Vậy thì dễ thấy cận của tích phân cần tính là nghiệm của phương trình: f x = g x 2- Trong một số trường hợp tính diện tích hình phẳng bằng tích phân theo biến y ta có lời giải ngắn gọn[r]
Trang 1Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010
I- LÝ THUYẾT:
Dạng 1: Hình H được giới hạn bởi:
( ) ( )
Trôc O
= ì
ï = ï í
= ï ïî
y f x C
x a
x b
x
Dạng 2: Hình H được giới hạn bởi:
( )/ ( )
Trôc O
ì = ï
ï = í
= ï ï î
x f y C
y a
y b
y
Diện tích hình phẳng H tính bởi:
H =òb ( ) d
a
S f x x Diện tích hình phẳng H tính bởi:
H =òb ( ) d
a
* Dạng thường gặp:
Diện tích hình phẳng H tính bởi:
H =òc ( )d + -òb ( ) d
Dạng 3: Hình phẳng giới hạn bởi: y= f x , ( ) y g x và 2 đường thẳng = ( ) x a x b = , =
Diện tích hình phẳng H tính bởi:
H =òb ( )- ( ) d
a
Diện tích hình phẳng H tính bởi:
H =òc ( )- ( ) d +òb ( )- ( ) d
(H)
O
f(x)
y
x
b a
(H)
O
a
b
y
x
f(y)
(H)
c
f(x)
a
b y
x
O
(H)
g(x)
f(x)
x
y
(H)
c
g(x)
f(x)
y
O
x
Trang 2Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010
Lưu ý:
1- Trong rất nhiều bài toán, giả thiết ban đầu không có các cận Vậy thì dễ thấy cận của tích phân
cần tính là nghiệm của phương trình: ( ) f x =g x( )
2- Trong một số trường hợp tính diện tích hình phẳng bằng tích phân theo biến y ta có lời giải ngắn gọn, dể hiểu hơn nhiều so với tính tích phân theo biến x
Nhận xét:
a) Dễ nhận thấy, công thức (*) là trường hợp đặc biệt đối với công thức (**) khi ( ) 0g x º
b) Như vậy, việc tính diện tích hình phẳng lại quy về việc tính tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Ta làm rõ kỹ năng này
Phương pháp 1: Tìm cận trung gian và lập bảng xét dấu
ĐỐI VỚI DẠNG 2:
Phương pháp 2: Dùng hình vẽ, với nhận xét:
( ) ( ) d
( ) ( ) d ( ) ( ) d
( ) ( ) d ( ) ( ) d
-ò
b
H
a
f x g x x f x g x x
Phương pháp 2: THUẬT TOÁN TÍNH: H =òb ( )- ( ) d
a
Bước 1: Giải phương trình ( ) f x =g x( ).Giả sử có hai nghiệm x x1, 2 (a x< 1< x2 <b)
Bước 2: Như vậy trên các đoạn [a x; 1] [, x x1; 2] [, x b thì 2; ] f x( )-g x( ) không đổi dấu:
Tức là:
( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d
( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d
H
II- VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: (Khối A- 2002) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau:
y= x - x+ y x= +
Gợi ý: Gọi (C): y= x2-4x+3 và (d): y x= +3
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :
x y
c
y = g (x )
y = f(x )
b a
O
Trang 3Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010
5
x
x
= é
- = Û ê =
ë
Tháa (*) Tháa (*)
Cách 1: Dùng đồ thị
Dựa vào hình vẽ, ta thấy: x2-4x+ £ + " Î3 x 3 x [ ]0;5
Lúc đó:
5
2 0
H
S =ò x+ - x - x+ dx
6
= -ç + ÷ +ç - + ÷ + -ç + ÷ =
(®.v.d.t)
Cách 2: Sử dụng chia khoảng
x 0 1 3 5
x - x+ + 0 - 0 +
Ta có:
109
6
H
Nhận xét: Cách giải 1, tỏ ra hiệu quả hơn cách giải 2
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau:
2
5 0, 3 0
+ - = + - =
Gợi ý: Gọi (C): x= -5 y2 và (d): x= -3 y
Cách 1: Tính tích phân theo biến y
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :
2
y
y
= -é
- = - Û - - = Û ê =
ë
Dựa vào hình vẽ ta có:
x y
O
(C)
d
2 1
-1
3
8
3
x y
O
4
-1
2
(C)
d
1
