Phân dạng đề thi đại học môn toán từ 2002 đến 2015

Phân dạng đề thi đại học môn toán từ 2002 đến 2015Phân dạng đề thi đại học môn toán từ 2002 đến 2015Phân dạng đề thi đại học môn toán từ 2002 đến 2015Phân dạng đề thi đại học môn toán từ 2002 đến 2015Phân dạng đề thi đại học môn toán từ 2002 đến 2015Phân dạng đề thi đại học môn toán từ 2002 đến 2015

Trang 1

PHÂN DẠNG

ĐỀ THI ĐẠI HỌC

MÔN TOÁN

(2002 - 2015)

Trang 3

Lời nói đầu

Tài liệu nhỏ này giới thiệu Đề thi ĐH môn toán từ năm 2002 (năm đầutiên toàn quốc thi đề chung) đến năm 2015 Các đề thi được phân dạng vàsắp xếp theo các chủ đề lớn:

7 Phương pháp tọa độ trong không gian

8 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

9 Số phức

10 Tổ hợp - xác suất

Ở mỗi chủ đề, đề bài được sắp xếp theo năm thi và có đáp án hoặc hướngdẫn đi kèm giúp bạn đọc dễ theo dõi và kiểm tra kết quả của mình Bạnđọc nên tự làm các đề thi sau đó so sánh với đáp án Để làm được các đềthi này, đòi hỏi bạn đọc cần có một quá trình ôn tập kiên trì và có hiệu quả.Trong quá trình tổng hợp vội vàng, hẳn là sẽ có nhiều thiếu sót Rấtmong nhận được sự đóng góp của các bạn

Hoàng Ngọc Thế

Trang 4

1 Khảo sát hàm số

1 (A-2002) Cho hàm số

y = −x3+ 3mx2+ 3(1 − m2)x + m3− m2 (1)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.b) Tìm k để phương trình: −x3 + 3x2 + k3 − 3k2 = 0 có 3 nghiệmphân biệt

c) Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số (1)

ĐA: b) − 1 < k < 3, k 6= 0; k 6= 2; c)y = 2x − m2+ m

2 (B-2002) Cho hàm số

y = mx4+ (m2− 9)x2+ 10 (2)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2) khi m = 1.b) Tìm m để hàm số (2) có ba cực trị

Trang 5

ĐA: −1

2 < m < 0

y = x3− 3x2+ m (5)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (5) khi m = 2.b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số (5) có hai điểmphân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ

7 (D-2003) Cho hàm số

y = x

2− 2x + 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (6)

b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số (6) và đường thẳng

dm : y = mx + 2 − 2m cắt nhau tại hai điểm phân biệt

ĐA: m > 1

8 (D-2003) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = √x + 1

x2+ 1trên [−1; 2]

ĐA: max

[−1;2]y =√2; min

[−1;2]y = 0

Trang 6

y = −x

2+ 3x − 3

b) Tìm m để đồ thị hàm số (7) và đường thẳng y = m cắt nhau tạihai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (8) tại điểmuốn Chứng minh d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

ĐA: y = −x + 8

3

11 (B-2004) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = ln

2xxtrên đoạn [1; e3]

Trang 7

y = x3− 3mx2+ 9x + 1 (9)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (9) khi m = 2.b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị (9) thuộc đường thẳng y = x + 1

√20

Trang 8

y = 2x3− 9x2+ 12x − 4 (13)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (13)

b) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có 6 nghiệmphâm biệt:

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyếnvuông góc với tiệm cận xiên

b) Gọi d là đường thẳng qua A(3; 20) có hệ số góc là m Tìm m để

d cắt đồ thị hàm số (15) tại 3 điểm phân biệt

ĐA: m > 15

4 , m 6= 24

Trang 9

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (18).

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thịtại M cắt hai trục toạ độ tại A, B sao cho diên tích tam giác OABbằng 1

4.

Trang 10

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến điqua điểm M (−1; −9).

