Khi x ∈ R, tìm miền biến thiên của t để gxđạt giá trị lớn nhất.. Khi đó hãy tìm giá trị lớn nhất của gxvà giá trị x để gxđạt giá trị lớn nhất.. Ký hiệu mt là giá trị lớn nhất của gx đã t
Trang 1ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN ĐẠI HỌC WASEDA NĂM 2013
Người dịch: Trần Quang Minh http://www.artofproblemsolving.com
Ngày 2 tháng 8 năm 2015
Câu 1 Cho parabolC : y2=4px với p>0 với tiêu điểm F(p, 0)và hai đường thẳng`1,`2 đi qua F và vuông góc với nhau Đường thẳng`1 cắtC tại P1 và P2, đường thẳng`2cắt C tại Q1
và Q2 Trả lời các câu hỏi sau
i Giả sử phương trình của đường thẳng`1 là x = ay+p và các tọa độ của P1, P2 lần lượt
là(x1, y1),(x2, y2) Hãy tính y1+y2, y1y2 theo a và p
ii Chứng minh rằng 1
P1P2 +
1
Q1Q2 là một hằng số khi`1,`2thay đổi.
Câu 2 Cho số phức z =1+2√6ı và số tự nhiên n Giả sử khi khai triển znta có zn =an+bnı Trả lời các câu hỏi sau
i Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có a2n+bn2 =52n
ii Tìm các hằng số thực p, q sao cho với mọi số tự nhiên n thì an+ 2 = pan+ 1+qan
iii Chứng minh rằng an không là bội của 5 với mọi số tự nhiên n
iv Chứng minh rằng zn không là số thực với mọi giá trị của n
Câu 3 Cho hàm số f (x) = 1
2e
2x+2ex+x Trả lời các câu hỏi sau
i Với một số thực t bất kỳ, đặt g(x) = tx−f (x) Khi x ∈ R, tìm miền biến thiên của t để
g(x)đạt giá trị lớn nhất Khi đó hãy tìm giá trị lớn nhất của g(x)và giá trị x để g(x)đạt giá trị lớn nhất
ii Ký hiệu m(t) là giá trị lớn nhất của g(x) đã tìm ở trên Cho a là một hằng số thực, xét hàm số h(t) = at−m(t) Với t biến thiên trong miền biến thiên của t đã tìm được ở trên, hãy tìm giá trị lớn nhất của h(t)
Câu 4 Cho khối R được chứa trong một nửa khối trụ, có chiều cao là 1 và đáy là nửa hình
tròn bán kính bằng 1 Giả sử một mặt phẳng song song với đáy cắt với khối R tại độ cao x là phần được tô đậm trong hình được cho dưới đây Trả lời các câu hỏi sau
1
Trang 21 Tìm diện tích thiết hiện S(x)tại độ cao x.
2 Tìm diện tích của khối R
Câu 5 Cho mặt phẳng P trong không gian Trả lời các câu hỏi sau.
i Cho mặt phẳng Q cắt mặt phẳng P và hai mặt phẳng này hợp với nhau một góc θ với
0 < θ < π
2 Tìm độ dài lớn nhất và nhỏ nhất của hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng có chiều dài bằng 1 chứa trong Q lên P
ii Với mặt phẳng Q như trên, tìm diện tích của hình chiếu vuông góc của một tam giác đều
có cạnh bằng 1 chứa trong Q lên P
iii Hình chiếu vuông góc của một tứ diện đều có cạnh bằng 1 lên một mặt phẳng là hình gì? Tìm giá trị diện tích lớn nhất của hình chiếu đó
Có gì sai sót mong được bỏ qua
HẾT
2