Trang 4Chuyờn đề NGUYấN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010
2
1
= ở - - - ỷ = - + + = -ỗ + + ữ
= - + +ỗ ữ ỗ- - + - ữ= + =
H
Cỏch 2: Tớnh tớch phõn theo biến x
Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của (C) và (d) :
= - ị = ộ
- = - Û - - = Û ờ = ị =
ở
Ta cú: 2 5 (Phần (C) phía trên Ox)
5 0
5 (Phần (C) phía dưới Ox)
ộ = -+ - = Û ờ
= - -ờở
Lỳc đú:
37
6
=ũở - - - ỷ +ũ - + - = =
H
Vớ dụ 3:(Khối B 2002) Tớnh diện tớch hỡnh phẳng (H) giới hạn bởi cỏc đường sau:
Gợi ý: Gọi
2 (E): 4
4
x
y= - và
2 (P):
4 2
x
y= Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của (E) và (P):
x
x
x
ộ =
= -ờở
Trờn ộ-2 2;2 2ự
4
4 4 2
- ³ và do hỡnh đối xứng qua trục tung nờn:
1
H
* Tớnh
2 2
2 1
0
= ũ
2 2
0 : 0
p
ổ ộ ựử
1
16 sin 4 cos d 16 cos d 8 1 cos 2 d 2 4
p
ị S =ũ - t t t= ũ t t= ũ + t t= +
* Tớnh
2 2
0
Vậy = - = p +4
x y
O
4
-1
2
(C)
d
1
x y
4 2
-4
2
(P)
(E) O
Trang 5Chuyờn đề NGUYấN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010
Vớ dụ 4: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng (H) giới hạn bởi ( ) 2
P : y=x -4x+5 và cỏc tiếp tuyến của (P) tại cỏc điểm cú hoành độ x =1, x=4
Gợi ý:
Ta cú: /
y = x-
* Tại điểm cú
/ 1
5 4
(1) 4
y x
= ỡ
= ị ớ
ợ
thỡ phương trỡnh tiếp tuyến là :
( )d : 1 y- =5 4(x-4)Û =y 4x-11
* Tại điểm cú
/ 1
2 1
(1) 2
y x
= ỡ
= ị ớ = = -ợ
thỡ phương trỡnh tiếp tuyến là :
( )d2 : y- = -2 2(x- Û = -1) y 2x+4
Ta cú: ( ) ( )1 2
15
6
ố ứ
Dựa vào đồ thị ta cú:
15
4 6
15 1
6 15
6
15 1
6
H
Vớ dụ 5: Parabol (P): y2 =2x chia hỡnh trũn (C) tõm O, bỏn kớnh 2 2 theo tỉ số nào?
Gợi ý:
( )
* Phương trình hoành độ giao điểm của (P): 2 0 và (C): 8
2 2
4 loại Tọa độ giao điểm là: B 2;2 và C 2; 2
* Ta tính diện tích hình phẳng OAB:
y x
x
= ị
ờ = -ở
2 1
8
3
OAB
S =S =ũ x x+ ũ -x x= +I
x
y
(d 2 )
(d 1 ) (P)
O
-1
15 6
5
4 2
C
B
A
1
x
(P)
O
2 2
2 2
2
1
Trang 6Chuyờn đề NGUYấN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010
2 2
2 2
Tính 8 d Đặt 2 2 sin d 2 2 cos d
2 2 :
2
2 :
4
p p
ị
ũ
2
1
2
2
2 2 cos 2 2 cos d 8 cos d 4 1 cos 2 d 2
4
* Do tính đối xứng qua Ox nên: 2 2 (đ.v.d.t)
3 Gọi là diện tích hình tròn (C) 8 (đ.v.d.t)
Gọi là
OABC OAB
S
S
p
p
-= + - -= +
1 2
phần diện tích hình tròn còn lại 8 2 6 (đ.v.d.t)
4
3 Kết luận: Vậy parabol chia đường tròn thành hai phần có tỷ số
6 3
S S
p p
ị = - = -ỗ + ữ=
-Vớ dụ 6: Chứng minh với mọi m thỡ đường thẳng ( )d : y=mx+2 luụn cắt (P): 2
1
y=x + tại 2 điểm
phõn biệt Hóy xỏc định m để phần diện tớch giới hạn bởi đường thẳng (d) và (P) cú diện tớch nhỏ nhất
Gợi ý:
2
1 2
* Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
1 2 1 0 (1)
Ta có: 4 0 Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Gọi hai giao điểm A, B có hoành độ , : ng
x x
+ = + Û - - =
D = + > "
2
1
2 2
1
hiệm của pt(1)
* Diện tích hình phẳng (H) cần tìm là:
x
H
x
x
x mx
x m
ũ
3 4
m
+ ³ "
Trang 7Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010
III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
1) (TK-2006): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường: y x= 2- +x 3,y=2x+1
2) (D-2002): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường: 3 1
1
x y
x
-=
- và Ox Oy , .
