Kĩ thuật phân tích vật liệu rắn - Ellipsometry

Phần 3ELLIPSOMETRY – CÁC LOẠI ELLIPSOMETER Phần 1 CÁC TRẠNG THÁI PHÂN CỰC CỦA ÁNH SÁNG VÀ CÁCH BIỂU DIỄN CHÚNG Phần 2 SỰ THAY ĐỔI TRẠNG THÁI PHÂN CỰC CỦA ÁNH SÁNG KHI TRUYỀN QUA CÁC

Kỹ thuật phân tích Vật liệu rắn

Phần 3

ELLIPSOMETRY – CÁC LOẠI ELLIPSOMETER

Phần 1

CÁC TRẠNG THÁI PHÂN CỰC

CỦA ÁNH SÁNG VÀ CÁCH BIỂU DIỄN CHÚNG

Phần 2

SỰ THAY ĐỔI TRẠNG THÁI PHÂN CỰC

CỦA ÁNH SÁNG KHI TRUYỀN QUA CÁC YẾU TỐ QUANG HỌC

VÀ KHI PHẢN XẠ VÀ TRUYỀN QUA

MẪÂU VÀ MÀNG MỎNG

Phần 1.

CÁC TRẠNG THÁI PHÂN CỰC

CỦA ÁNH SÁNG

&

CÁCH BIỂU DIỄN CHÚNG

Các trạng thái phân cực của ánh sáng

Hai trường hợp :

1 ϕ phụ thuộc thời gian : ϕ (t)

2 ϕ không phụ thuộc thời gian : ϕ = const

Chiều truyền của ánh sáng

Ánh sáng tự nhiên

ϕ phụ thuộc t không có quy luật

Góc α thay đổi ngẫu nhiên

Các trạng thái phân cực của ánh sáng

ϕ

ϕ : hiệu pha giữa hai sóng phân cực thẳng

Sự phụ thuộc của các trạng thái phân cực khác nhau theo sự lệch pha ϕ giữa hai thành phần

Ex và Ey

ϕ = 0 π / 4 π / 2 3π / 4 π 5π / 4 3π / 2 7π / 4 2π

Ánh sáng phân cực : hiệu pha ϕ = const

1 Góc phương vị α

2 Độ ellip

3 Biên độ tổng

4 Pha tuyệt đối ϕ

ε

tg a

b

e = ± = ±

2

2 b a

b

a

y

Ánh sáng có thể biểu thị bằng vectơ điện trường xoay

chiều Khi được viết dưới dạng 1 vectơ cột nó có dạng

Vectơ này được gọi là Vectơ Jones

Ex(t) và Ey(t) là các thành phần vô hướng tức thời của vectơ điện trường và nói chung là các số phức nên chứa đầy đủ thông tin về biên độ và pha

Trong nhiều trường hợp, không cần biết chính xác biên độ và

pha của các vectơ thành phần Do đó vectơ Jones có thể chuẩn hóa và có thể bỏ qua thừa số pha chung Làm như vậy tuy có mất thông tin nhưng lại đơn giản hóa rất nhiều các biểu thức

) t (

E E

Các vectơ sau chứa thông tin khác nhau nhưng đều mô tả cùng

một trạng thái phân cực

ϕ ϕ

ϕ

) (

i i

i

i 0

i 0

x y y

x y

x

e

1 e

e e

E

e E

Một vectơ được chuẩn hóa khi tích vô hướng của nó với liên hợp phức của nó bằng 1

Cơ sở của vectơ Jones được chọn là các trạng thái phân cực ngang và dọc

1 E

.