ĐA: y = 24x + 15; y = 15

4 x −

2124

y = x3− 3x2+ 4 (21)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (21)

b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ sốgóc k(k > −3) đều cắt đồ thị hàm số (21) tại ba điểm phân biệt

I, A, B đồng thời I là trung điểm AB

Trang 11

y = x + 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyếncắt Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB cân tại O

ĐA: y = −x − 2

b) Tìm điều kiện của tham số m sao cho phương trình sau có đúng

ĐA: m = ±2

√6

y = x4− (3m + 2)x2+ 3m (24)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (24) khi m = 0.b) Tìm điều kiện của tham số m sao cho đường thẳng y = −1 cắt đồthị hàm số (24) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2

Trang 12

ĐA: m = 1

y = x3− 2x2+ (1 − m)x + m (25)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (25) khi m = 1.b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số (25) cắt trục hoànhtại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 sao cho

b) Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng y = −2x + mcắt đồ thị hàm số (26) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giácOAB có diện tích bằng

√3

ĐA: m = ±2

y = −x4− x2+ 6 (27)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (27)

b) Viêt phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyếnvuông góc với đường thẳng y = 1x − 1

Trang 13

ĐA: y = −6x + 10

y = −x + 1

b) Đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số tại A, B Tiếp tuyếntại A, B có hệ số góc lần lượt là k1, k2 Tìm m để k1+ k2 lớn nhất

ĐA: m = −1

y = x4− 2(m + 1)x2+ m (29)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (29) khi m = 1.b) Tìm m để đồ thị hàm số (29) có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho

OA = OB, A thuộc trục tung còn B, C là hai cực trị còn lại

b) Tìm điều kiện của tham số k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt

đồ thị hàm số trên tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách

Trang 14

ĐA: min y = 3; max y = 17

3

y = x4− 2(m + 1)x2+ m2 (31)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (31) khi m = 0.b) Tìm điều kiện của tham số m để hàm số (31) có 3 cực trị là bađỉnh của tam giác vuông

ĐA: m = 0

y = x3− 3mx2+ 3m3 (32)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (32) khi m = 1.b) Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có hai cực tri A, B saocho diện tích tam giác OAB bằng 48

ĐA: m = 2

3

y = −x3+ 3x2+ 3mx − 1 (34)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (34) khi m = 0.b) Tìm điều kiện của tham số m để hàm số (34) nghịch biến trong(0; +∞)

Trang 15

ĐA: m ≤ −1

y = 2x3˘3(m + 1)x2+ 6mx (35)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (35) khi m = −1.b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số (35) có hai điểmcực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng

y = x + 2

ĐA: m = 0, m = 2

y = 2x3− 3mx2+ (m − 1)x + 1 (36)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (36) khi m = 1.b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y = −x + 1 cắt đồthị hàm số (36) tại ba điểm phân biệt

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ

M đến đường thẳng y = −x bằng√2

ĐA: M (0; −2), M (−2; 0)

Trang 16

y = x3− 3mx + 1 (38)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (38) khi m = 1.b) Cho điểm A(2; 3) Tìm m để đồ thị hàm số (38) có hai điẻm cựctrị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A

ĐA: m = 1

2

y = x3− 3x − 2 (39)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (39)

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thịtại M có hệ số góc bằng 9

ĐA: M (2; 0), M (−2; −4)

51 (2015) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3− 3x

52 (2015) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x+4

xtrên [1; 3]

ĐA: max y = 5; min y = 4

Trang 17

2 Lượng giác

1 (A-2002) Giải phương trình:

5

sin x +cos 3x + sin 3x

3 (D-2002) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:

cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0

3 + kπ

Trang 18

tan2x − cos2 x

2 = 0

ĐA: x = π + k2π; x = −π

4 + kπ

7 (A-2004) Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện:

cos 2A + 2√2 cos B + 2√2 cos C = 3Tính ba góc của tam giác

cos23x cos 2x − cos2x = 0

Trang 19

2 cos6x + sin6x − sin x cos x

1 + sin2x cos x + 1 + cos2x sin x = 1 + sin 2x

ĐA: x = −π

4 + kπ; x =

π

2 + k2π; x = k2π

Trang 20

18 (D-2007) Giải phương trình:

sinx

2 + cos

x2

1sin

x −3π2

√3

Trang 21

ĐA: x = −π

18 + k

2π3

(1 + sin x + cos 2x) sinx +π

Trang 22

sin 3x + cos 3x − sin x + cos x =√2 cos 2x

Trang 23

sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x

Trang 24

3 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

1 (A-2002) Cho phương trình:

log23x +

qlog23x + 1 − 2m − 1 = 0 (40)a) Giải phương trình với m = 2

b) Tìm m để phương trình (40) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạnh

Trang 25

6 (A-2003) Giải hệ phương trình:

ĐA: (1; 1), −1 +√5

2 ;

−1 +√52

!, −1 −

√5

2 ;

−1 −√52

(y − x) − log4 1

y = 1

x2+ y2= 25

ĐA: (3; 4)

Trang 26

11 (D-2004) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

Trang 27

17 (A-2006PB) Giải phương trình:

20 (D-2006) Chứng minh rằng với mọi giá trị a > 0, hệ phương trìnhsau có nghiệm duy nhất:

ĐA: 3

4; 3

Trang 28

23 (B-2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m,phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

4; −3r2516

!,

1; −32

Trang 29

28 (A-2008PB) Giải phương trình:

30 (B-2008PB) Giải bất phương trình:

log0,7

log6 x

Trang 30

ĐA: x = −2

34 (A-2009NC) Giải hệ phương trình:

(log2(x2+ y2) = 1 + log2(xy)

, (3; 1)

x2 + 1 = 0

ĐA: (1; 1),

2; −32

Trang 31

4x+ 2x = 3y2

ĐA:

−1;12

42x+

√ x+2+ 2x3 = 42+

√ x+2+ 2x3+4x−4

ĐA: (1; 1), (−1; −1), 2√10

5 ;

√105

!, −2

√10

5 ; −

√105

!

Trang 32

ĐA: 1

2; −

32

, 3

2; −

12

48 (B-2012) Giải bất phương trình: x + 1 +px2− 4x + 1 ≥ 3√x

ĐA:

0;14

Trang 33

ĐA: (1; 1), −1 +√5

2 ;

√5

!, −1 −

√5

2 ; −

√5

Trang 34

ĐA: (3; 3)

55 (B-2014) Giải hệ phương trình:

(

(1 − y)√x − y + x = 2 + (x − y − 1)√y2y2− 3x + 6y + 1 = 2px − 2y −p4x − 5y − 3

ĐA: (3; 1), 1 +√5

2 ;

−1 +√52

Trang 35

5 (B-2003) Tính tích phân I =

π4Z

Trang 36

11 (B-2005) Tính tích phân I =

π2Z

0

sin 2x cos x

1 + cos x dx

Trang 37

ĐA: 2 ln 2 − 1

12 (D-2005) Tính tích phân I =

π2Z

0

sin 2xp

Trang 38

17 (B-2007) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:

y = x ln x, y = 0, x = eTính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trụcOx

0

tan4xcos 2xdx

0

sinx − x

4

dxsin 2x + 2(1 + sin x + cos x)

Trang 39

22 (A-2009) Tính tích phân I =

π2Z

ĐA: 14

3 + ln2716

ĐA: −1

3 + ln

32

e

Z 2x − 3x

ln xdx

Trang 40

ĐA: e2

2 − 1

28 (A-2011) Tính tích phân I =

π4Z

0

1 + x sin xcos2x dx

ĐA: 34

3 + 10 ln

35

Trang 41

π4Z

Trang 42

π4Z

0

(x + 1) sin 2xdx

ĐA: 34

40 (2015) Tính tích phân I =

Z 1 0

(x − 3)exdx

ĐA: 4 − 3e

Trang 43

5 Hình học tổng hợp trong không gian

1 (A-2002) Cho hình chóp chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáybằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SC Mặt phẳng (AM N )vuông góc với (SBC) Tính theo a diện tích tam giác AM N

Trang 44

ĐA: R = a√3

2 , d =

a√22

7 (B-2004) Cho chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a Gócgiữa cạnh bên và đáy là góc nhọn ϕ Tính tang của góc giữa hai mặtphẳng (SAB) và (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theoa

8 (A-2006PB) Cho hình trụ tâm đáy là O, O0 Bán kính đáy bằngchiều cao hình trụ và cùng bằng a Trên đường tròn (O) lấý điểm A,trên đường tròn (O0) lấý điểm B sao cho AB = 2a Tính VOO0 AB

