghiên cứu còn đưa ra các giả thiết sau [6] :

1- Mặt cắt ngang của mặt cầu được giả thiết là đối xứng ở tâm mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang này bao gồm bốn thanh biên ngang và bốn hệ thống đường gân trượt (thành phần dầm là đường chéo và thẳng đứng hoặc đường gân là

tấm) Hai thanh biên của mỗi dầm cứng trong nhịp thứ i có diện tích mặt cắt ngang Ai là như nhau (i=1, 2, 3) và các thành phần hệ thống của đỉnh và đáy

4- Hình dạng ban đầu của cấu trúc mặt cầu trên mặt cắt ngang là không đổi trong suốt quá trình biến dạng dao động Vì vậy, các kích thước hình học ở

mỗi mặt phẳng dọc trục của cầu vẫn giữ nguyên không thay đổi Ngoài ra,

biến dạng uốn ngoài biên có thể được bỏ qua

5- Các giả thiết về biến dạng trong dao động xoắn : góc dao động xoắn : � trong nhịp thứ i, ui, vi và wi là chuyển vị theo phương x, y và z

(a)

(b)

Hình 4.1 : Bi ến dạng của mặt cầu a) Biến dạng xoắn b) Biến dạng uốn – xoắn

4.3 ĐÁNH GIÁ CÁC C U TRÚC MA TR N

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, cầu được chia thành hệ thống các phần

tử rời rạc Mỗi phần tử cầu bao gồm phần tử cáp và mặt cầu được kết nối bởi hai hay nhiều hơn bởi cơ cấu treo Khi chuyển vị thẳng tại mỗi nút cấu trúc mặt cầu phải cân bằng với chuyển vị thẳng đứng tương ứng tại mỗi nút cáp Tại mỗi nút có hai bậc tự do (chuyển động tịnh tiến và quay tròn), được giả thiết theo đa thức khối Hermitian [6]

Khi , = /2� , , góc xoắn � có thể được biểu diễn theo phương trình đa thức khối Hamilton :

� �1,�2 = 2

�1,�2 = 2

�1,�2 ( ) , = 1,2, … , (4.1)

Với : tổng số các phần tử, �1,�2 là tọa độ chuẩn hóa

Vectơ chức năng nội suy �1,�2

�1,�2 = [�12 3 − 2�1 , �12�2,�22 3 − 2�2 , �1�22] (4.2)

L : chiều dài của phần tử

( ) : vectơ chuyển vị nút

4.3.1 Ma tr n đ c ng đƠn h i c a thanh biên

Năng lượng biến dạng có uốn – xoắn

2 2

−126126

−6

2 26

Mà là độ cứng xoắn của phân tử

− 2

−363363

−3

− 23

− 2

−363363

−3

− 23

= =

2,−122,

2, 212

Mà là mômen quán tính cực khối lượng tương ứng của mặt cắt ngangtrong nhịp

thứ i trên đơn vị chiều dài (bao gồm hai cáp) và được giả thiết là đồng nhất trong

13

−3 222

4 2

Ma trận khối lượng tổng quát hóa lắp ráp

= 3

Modul trượt của giàn cứng Gge 79900 MN/m2

4.4.2 K t qu dao đ ng

Sau khi phân tích và tính toán trên Matlab, các giá trị tần số tự nhiên ứng với từng

dạng (Mode) trong 25 dao động đầu được trình bày hình 4.2 và bảng 4.2

B ảng 4.2: Tần số tự nhiên trong 25 dao động đầu

12 0.01818 25 0.03796

Hình 4.2 : Dạng dao động xoắn ở nhịp giữa cầu treo

Biểu đồ cho thấy tại mode đầu tiên ứng với vị trí tại giữa cầu tần số dao động nhỏ

nhất nhưng chiều dài sóng là lớn nhất, càng gần tháp đỡ thì tần số dao động tăng

dần và chiều dài sóng giảm dần Tuy nhiên tần số dao động nhỏ hơn dao động theo phương thẳng đứng