Các dạng toán trọng tâm về số phức trong đề thi đại học

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC Dạng 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức.. Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cần tìm.. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳn

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC

Dạng 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức

Phương pháp: Giả sử z x yi x y, R thay vào giả thiết tìm được một mối liên hệ nào đó

đối với , x y Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cần tìm

Ví dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện sau: 2 3 1

4

 



   1

Giải

Giả sử z x yi x y, R   z 2 3i  x 2 y3i; z    4 i x 4 y1i

Giả thiết  1  z 2 3i  z  4 i x22y32 x42y12 3x  y 1 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng có phương trình: 3x   y 1 0

Ví dụ 2: TSĐH khối B_2010

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện sau: z i  1i z  2

Giải

Giả sử z x yi x y, R    z i x y1i; (1i z)   x y xy i

Giả thiết  2 2  2  2  2 2  2

diễn của z là đường tròn tâm I0; 1 , bán kính 2

Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện sau: z4i  z4i 10

 3

Giải

Giả sử z x yi x y, R  z 4i x y4i ; z4i x y4i Giả thiết  3 

2 2

9 25

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là elip có phương trình  

9 25

Bài tập: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện sau:

1) z2  i z Đáp số: 4 x2y 3 0

2) TSĐH khối D_2009

z  i  Đáp số: x32y42 4

3) z2  z2 6. Đáp số:  

4) 1 z  1 i 2. Đáp số: Hình vành khăn có tâm I  1;1và các bán kính lớn nhỏ lần lượt

là 2 và 1

z i

 



 là một số thuần ảo Đáp số: x12y12 5 khuyết đi hai điểm

0;1 ,  2; 3 

Dạng 2: Các bài toán liên quan đến các đại lượng trong số phức ( Phần thực, phần ảo,

môđun )

Phương pháp: Thực hiện các phép tính nhân, chia, cộng, trừ và định nghĩa môđun, số phức liên

hợp để giải quyết bài toán

Ví dụ 1: TSĐH khối A_2010 Tìm phần ảo của số phức z biết :z 2i 2 1 2i

Giải

Suy ra: z 5 2i Vậy số phức z có phần ảo  2

Ví dụ 2: TSĐH khối A, A1_2012 Cho số phức z thỏa mãn :5 

2 1

z i

i z



 

 Tìm môđun của số phức w 1 z  z2

Giải

Giả sử zabi a b, R Từ giả thiết bài toán suy ra

2

         

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điiều kiện : z 2z3 1 2i Tính z  z2

Giải

Giả sử zabi a b, R Ta có: z 2z a2b2 2a2bi, giả thiết của bài toán suy ra

3

a

b b





z  z   

Bài tập:

1) TSĐH khối A_2010 Cho số phức z thỏa mãn: 1 33

1

i z

i





 Tìm môđun của ziz Đáp số: 8 2

2) TSĐH khối D_2012 Cho số phức z thỏa mãn: 2  2 1 2  7 8

1

i

i



của số phức w  z 1 i

Đáp số: 5

3) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z 1 i2011i2012 Tìm môđun của ziz

Đáp số: 2

Dạng 3: Các bài toán về phương trình trên tập số phức

3.1: Tìm số phức thỏa mãn một hệ thức cho trước ( không phải là phương trình bậc nhất

và bậc hai thông thường)

Phương pháp: Giả sử zabi a b, R biến đổi hệ thức về dạng 0 0

0

A

A Bi

B









, từ

đó tìm được số phức z

Ví dụ1: Tìm số phức z biết: z2z 2 4i  1

Giải

Đặt zabi a b, Rz a bi Giả thiết  1 a bi 2a bi  2 4i

2

4

b

b



 

Vậy : 2

4 3

z  i

Ví dụ 2: Tìm số phức z biết: 2  

z  i z i  2

Giải

Đặt zabi   2 2 2

a bR z a b  abi Từ   2 2  

2 a b 2abi 1i a bi(  ) 11 i

ab a b



Vậy: z 3 2i; z  2 3i

Ví dụ 3: Tìm số phức z biết:

4

1

z i

z i







   3

Giải

Giả thiết  

2

2

0

1 1

z

z i

z i









   

 





 Vậy : z 0; z   1

Bài tập: Tìm số phức z biết:

1) 2i z  Đáp số: 4 8 4

5 5

z  i

2) z2  Đáp số: z 0 0; 1; 1 3

z z  z  i

3) z2  Đáp số: z 0; 1; 1 3

z z z   i

4) z318 26 i Đáp số: z 3 i

5) z z 3z i   Gợi ý: Đặt 0 zi t , Đáp số: 3 13 ; 3 5

z  i z   i

3.2: Phương trình bậc hai và phương trình quy về bậc hai

Phương pháp:

 Gọi  xyi x y, R là căn bậc hai của z a bi a b, R thì :