E  ∗ =

Vectơ Jones

0 E

Phân cực thẳng ngang và dọc

Vectơ Jones cho các trạng thái phân cực

Phân cực thẳng với vectơ E lập với x góc 45o :

1

E45 o



Phân cực thẳng tổng quát

1 2

2 2

2 45

45

) sin(

)

cos(

o o

ox

i exp E

i exp

E E

E e

E

oy oy

ox

i i

oy

ox

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ



x

y ϕ ϕ

+

=

iC B

A C

B A

E

2 2

2

1

Vectơ Jones cho phân cực ellip tổng quát

Biểu diễn trạng thái phân cực ellip

Phaân tích vectô Jones 

2 2

oy ox

oy

ox

E E

cos E

E )

E

E E

E E

E E

E

ox

x oy

y ox

x oy

0 5

9

2 2

, E

E ,

E

E

y x y

i sin

i cos

sin iA

cos A

A A

A

E

1 2

1 2

2

1 2

1

1

2 2

π π

ϕ ϕ



1 Góc phương vị α

2 Độ ellip

3 Biên độ tổng

4 Pha tuyệt đối ϕ

ε

tg a

b

e = ± = ±

2

2 b a

( x)

y y

E

E E

e

tgε itgα

1

itgε

tgα ρ

b

a

y

( )

2

ρ 1

ρ

2Re tg2α

−

2

ρ 1

ρ

2Im tg2ε

α ε

=

∆ Ψ

α ε

= Ψ

−

2 sin sin

2 sin

2 sin 2

cos cos

2 sin

2 cos 2

cos 2

cos

y

x

b a

ε

ψ

∆ α

Vectô Stokes :

Biểu diễn các trạng thái phân cực

2 cos 1

ψ ε

2 sin

2 sin 2

cos

2 cos 2

ε

ψ

SỰ PHẢN XẠ VÀ TRUYỀN QUA

CỦA ÁNH SÁNG PHÂN CỰC

TRÊN MẶT MẪU VÀ MÀNG MỎNG

12 11

ty

tx

E

E j

j

j

j E

E

Ma trận Jones

Khi ánh sáng truyền qua 1 dụng cụ quang học phân cực nào đó, trạng thái phân cực của nó thay đổi Để biểu thị cho tác dụng đó của dụng cụ ta có thể dùng 1 ma trận vuông ( 2 x 2 ) gồm các yếu tố phức, được gọi là ma trận Jones

Giả thử chùm sáng phân cực có vec-tơ Jones Ei đến 1 yếu tố

quang học và khi qua nó có vec-tơ Jones Et Như vậy, yếu tố

đó đã biến đổi Ei thành Et Về mặt toán học, có thể mô tả sự biến đổi bằng phương trình

Et = J Ei

trong đó J là ma trận vuông 2 chiều J =  21 22 

12 11

j j

j j

Kính phân cực lý tưởng.

 Kính phân cực có trục truyền qua trùng với trục x:

cho ánh sáng phân cực theo chiều x qua hoàn toàn và chặn ánh sáng phân cực theo trục y

Ma trận Jones biểu thị cho kính phân cực

0 1

J

 Kính phân cực có trục truyền qua lập 1 góc P

Ex’ = ( ExcosP + EysinP ) cosP

Ey’ = ( ExcosP + EysinP ) sinP

cosP

sin

PcosP

sinP

cos

2

Z Z’ EX EX’

Kính phân cực có trục truyền qua lập 1 góc P so với trục x

Một cách khác để xác định ma trận Jones là dùng ma trận

Jones đã biết cho trường hợp kính phân cực có trục truyền qua trùng với trục x Muốn vậy, ta chuyển biểu diễn của ánh sáng phân cực trước kính phân cực sang 1 hệ tọa độ mới x’y’z’ Hai hệ tọa độ có trục z và z’ trùng nhau, hệ tọa độ mới quay 1 góc

P quanh trục z’ so với hệ cũ

Trong hệ tọa độ mới, trục

truyền qua của kính phân cực

trùng với trục x’