3) (TK-2002): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 1 3 2
3
y= x - x + x và Ox
4) (A- 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y=(e+1 , )x y= +(1 e x x)
5) (TK-2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( )
2
1
0,
1
+
x
6) (TK-2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x y= 2, = 2-x 2
7) (TK 2002) Tìm 0;5
6
Îç ÷
è ø sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị :
y= x +mx - x- m- và các đường thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích bằng 4
7) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( ) :
1
c y
x
+ +
=
+ , tiệm cận xiên của đồ thị hàm số và
1
x= và x=2
8) Tính diện tích hình (H) trong các trường hợp sau:
1) (H4):
2 2
y x
ì =
ï
í
=
-ïî
2) (H5): y x 2
y 2 x
ì =
ï
í
=
3) (H7):
ln x y
2 x
y 0
x e
x 1
ì =
ï
í
ï =
ï
=
ïî
4) (H8) :
2 2
-ï
í
= - +
ïî
5) (H9):
y x
ì = +
-ï
í
ï =
î
6) (H10):
2
x y 0
í
+ =
7)
ï
î
ï
í
ì
-=
=
)
(
2 :
)
(
:
)
(
Ox
x y
d
x y
C
8)
ï î
ï í
ì
= D
=
=
1 : ) (
2 : ) (
: ) (
x
y d
e y
9)
î í
ì
-=
+
=
1
1 2
2
x y
x y
10)
ïî
ï í
ì
= +
-=
0 3
4
2
2
y x
x
11)
ï î
ï í
ì
=
= -+
=
0
0 2
y
y x
x y
12)
ï
ï î
ïï í ì
+
=
= 2
2
1 1 2
x y
x y
13)
î í
ì
=
=
=
=
3 , 0 ,
2
2
y y x y
x y
14)
ïî
ï í
ì
=
=
=
=
e x e x
y x y
, 1
0 ,
ln
15)
ï
ï î
ïï í
ì
=
=
=
=
3
; 6
cos
1
; sin
1
2 2
p p
x x
x
y x
y
4
y= x-x ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p)
®i qua M(5/6,6)
17)***
ï î
ï í ì
-=
-+
-=
-+
-=
15 3
3 4
5 6
2 2
x y
x x y
x x y
18)
ï ï
ï î
ïï
ï í ì
=
=
=
=
e x y x y
x y
0 1
19)
2 1 5
y x
y x
ì = -ï
í
= + ïî
20)
ïî
ï í
ì
=
=
x y
x y
2 3
Trang 8Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010
21)
2
0
y
ì = - - +
ï
í
=
ïî
22)
î
í
ì
-=
+
=
x
y
x
y
4
2
2
23)
ï
î
ï
í
ì
=
+ +
=
+
-=
1
5 4
2 2
2
2
y
x x
y
x x
y
24)
2
2
1 7
y x
ì =
-ï
í
= - +
ïî
25)
ï
î
ï
í
ì
=
-=
=
=
1
;
2
0
3
x
x
y
x
y
26)
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
-=
p
x
x
y
x x
y
;
0
3
cos 2 sin
27)
ïî
ï
í
ì
=
+ +
=
0
2 3
y
x x
y
28)
î
í
ì
+
=
+
=
2
2
2
x
y
x x
y
29)
ï
î
ï
í
ì
=
=
-+
=
-=
4
;
0
6 3
2 2
2
2
x
x
x x
y
x x
y
30)
2
6
y
ì = - +
ï
í
=
ïî
31)
ï
î
ï
í
ì
=
-=
=
2
1 2
2
2
2
y
x x
y
x
y
32)
2
2
y
ì = - +
ï
í
=
33)
2
1
y x
ì = - +
ï
í
= +
ïî
34)
2
2
ì = - + ï
í
= -ïî
35)
3
y
ì = - + ï
í
= ïî
36)
ï î
ï í ì
=
=
-=
1
; 0
6 2 2
x x
x x
x y
37) y sin x
ì = ï í
= -ïî
38)
ï î
ï í ì
=
-=
=
8
4 4
2
2 2
y
x x y
x y
39)
ï î
ï í ì
=
= + +
=
0
0 1 2 2
2
2
y
y x
x y
40)
î í
ì
=
+
=
y x
x y
p
sin
) 1
41)
2
1 2
x
ì = -ï
í
=
42)
2 1 2
x y x
ì = -ï
í
=
43)
ï î
ï í ì
=
=
+
=
0 sin
) 1
x
x y
y x
44)
ï
ï î
ï
ï í ì
=
-=
2 4
4 4
2
2
x y
x y
45)
ï ï ï î
ï ï ï í ì
=
-=
=
=
0
; 1
2 1
; 0
4 y x
x y
x x
46)
ï î
ï í ì
-=
=
=
-x y
x y
3
; 0 0
5 2
47)
ïî
ï í
ì
= +
=
16
6
2 2
2
y x
x y
48)
ï ï ï î
ï ï ï í ì
=
=
=
x y
x y
x y
27 27
2 2
49)
ïî
ï í
ì
=
-=
x y
x y
4
) 4 (
2
3 2
50)
log 0 1 , 10 10
y
ì
ï = ï
= í ï
î
51)
ïî
ï í
ì
=
= 2
2
x ay
y ax
(a>0)
52)
ï î
ï í
ì
£
£
+
=
= p
x
x x y
x y
0 sin 2
53)
ïî
ï í
ì
-=
=
2 2
2
) 1 ( 8 27
2
x y
x y
54)
1
25 9
x + y = vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)