2

xy b







 Xét phương trình bậc hai có hệ số phức Az2Bz C  0  * có biệt thức  B24AC

Nếu  0 thì phương trình  * có hai nghiệm phân biệt : 1

2

B z

A



 

2

B z

A



 

 Với  là căn bậc hai của 

Nếu  0 thì phương trình  * có nghiệm kép: 1 2

2

B

A

   Chú ý : Công thức nghiệm trong trường hợp  tương tự như trong tập số thực '

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :

a)  1 4 3i ; b) 4 6 5i

Giải

a) Giả sử xyi x y, R là một căn bậc hai của  1 4 3i , khi đó ta có:

xyi2   1 4 3i

3 2 1

2

x y

x y

y

 









  



Vậy căn bậc hai của 1 4 3i  là  32i

b) Tương tự : căn bậc hai của 4 6 5i là 3 5i

Ví dụ 2: Giải phương trình : 2  

z  i z  i  1

Giải

Ta có  ' 16 1 i263 16 i 63 16 i Gọi  xyi x y, R là căn bậc hai của '

 

i



, nên phương trình  1 có hai nghiệm

phân biệt :  

1 2





Vậy : z1 5 12i; z2  3 4i

Ví dụ 3: Giải phương trình :

2

1 0 2

z

z z     z  2 Giải

Vì z 0 không phải là nghiệm của phương trình  2 nên ta có:   2

2

2

2

0 2

      

1

z

  , ta có phương trình 2 5 0 1 3

i

y  y   y 

1

 





1

 





Vậy : z 1 i; 1 1

2 2

z   i

Bài tập: Giải các phương trình sau:

1) 4 3 7

2

z i

 

 

Đáp số: z 1 2i ; z 3 i

2 3 i z  4i3 z   1 i 0

Đáp số: z  ; 1 1 5

13

i

z 

(z 3z6) 2z z 3z6 3z 0

Đáp số: z   3 3; z  1 5i

4) z42z33z22z  2 0

Đáp số: z   ; i z  1 i

3.3: Giải phương trình bậc ba f z   0, biết phương trình có một nghiệm thực hoặc một

nghiệm thuần ảo

Phương pháp: Giả sử phương trình có nghiệm thực za ta được f a  , biến đổi hệ thức   0

0

A

A Bi

B









, từ đó tìm được a Ta có: f z   0

0

za Mz NzP 

Nếu phương trình có nghiệm thuần ảo zbi (bR, b 0) thì cách giải hoàn toàn tương tự

Ví dụ 1: Giải phương trình sau : 3   2  

z  i z  i z  i  1 , biết phương trình có một nghiệm thực

Giải

Giả sử : za (aR)là một nghiệm thực của phương trình  1 Khi đó phương trình  1 

2

a a



  



Phương trình      

2

2

2 2

3 2

z z

 



 



Vậy : z   ; 2 z2i; z 3 2i

Ví dụ 2: Giải phương trình sau : 3   2  

z  i z  i z i  2 , biết phương trình có một nghiệm thuần ảo

Giải

Giả sử : zbi b, R b,  là một nghiệm thuần ảo của phương trình 0  2 Thay vào phương

2

2

b







2

2





 2

z i





 

 



Vậy : z 2i; z 1 3 i

Bài tập: Giải các phương trình sau:

z  i z  iz   , biết phương trình có một nghệm thực i

Đáp số: z  ; z1  ; i z 1 i

z   i z   i z i , biết phương trình có một nghiệm thuần ảo

Đáp số: z 3i ; z 1 2i

2z 5z  3 2 i z   , biết phương trình có cả nghiệm thực và nghiệm phức 3 i 0

Đáp số: z2i ; z 1 i ; 1

2

z  

Dạng 4: Các bài toán về hệ phương trình trên tập số phức

Phương pháp: Giải hệ phương trình trên tập số phức ta thường dùng các phương pháp như :

biến đổi tương đương, phương pháp thế hoặc phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: TSĐH khối D_2010 Tìm số phức z biết: z  2 và z là số thuần ảo 2

Giải

a bR  z  a b z a b  abi Giả thiết của bài toán

1

b

 

Vậy : z 1 i; z  1 i

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau trên tập số phức : 1 2

3

3 2

z z i







 

 

1

2 Giải

Phương trình  1 z2 z13i , thay vào phương trình  2 ta có: z123iz1  3 i 0

;

Bài tập:

1) TSĐH khối B_2009 Tìm số phức z biết: 2  10

25

z z









Đáp số: z 5; z 3 4i

2) Giải các hệ phương trình sau :

a) 1 2

4

5 2







Đáp số: 1

2

3

1 2

 





 



; 1

2

1 2 3

 





 



3 1

9 1







Đáp số: 1

2

2

1 2

 





 



; 1

2

1 2 2

 





 



3) Tìm số phức z biết:

a)





   