ĐA: V = a3√

312

9 (B-2006PB) Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =

SA = a, AD = a, cạnh bên SA vuông góc với (ABCD) Gọi M, Nlần lượt là trung điểm AD, SC Đường thẳng BM cắt đường thẳng

AC tại I Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SM B) vuông góc.Tính VAN IB

ĐA: V = a3√

236

10 (D-2006PB) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,cạnh bên SA = 2a và SA vuông góc với đáy Giả sử M, N lần lượt

là hình chiếu vuông góc cuả A lên SB, SC Tính VA.BCM N

ĐA: V = 3a3√

350

11 (A-2007PB) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM ⊥ BP

và tính V

Trang 45

ĐA: V = a3√3

96

12 (B-2007PB) Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a.Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA; M, N lầnlượt là trung điểm của AE, BC Chứng minh M N ⊥ BD và tính

ĐA: V = a3

2 ; cos ϕ =

14

15 (B-2008PB) Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a,

SA = a, SB = a

√

3, (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt

là trung điểm AB, BC Tính VSBM DN và cosin góc giữa hai đườngthẳng SM, DN

ĐA: V = a3√3

3 ; cos ϕ =

√55

16 (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác vuông,

AB = BC = a, cạnh bên AA0 = a√2 Gọi M là trung điểm BC.Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng

AM, B0C

Trang 46

ĐA: V = a3√2

2 , d =

a√77

17 (A-2009) Cho chóp S.ABCD, có đáy là hình thang vuông tại A

và D, AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng

600 Gọi I là trung điểm AD Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùngvuông góc với (ABCD) Tính VABCD

ĐA: V = 3a3√15

5

18 (B-2009) Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có BB0 = a, góc giữa cạnh bên

BB0 và mặt đáy bằng 600, tam giác ABC vuông tại C, \BAC = 600.Hình chiếu của B0 lên (ABC) là trọng tâm tam giác ABC Tính

ĐA: V = 4a3

9 ; d =

2a√55

20 (A-2010) Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi

M, N lần lượt là trung điểm AB, AD; H là giao điểm của CN và

DM Đường thẳng SH vuông góc với đáy và SH = a√3 Tính

VS.CDM N và d(DM,SC) theo a

ĐA: V = 5a3√3

24 ; d =

2a√319

21 (B-2010) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có AB = a, gócgiữa hai mặt phẳng (A0BC) và (ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tâmtam giác A0BC Tính VABC.A0 B 0 C 0 và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứdiện GABC

Trang 47

ĐA: V = 3a3√3

18 ; R =

7a12

22 (D-2010) Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a.Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là điểm H trên AC sao cho

23 (A-2011) Cho chóp S.ABC, có tam giác BAC vuông cân, AB =

BC = 2a Hai mặt phẳng (SAB)và (SAC) cùng vuông góc với(ABC); M là trung điểm AB, mặt phẳng đi qua SM và song songvới BC cắt AC tại N Góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60o Tính

VS.BCN M và d(AB,SN ) theo a

ĐA: V = a3√

3; d = 2a

√3913

24 (B-2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD làhình chữ nhật, AB = a, AD = a√3 Hình chiếu của A0 lên mặtphẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa haimặt phẳng (ADD0A0) và (ABCD) bằng 60o Tính thể tích khối lăngtrụ đã cho và khoảng cách từ điểm B0 đến mặt phẳng (A0BD)

ĐA: V = 3a3

2 ; d =

a√32

25 (D-2011) Cho chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA =3a, BC = 4a Mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy Biết SB =2a√3, [SBC = 30o Tính thể tích khối chóp và khoảng cách từ B đến(SAC)

ĐA: V = 2a3√

3; d = 6a

√77

Trang 48

26 (A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộccạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặtphẳng (ABC) bằng 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC và tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

ĐA: V = a3√7

12 ; d =

a√428

27 (B-2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a.Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC Chứng minh SCvuông góc với mp(ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH

29 (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,

30 (B-2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông gócvới mặt đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảngcách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

ĐA: V = a3√

3

; d = a

√21

Định dạng
Số trang	94
Dung lượng	585,68 KB