Ex’ = (cosP) Ex + (sinP) Ey

Ey’ = (-sinP) Ex + (cosP) Ey

Do đó, ma trận của phép biến

đổi từ hệ tọa độ này sang hệ

khác bằng cách quay 1 góc P là

sinP -

sinP

X

' iX

E

E cosP

sinP

-sinP

cosP E

E

Trong hệ tọa độ X’OY’, sau khi truyền qua kính phân cực có vectơ Jones

Aùnh sáng đến kính phân cực

có vec-tơ Jones

Quay hệ tọa độ góc P để cho trục

OX’trùng với phương truyền qua của

' tX iY

iX '

iY

' iX

E

E E

E cosP

sinP

-sinP

cosP 0

0

0

1 E

E 0

0

0 1

X

' tX

E

E E

E cosP

sinP

sinP -

cosP

iX

E

E E

E cosP

sinP

-sinP

cosP 0

0

0

1 cosP

sinP

sinP -

21

12 11

ty

tx

E

E j

j

j

j E

E

So sánh với

) (

R ) 0 ( J ) (

R

Bản dịch pha.

được chế tạo từ tinh thể đơn trục lưỡng chiết ( có chiết suất n0 và

ne và chiều dày d ) Khi dùng nó, chiếu ánh sáng vuông góc với quang trục

π

d n

2 i - exp 0

0 d

n

2 i - exp

o e

d

ne x

Bản ¼ sóng có trục nhanh trùng với trục x.

Bản ¼ sóng có chiều dày d được chọn sao cho

Do đó, nó làm chậm pha của thành phần ánh sáng dọc theo trục chậm 900 so với thành phần dọc theo trục nhanh khi ló ra khỏi bản

Vectơ Jones của ánh sáng trước và sau bản ¼ sóng

♦ Bản ¼ sóng có trục nhanh trùng với trục x

Ma trận cho bản ¼ sóng với trục nhanh trùng với trục x

Bản ¼ sóng có trục nhanh quay góc φ so với trục x

Dùng phép biến đổi hệ trục tọa độ như đã nói ở trên, ta có

Thực hiện các phép nhân ma trận, ta được ma trận Jones cho một bản ¼ sóng có trục nhanh hợp với trục x một góc φ là

0 1

φ

φ φ

φ

φ

φ

cos

sin-

sin

coscos

sin

sin-

cos

i

0

01

+

−

φ φ

φ φ

φ φ

φ

φ

2 2

2 2

icos sin

cos

i)sin (1

cos i)sin

(1 isin

01

e i x

Bản ½ sóng có trục chậm thẳng đứng

0

1

2 )

i (exp π

ϕx

ϕy

cos(

sin

cos j

j

j

j

β θ

β

θ θ

θ

22 21

12 11

j11cosθ + j12sinθ = cos ( θ + β )

j21cosθ + j22sinθ = sin ( θ + β )cos ( θ + β ) = cosθ cosβ – sinθ sinβ

sin ( θ + β ) = sinθ cosβ + cosθ sinβ

j11 = cosβ j21 = sinβ j12 = -sinβ j22 = cosβ

β

β

cos sin

sin cos

Rotator góc β Có tác dụng làm cho vectơ E dao động thẳng dưới góc θ chuyển sang dao động thẳng dưới

góc θ + β

Ma trận Jones của rotator góc +β :

Optical Element Jones Matrixlinear horizontal polarizer

linear vertical polarizer

linear polarizer at 45o

linear polarizer at -45°

quarter-wave plate, fast axis vertical

quarter-wave plate, fast axis horizontal

circular polarizer, right-handed

circular polarizer, left-handed

Yếu tố quang học Ma trận Jones

Nếu ánh sáng truyền liên tiếp qua n yếu tố quang

học, được đặc trưng tương ứng bởi các ma trận J1, J2,

…, Jn thì

Et = ( Jn Jn-1 … J2 .J1 ) Ei

Các ma trận không giao hoán nên phải tính tích ma trận theo đúng thứ tự như đã viết

Mặt phẳng p Mặt phẳng s

Khi rọi chùm sáng phân cực lên mẫu , trạng thái phân cực của chùm phản xạ thay đổi như thế nào ?

Môi trường đẳng hướng trong suốt.

