Đề thi thử HSG môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Hồ Tông Thốc là tài liệu dành cho các bạn học sinh đang chuẩn bị thi thử HSG sắp tới. Ôn tập với đề thi giúp các em phát triển tư duy, năng khiếu môn học. Chúc các em đạt được điểm cao trong kì thi này nhé.
Trang 1TRƯỜNG THCS H TÔNG TH CỒ Ố Đ THI TH H C SINH GI I L P 9Ề Ử Ọ Ỏ Ớ
Năm h c 20182019ọ
Môn: Toán
Th i gian làm bài: 150 phút ờ
Câu 1(5.0 đi m ể ):
a) Tìm s t nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai s chính phố ự ố ương
b) Tìm 3 s nguyên t mà tích c a chúng b ng 5 l n t ng c a chúng.ố ố ủ ằ ầ ổ ủ
c) Tìm nghi m nguyên c a phệ ủ ương trình: x(y + 1) + 2y(x 2) = 02
Câu 2(5.0 đi m ể ):
a) Gi i phả ương trình: 3x2 + 4x+ = 10 2 14x2 − 7
b) Gi i phả ương trình: 3x 5 + 7 3x = 5x 20x 222 +
c) Cho x, y là hai s dố ương th a mãn : xỏ 2 + y2 = 4.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : ị ỏ ấ ủ ể ứ
= + + +
Câu 3(4.0 đi m ể ):
a) Cho abc = 1. Ch ng minh r ng: ứ ằ a + b + c = 1
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 b) Cho a, b, c > 0 : Ch ng minh ứ a2
b c+ + b2
c a+ + c2
a b+
2
a b c+ +
Câu 4: (4,0 đi m) ể
Cho tam giác ABC nh n, ba đọ ường cao AD, BE, CF c t nhau t i H. G i I, K l nắ ạ ọ ầ
lượt là hình chi u c a đi m D trên c nh AB, AC. G i O là giao đi m c a EF vàế ủ ể ạ ọ ể ủ AD
Ch ng minh r ng: ứ ằ
a) AE.AC = AF.AB và AI.AB = AK. AC
b) Ch ng minh: AD.CosBAC = AH.SinABC. SinACBứ
Câu 5(2 đi m ể ) ): Cho tam giác nh n ABC. Tìm đi m M trong c a tam giác sao cho:ọ ể ủ MA.BC + MB. AC + MC.AB đ t giá tr bé nh t.ạ ị ấ
Trang 21
A
2
65
24
h n
k n
k − 24 h = + 65
89 1 89
h k h k
44
45 1
89
h
k h
k
h k
V y: n = 45ậ 2 – 24 = 2001
0.5 0.5 0.5
0.5
B
Tìm 3 s nguyên t mà tích c a chúng b ng 5 l n t ng c a chúngố ố ủ ằ ầ ổ ủ
G i a, b, c là 3 s nguyên t c n tìmọ ố ố ầ
Ta có: abc = 5(a+b+c) abcM5mà 5 nguyên t , nên trong 3 s a,ố ố
b, c có m t s b ng 5.ộ ố ằ
Không m t tính t ng quát, gi s a= 5, ta có: ấ ổ ả ử
5bc = 5(5+b+c) bc = + + 5 b c bc b c − − + = 1 6
b,c là các s nguyên dố ương có vai trò nh nhau nên ta có các h :ư ệ
i) 1 1 2
ii) 1 2 3
− = =
− = = trường h p này lo i vì 4 là h p s ợ ạ ợ ố
V y 3 s nguyên t c n tìm là: 2; 5; 7ậ ố ố ầ
0.5
0.5
0.5
0.5
C Ta có: x(y + 1) + 2y(x 2) = 02
xy + x + 2yx 4y = 02
x(y + 1 + 2y) = 4y2 x(y+1)2 =4y
+ N u ế y= −1 thì 0= −4 (không tho mãn).ả
+ N u ế y −1 thì:
