Chứng minh rằng với mỗi điểm Mm;3 trên đường thẳng y=3 luôn tìm được hai điểm T1 và T2 trên trục hoành, sao cho các đường thẳng MT1, MT2 là tiếp tuyến của C.. Chứng minh rằng ít nhất cũn
Trang 1Trường THPT Than Uyên
Tổ: Toán
Đề số 01
ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI MÔN
TOÁN NĂM 2012
Câu 1 Tìm tập tất cả các giá trị của a để tập xác định của hàm số: 2a x
f (x)
2a x
+
=
− chứa tập giá trị của hàm số 2 1
g(x)
x 2x 4a 2
= + + − .
Câu 2: Giải hệ phương trình sau
x x y x y 1
x y x xy 1
Câu 3.Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x20013 + y20013 +z20013 =3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F x= 2 + y2 +z2
Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau dạng a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 sao cho 1 2 3 4
< < <
> > >
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
m( x −2x 2 1) x+ + − +2x m= có nghiệm x∈0;1+ 3
Câu 6:Giải phương trình : cos2x + cos3x - sinx –cos4x = sin6x
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C) có phương trình
x + −(y 1) =1 Chứng minh rằng với mỗi điểm M(m;3) trên đường thẳng y=3 luôn tìm được hai điểm T1 và T2 trên trục hoành, sao cho các đường thẳng MT1,
MT2 là tiếp tuyến của (C) Khi đó hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác MT1T2
Hết
Trang 2Câu 1: Giải hệ phương trình:
3 3 3
x 3x 3x 1 5 y 0
y 3y 3y 1 5 z 0
z 3z 3z 1 5 x 0
+ + + − − =
+ + + − − =
+ + + − − =
Câu 2: Chứng minh rằng với mọi tham số m hàm số:
y x= +(2m 1)x+ +(m +2m 1)x 2013− − luôn có một cực đại và một cực tiểu
Câu 3: Giải phương trình lượng giác sau:
2
2sin x sin 2x 2sin x 2x(sinx cos x 1) 0− + − − + =
Câu 4: Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển thành đa thức biểu thức:
P (1 x x= + + +x )
Câu 5 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: x y2 2 −x2 −8y2 = 2xy
Câu 6 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
yz x 1 xz y 2 xy z 3
f (x, y, z)
xyz
D = (x, y,z) : x 1, y 2,z 3≥ ≥ ≥
Câu 7.
Trong một lớp có 43 học sinh làm bài kiểm tra môn toán không có ai bị điểm dưới 3, chỉ có 3 học sinh được điểm 10 Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có số điểm bằng nhau(điểm kiểm tra là các số tự nhiên từ 1 đến 10)
Câu 8 Cho tứ giác ABCD và một điểm O bên trong tứ giác Gọi S là diện tích tứ
giác ABCD Chứng minh rẳng: OA2 +OB2 +OC2 +OD2 ≥ 2S Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 9 Tìm m để bất phương trình −4 (4 x)(2 x) x− + ≤ 2 −2x m 18+ − đúng với mọi x∈ −[ 2;4]
cos a 2a sin( a ) 0
2
π + − − π =
Hết
Trang 3Trường THPT Than Uyên
Tổ: Toán
ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI MÔN
TOÁN NĂM 2012 SỐ 03 Câu 1:
1.Giải bất phương trình sau: 6 x( 2 −3x 1+ +) x4 + x2 + ≤1 0, x∈R
2 Giải phương trình sau: 2
cos2x 2 sin x
sin cos
π
=
3 Giải hệ phương trình :
2
1
x y
5 57 4x 3x y(3x 1)
25
+ =
Câu 2:
1.Chứng minh rằng
3
sinx
cos x, x 0;
π
> ∀ ∈
2 Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x 0, y 1, x y 3≥ ≥ + = Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớm nhất của biểu thức: F x= 3 + 2y2 +3x2 +4xy 5x−
3 Cho ba số dương thay đổi x,y,z thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng
x y z
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tamm giấc ABC có diện tích bằng 3
2 Biết A(2;- 3), B(3; -2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d: 3x-y-8=0 Tính bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác ABC
Câu 4: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau được
thành lập từ các chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0,1 không đứng cạnh nhau
Câu 5
1.Cho n là một số nguyên dương Biết rằng 2n+1 và 3n+1 là hai số chính phương Chứng minh rằng n chia hết cho 40
2 Trên mặt phẳng cho 29 điểm sao cho từ ba điểm bất kỳ trong số chúng đều tìm được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 14 điểm
Hết
Trang 4Bài 1 (4đ) Cho hàm số y= − +x3 3x2 +3m(m 2)x 1 (1)+ + , trong đó m là tham
số thực Tìm tất cả các giá trị của m đề đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B
và độ dài AB=2 5
Bài 2(6đ):
1 Giải phương trình sau: 3tan x 2 2cos x (2 3 2)sinx2 + 2 = +
2 Giải phương trình sau :x3−4x2 −5x+ =6 3 7x2 +9x−4
3.Tìm m để bất phương trình (1 2x)(3 x) m 2x+ − > + 2 −5x 3+ nghiệm đúng với mọi 1
2
−
∈
Bài 3(2đ):
Cho đường tròn (C) :(x 1)+ 2 + −(y 2)2 =13 và đường thẳng d: x- 5y -2 =0 Gọi A,B là tọa độ giao điểm của d và (C) Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang vuông ABCD (AB//BC, DAB 90· = 0), biết đỉnh C thuộc đường tròn (C) và đỉnh D cách đường thẳng d một khoảng 2 26
Bài 4(4đ):
1.Cho n là một số nguyên dương lẻ không nhỏ hơn 3 Chứng minh rằng với mọi số thực a 0≠ , ta luôn có:
2! 3! 4! (n 1)! n! 2! 3! 4! (n 1)! n!
+ + + + + + + − + − + − + − <
2.Cho a,b,c >0 thỏa mãn điều kiện abc =1 Tìm GTNN của:
T
a b a c b c b a c a c b
Bài 6(4đ):
1.Trên mặt phẳng cho 6 điểm phân biệt, tùy ý trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Nối các điểm đó bởi các đoạn thẳng và tô chúng bởi hai màu xanh và
đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các cạnh cùng màu
2.Chứng minh rằng 11n 2 + +122n 1 + M133 với mọi n∈N.
Hết
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 5Trường THPT Than Uyên
Tổ: Toán
ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI MÔN
TOÁN NĂM 2012 SỐ 04 Bài số 1: a.Cho dãy số (xn) xác định bởi : 2
1
x , x x x , n 1
2 +
Đặt n
b Cho dãy số (xn) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
i) x1 =2
ii) n x1 2x2 (n 1)x2 n
n(n 1)
− Tính limSn trong đó 3
S = (n 1) x+
c Cho dãy số (un), n∈N được xác định như sau:
2
u = 2, u + = 5u + 24u −96; n∀ ∈N
Xác định số hạng tổng quát của dãy (un) Chứng minh rằng un ≥ 2.5 , nn ∀ ∈N
Bài số 2: Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC có BC= a; AC=b; AB=c;
; ;
α β γ lần lượt là các góc tạo bởi các mặt phẳng (SBC),(SAC), (SAB) với đáy Biết Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm O bất kỳ trên mặt đáy đến ba mặt bên của hình chóp là một hằng số
Bài số 3: Cho một đa giác đều A1A2 An (n 3)≥ nội tiếp trong một đường tròn tâm O, biết A1 , A2 , A3, A4 của đa giác đều thỏa mãn đẳng thức
A A = A A + A A Tìm số cạnh của đa giác đều đã cho
Bài số 4 : Chứng minh rằng
0
sin1 sin 2 + sin 2 sin 3 + +sin 89 sin 90 = sin 1