Khi truyền qua đó, trạng thái phân cực của ánh sáng không thay đổi, ma trận Jones biểu thị cho môi trường không hấp thụ ánh sáng sẽ là

trong đó n là chiết suất của môi trường và d là

quãng đường mà ánh sáng truyền qua môi trường

π

=

nd

2 i - exp

0

0 nd

2 i - exp J

Môi trường đẳng hướng có hấp thụ

Ma trận Jones biểu thị cho tác dụng của môi trường ( có chiết suất n và chỉ số tắt ) khi ánh sáng truyền 1 khoảng d qua nó là

π

−

κ

− λ

π

−

=

d ) i n (

2 i exp 0

0 d

) i n (

2 i

exp J

π

=

dn

2i-exp

0

0 d

n

2i-

expJ

0 e

Môi trường dị hướng đơn trục, lưỡng chiết,

chiều truyền sáng vuông góc với quang trục

Sự phản xạ từ ranh giới của hai môi trường

Nếu sự phản xạ không làm mất sự phân cực của ánh sáng ta có thể viết ma trận phức vuông hai chiều để biểu diễn cho sự phản xạ và tương thích với cách tính các ma trận Jones dưới dạng

Với các môi trường đẳng hướng và có phẩm chất quang học, chỉ có các yếu tố chéo khác 0 Trong trường hợp này, ma trận phản xạ chỉ chứa 1 số phức biểu thị cho sự thay đổi của trạng thái phân cực của ánh sáng khi phản xạ từ mặt

Đó là ρ = r11 / r22 và ma trận phản xạ có dạng

12

11 r

r r

r

r J

0

Jr

Ma trận biểu thị cho sự thay đổi trạng thái

phân cực trên mặt mẫu khi phản xạ

0 e

tg e

r e

r 0

0 e

r

r 0

0

i s i

s

i p s

s s

p

ϕ ϕ

ϕ

p J

r M

∆Ψ

∆Ψ

∆Ψ

+ΨΨ

Ψ+

Ψ

=

cos2tg

sin

2tg 0

0

sin2tg

cos

-2tg 0

0

0

0 1

tg1

tg

-0

0 1

tg

-12

2 2

2 2

*

tg r

Các hệ số Fresnel

Hai môi trường có chiết suất khác nhau:

2 1

1 2

2 1

1

2 p

cosθn

cosθn

cosθn

1 2

1

1 p

cosθn

cosθn

cosθ

2nt

+

=

2 2

1 1

2 2

1

1

s n cos n cos

cosn

cos

nr

θθ

1 1

θθ

θ

+

=

Màng mỏng trên đế

iII 0

sin(k iY

h)/Y isin(k

h)

cos(k M

0 0

I

I 0

0 I

Hệ số phản xạ và truyền qua

r 1

2i - exp r

r R

23 12

23

12 total

t 1

i - exp t

t T

23 12

23

12 total = +

2

2dcosn

λ

π

=δ

Màng nhiều lớp

Ma trận đặc trưng MI liên hệ các

trường ở hai biên của 1 màng

Nếu trên đế có phủ hai màng thì

sẽ có 3 biên Với màng thứ hai

II

II

H

EM

HE

I I

I

H

EM

MH

E

Tổng quát, nếu có p màng và mỗi màng có chiết suất n và độ dày d riêng thì biên thứ nhất và biên cuối cùng có hệ thức

) 1 p ( P

II

I I

I

H

E M

M

M H

E

Hệ 2 màng mỏng

Từ màng đơn lớp, ta có thể tính màng đa lớp bằng cách tính lớp thứ n như lớp một nhưng thay các chỉ số R, T, r và t cho phù hợp

) iδ exp(

R r

1

) iδ exp(

R

r R

2 23

12

2 23

12 total

− +

−

+

=

) 2i

exp(

T t

1

) i

12

2 23

12 total

δ

δ

− +

−

=

) iδ exp(

r r 1

) iδ exp(

r

r R

3 45

34

3 34

23 23

− +

−

+

=

) i

exp(

t t 1

) i

34

3 34

23 23

δ

δ

− +

−

+

=

Tương tự, ta sẽ tính được R và T cho màng đa lớp

Ví dụ với màng thứ hai:

Hệ số phản xạ và truyền qua

Phaàn 3.