Đáp số: z  2 2i ; z  2 i

b)

12 5

4

1 8

z

z

z

 



 







 



Đáp số: z6 17 i ; z6 8 i

Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức

Phương pháp:

 Dạng lượng giác của số phức z abi a b, R là zr c osi sin với:

os sin

a c

r b r























,  là một argumen của z

 Nếu z1 r c1 os1i sin1; z2 r c2 os2i sin2 thì:

z z r r c   i   ; 1 1    

z r

z r       

 Công thức Moivre (Moa-vrơ) : Với n là số nguyên dương

Cho zr c osi sinz n r ncosni sinn 

Ví dụ 1: Viết các số phức sau về dạng lượng giác

a) z 1 i; b) z  1 3i

Giải

a) Ta có:

2

2 1

2

4 1

sin

2

r a

r b r

















b) Tương tự 2 os7 i sin7

3

i z

i





 Tìm

100

z

Giải

(1 3 ) 3

i



100

Vậy : 100 1 3

z    i

Ví dụ 3: Tìm phần thực, phần ảo của 2012 20121

z

1

z z

 

Giải

os i sin

os - i sin

z













Với os i sin

2012 2012 2012 2012

2012 2012

os i sin

z

c



Với os -i sin

2012

2012 2012

os -i sin

z

c

2012

2012

1

z

    Vậy w có phần thực là 1 , phần ảo là 0

Bài tập:

1) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

a)  

10 9

1

3

i

i





Đáp số: Phần thực 1

16

 , phần ảo 0

  Đáp số: Phần thực 0, phần ảo 128

c) z z1 218 với 1 os i sin

z c    và z2   1 3i Đáp số: Phần thực 0, phần ảo 2 18

2) Cho số phức 7

4 3

n

i z

i





  Tìm n nguyên dương để :

a) z là số thực Đáp số: n4k với kN*

b) z là số thuần ảo Đáp số: n 4k2 với kN*

3) Cho số phức z thỏa mãn : 1

2 cos 67

z z



  Rút gọn biểu thức 2010 20101

z

  Đáp số:2

Dạng 6: Một số bài toán về số phức trong đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ từ năm 2009 đến nay

1) (ĐH khối A_2009) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z2 + 2z + 10 = 0

Tính giá trị của biểu thức A = |z1|2 + |z2|2 Đáp số: A = 20

2) (ĐH khối B_2009)

Tìm số phức z thỏa nãm |z-(2+i)|= 10 và z.z=25 Đáp số: z = 3+4i; z = 5

1) ( ĐH khối D – 2009 ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện z  (3 4 )  i  2 Đáp số: Đường tròn có phương trình : x32y42 4 2) (ĐH khối A – 2010, Ban cơ bản )

Tìm phần ảo của số phức z, biết z 2i 2 1 2 i Đáp số: 2

3) (ĐH khối A – 2010, Ban nâng cao )

Cho số phức thoả mãn 1 33

1

i z

i





 Tìm môđun của z iz  Đáp số: 8 2 4) ( ĐH khối B – 2010 ) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện z   i  1  i z  Đáp số: Đường tròn có phương trình : x2 + (y + 1)2 = 2

5) ( ĐH khối D – 2010 ) Tìm số phức thoả mãn điều kiện z  2 và z2 là số thuần ảo

Đáp số: z1 = 1 + i; z2 = 1 – i; z3 = -1 –i; z4 = -1 + i

a Tìm tất cả số phức , biết: = | | + ̅ Đáp số: z 1 0; 2 1 1

z    i; 3 1 1

z    i

b Tìm môđun của số phức , biết: (2 − 1)(1 + ) + ( ̅ + 1)(1 − ) = 2 − 2 Đáp số: 2

3 6) (ĐH khối B - 2011)

a Tìm số phức , biết: ̅ − √ − 1 = 0 Đáp số: = −1 − √3 ; = 2 − √3

b Tìm phần thực và phần ảo của số phức: = √ Đáp số: = 2 + 2

7) (ĐH khối D - 2011)

Tìm số phức , biết − (2 + 3 ) ̅ = 1 − 9 Đáp số: = 2 −

8) (ĐH khối A, A1 - 2012)

Cho số phức thỏa mãn: ( ̅ )= 2 − Tính môđun của số phức: = 1 + +

Đáp số: | |= √13

9) (ĐH khối B - 2012)

Gọi và là hai nghiệm của phức của phương trình: − 2√3 − 4 = 0 Viết dạng lượng

giác của và Đáp số:: = 2 cos + sin ; = 2 cos + sin

10) (ĐH khối D - 2012)

a Cho số phức thỏa mãn (2 + ) + ( )= 7 + 8 Tìm môđun của số phức = + 1 +

Đáp số: | | = 5

b Giải phương trình: + 3(1 + ) + 5 = 0 Đáp số: = −1 − 2 ; = −2 −