x = 4y 2
(y 1)+ (1)
Vì y và y + 1 là 2 s nguyên t cùng nhau ( HS có th ch ng minhố ố ể ứ
ho c không ch ng minh) nên t (1) đ nghi mặ ứ ừ ể ệ x Z thì 4 (y + 1)M 2
Suy ra: (y + 1)2 =1 ho c ặ (y + 1)2 =4
0.5
0.5
Trang 3+) V i ớ (y + 1)2 =1 0
2
y y
=
= −
+) V i ớ (y + 1)2 =4 1
3
y y
=
= −
V y ta có 4 c p nghi m: ( 0;0), (8;2), (1;1), (3;3)ậ ặ ệ
0.5
0.5
2
A
2
3x 5 + 7 3x = 5x 20x 22+ (**)
Đi u ki n: ề ệ 5 7
Áp d ng b t d ng th c Bunhiacopski ta có: ụ ấ ẳ ứ
3x 5 + 7 3x (1 1 )(3x 5 + 7 3x) = 4+
3x 5 + 7 3x 2
M t khác ta có: ặ 2 ( )2
5x 20x+ 22 5 x 2= +2 2
Do đó: (**) 3x 5 + 7 3x 22 2 2
2 5x 20x 22 2
=
=
=
=
x
x
V y nghi m c a phậ ệ ủ ương trình đã cho là x = 2
0.5
0.5
0.5
0.5
B
2 2
Áp d ng BĐT: ụ 1 1 4
a b a b+
+ v i a > 0; b > 0. ớ
+
Áp d ng BĐT: ụ a b 2
b a+ v i a > 0; b > 0. ớ
Ta có x y 2 2 x y 4
V y giá tr nh nh t c a bi u th c E = 9 . D u “=” x y ra khi x = y =ậ ị ỏ ấ ủ ể ứ ấ ả
2
0.5 0.5
0.5
0.5
V i abc = 1 ớ a 1
bc
= Thay vào ta có:
0.5
0.5
0.5
Trang 4ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1
1
bc + b + 1
=
1 bc + b + 1 1 + bc + b
1
+ + + +
+ +
bc
b bc
0.5
Ta có: a2
b c+ +
4
b c+ a ( CôSi)
Tương t : ự b2
c a+ +
4
a c+
b , c2
a b+ +
4
a b+
c
VT + 1
2( a + b + c ) ( a + b + c )
V y ậ a2
b c+ + b2
c a+ + c2
a b+
2
a b c+ +
0.5 0.5 0.5 0.5 4
A
Ta có ∆ABE vuông t i E và ∆ACF vuông t i F ( vì BE và CF là hai đ ạ ạ ườ ng
cao c a ∆ABC) ủ CosﾷBAC = AE AF
AB = AC AE.AC = AF.AB(1)
∆ADC vuông t i D có DK là đ ạ ườ ng cao AD 2 = AK.AC
L i có ∆ADB vuông t i D có DI là đ ạ ạ ườ ng cao AD 2 = AI.AB
Suy ra: AI.AB = AK. AC (2)
1 0.5 0.5
B Ta có ∆ADB vuông t i D ạ SinABC = AD
AB
L i có ∆CBE vuông t i E và ∆AHE vuông t i E ạ ạ ạ
mà AHE = C( cùng bù DHE) Sin ACB = BE AE
BC = AH
0.5 0.5 0.5
E
H P
O F
N
I
C D
B
A
Trang 5v y ậ
AD
AH AE AD
AH AB AB
AE AH
AE AB
AD AB
AE SinACB SinABC
CosBAC
.
.
:
AD. Cos BAC= AH.SinABC.SinACB (đpcm)
0.5
5
F
E
D
A
M
V BE, CF vuông góc v i AM, tia AM c t BC t i Dẽ ớ ắ ạ
Ta có:MA.BC = MA.(BD+DC)= MA.BD + MA.DC MA.BE + MA.CF
Do đó : MA.BC 2SABM + 2SACM
Tương tự : : MB.AC 2SBCM + 2SABM
MC.AB 2SACM + 2SBCM
C ng v theo v các BĐT trên ta có ộ ế ế
MA.BC + MB.AC + MC.AB 4(SABM+ SACM+ SBCM) = 4SABC (kđ i).ổ
D u b ng x y ra khi và ch khi MAấ ằ ả ỉ BC; MB AC; MC AB
Hay M là tr c tâm c a tam giác ABC.ự ủ
(L u ý: HS sinh có cách gi i đúng khác cũng cho đi m t i đa) ư ả ể ố
0.5 0.5
0.5
0.5