3.1 Phương pháp ellipsometry

tan( Ψ )ei∆ = ρ = rp/rs tan Ψ = r ≡

r

p s

Tỷ số biên độ

≡ δ

− δ

=

∆ rp rs Độ lệch pha

Ánh sán

g pha ân cư

Mặt phẳng

s

Hệ thức giữa ( ψ , ∆ ) và các hằng số quang học:

Mẫu chỉ có đế

n1

n2

)(

i

expr

rr

r

p s

s

p s

)θcos(θ

2 1

2 1

sin sin

cos

cos 1

1

θ θ

θ θ

= ρ +

ρ

−

1 2 2

1

2 1

2 2

sin

1 )

n

n ( 1

tg 1

1

θ

= + θ

1

1

1(1sin

n

ρ+

ρ

−+

θ

1

2 1

1 2

)1

(

sin

41

tgn

n

ρ+

θ

ρ

−θ

=

hay

2 1

1 2

2 1

1

2 p

cosθn

cosθn

cosθn

cosθ

nr

+

−

=

2 2

1 1

2 2

1

1

s n cos n cos

cosn

cos

nr

θθ

) sin(

r )

( tg

) (

tg r

2 1

2 1

s 2

1

2 1

θ

θ θ

−

=

Aùp dụng ĐL Snell để loại θ2

2 1 2

2

cos 2

sin 1

sin 4

sin tan

sin

n k

n

2

∆ Ψ

∆ Ψ

θ

θ +

1

2 sin sin

2 cos

tan 1

sin n

k

n

∆ Ψ

Ψ

∆ Ψ

θ θ

2 1

2 1

1 2

)1

(

sin

41

tgn

n

ρ+

θ

ρ

−θ

=

Với môi trường hấp thụ ,

thay cho n1 và n2 dùng các đại lượng phức nc1 và nc2

2 1

2 1

1 c 2

c

) 1

(

sin

4 1

tg n

n

ρ

θ

ρθ

+

−

=

Các loại ellipsometer

1 NULL ELLIPSOMETER (NE)

2 ROTATING POLARIZER ELLIPSOMETER (RPE)

3 ROTATING ANALYZER ELLIPSOMETER (RAE)

4 ROTATING COMPENSATOR ELLIPSOMETER (RCE)

5 PHASE MODULATION ELLIPSOMETER (PME)

Nguồn sáng

Bộ bù Phân cực Phân tích

Mẫu

Đầu thu

NULL ELLIPSOMETER (NE)

Mẫu

Đầu thu

ROTATING POLARIZER ELLIPSOMETER

(RPE)

Nguồn sáng

Phân cực

cố định

Phân tích xoay liên tục Mẫu

Đầu thu

ROTATING ANALYZER ELLIPSOMETER

(RAE)

Ellipsometer Uvisel HR460

Ellipsometer Uvisel HR460

Thu nhận số liệu và xử lý

Máy đơn sắc

Phương pháp nulling ellipsometry

Trong phương pháp này, chùm sáng song song lần lượt đi qua kính phân cực P , bản ¼ sóng C rồi phản xạ trên mẫu cần

nghiên cứu Aùnh sáng phản xạ sau khi đi qua kính phân tích A và được dọi vào detector D

Các yếu tố P, C và A được đặt

dưới các góc sao cho không có

ánh sáng đến D

Giữa ánh sáng tới và ánh sáng

phản xạ có phương trình

i, p 22

21

12 11

r , s

r ,

p

E

E r

r

r

r E

E

Trong đa số trường hợp, chỉ có

i, p s

p r

, s

r ,

p

E

E r

0

0

r E

E

trong đó rp là hệ số phản xạ biên độ cho ánh sáng có vec-tơ điện trường nằm trong mặt phẳng tới và rs là hệ số phản xạ cho ánh sáng có vec-tơ điện trường vuông góc với mặt phẳng tới rp và rscó thể xác định từ các công thức Fresnel

E p,r = r p E p,i và E r,s = r s E s,i

Tỷ số là 1 số phức

Nếu chỉ quan tâm đến trạng thái phân cực mà không phải biên độ tuyệt đối ta có

i, p r

, s

r ,

p

E

E 1

0

0

E

cos P sin

P cos P sin P

cos C

cos i C sin C

cos C sin ) i 1 (

C cos C sin ) i 1 ( C sin i C

cos 1

0

0

Trạng thái phân cực của ánh sáng từ

nguồn khi đi qua các yếu tố P , C và

phản xạ trên mẫu đã chịu tác dụng

của các phép biến đổi sau

Tính tích của các ma trận trên, ta suy được vec-tơ Jones cho

ánh sáng sau khi phản xạ trên mặt mẫu

pr

E

E )

C P

sin(

C cos i

) C P

cos(

C sin

)]

C P

sin(

C sin i

) C P

cos(

C

[cos E

E

Trong phương pháp null ellipsometry, ánh sáng này phải là

phân cực thẳng có vec-tơ điện trường vuông góc với phương truyền qua của kính phân tích A

sin(

C cos i

) C P

cos(

C sin

)]

C P

sin(

C sin i ) C P

cos(

C [cos

[ tgA

−

−

−

−+

−ρ

−

=

) C P

sin(

C sin i

) C P

cos(

C cos

) C P

sin(

C cos i

) C P

cos(

C

sin tgA

− +

Như vậy, với phương pháp null ellipsometry, ta đo được góc tới θi

, các góc P, C ( thường được đặt cố định bằng ± 450 ) và góc A Từ đó, có thể tính ρ

i

expr

rr

r

p s

s

p s

=

ρ

) θ cos(θ

) θ cos(θ

2 1

2 1

2 1

sinsin

cos

cos1

1

θθ

1

2 1

2 2

sin

1 )

n

n ( 1

tg 1

1

θ

= + θ

1

1

1(1sin

n

ρ+

ρ

−+

θ

2 1

1 2

)1

(

sin

41tg

n

n

ρ+

θ

ρ

−θ

=

Từ các công thức Fresnel ( rp , rs )

Bằng phương pháp ellipsometry, xác định được ρ

Biết n1 có thể xác định chiết suất n2.

Ellipsometry không trực tiếp đo các hằng số quang và độ dày của màng, nên để có các

thông tin đó từ kết quả đo cần phải phân tích dựa trên một mô hình hợp lý

Mesi :dữ liệu thực nghiệm

χ2 càng nhỏ thì mô hình ứng với χ đó càng

phù hợp tốt với thực tế.

N 1

Thi : dữ liệu tính toán từ

mô hình lý thuyết

σi : độ lệch chuẩn

So sánh số liệu thực nghiệm và mô

hình

Bề dày

MSE

Cực tiểu địa phươhg

Xét trường hợp sóng sáng truyền theo chiều vuông góc với quang

trục của một tinh thể đơn trục ( tinh thể băng lan chẳng hạn) Khi

đó tia thường và tia dị thường truyền theo cùng chiều nhưng với các vận tốc khác nhau nhiều nhất ( hiệu | no - ne | lớn nhất )

Nếu ánh sáng phân cực phẳng tạo một góc α với quang trục thì trong tinh thể có 2 tia o và tia e phân cực vuông góc với nhau ( 1 phân cực trong mặt phẳng chính và 1 vuông góc với mặt đó ) Hai tia đó có cùng đường truyền ( trùng với chiều của ánh sáng tới) và có cùng tần số nhưng có vận tốc truyền khác nhau.

Tinh thể đơn trục dương : ne > no hay ve < vo

thạch anh, nước đá, TiO 2

Tinh thể đơn trục âm : ne < no hay ve > vo

băng lan, tourmaline

Đo với λ = 589 nm

Tourmaline 1.669 1.638 Calcite 1.6584 1.4864 Quartz 1.5443 1 5534 Sodium Nitrate 1.5854 1 3369 Ice 1.309 1.313 Rutile (TiO2 ) 2.616 2.903 Nước đá

Chiều của quang trục trong bản tinh thể đơn trục âm

Chiều vuông góc với quang trục trong bản tinh thể đơn trục dương