Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Tính 0 thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm: Thí sinh chỉ được làm
Trang 1SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 LẦN 1
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Môn: TOÁN; Khối: D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 1
2
x
y
x
+
=
- .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Gọi (d) là đường thẳng qua M ( 2; 0 ) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
2
MA= - MB
uuur uuur
.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 3 sin cos 1
cos
x
2. Giải phương trình 2x2 + +x x2+ +3 2x x 2 +3= 9 ( x Î ¡ )
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân ( )
4
2
2
0
I=ò x x + dx .
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc · ABC = 60 0 , hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 30 Tính 0
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a.
Câu V (1,0 điểm) Cho bất phương trình -4 -x2+2x+15³x2 -2x-13 + m
Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x Î - [ 3; 5 ] .
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2.0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M 6; 2 ( ) và đường tròn (C):( x 1- ) ( 2+ y-2) 2 = 5 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho AB= 10
2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( ) : 1 1
d - = = +
- và hai điểm A( 4; 1;1 ,- ) ( B 2; 5; 0 ) . Tìm
điểm M trên (d) sao cho tam giác MAB vuông tại M .
Câu VII.a (1.0 điểm) Giải hệ phương trình ( )
3
x y
y
-
-
ï
í
î
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2.0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A - ( 1; 2 ) và đường thẳng ( )d :x-2y + = 3 0 . Tìm trên đường thẳng (d) hai
điểm , B C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC = 3 BC .
2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A( 0;1; 0 ,) ( B 2; 2; 2 ,) ( C - 2; 3; 4 ) và đường thẳng
d - = + = +
- . Tìm điểm M thuộc (d) sao cho thể tích khối tứ diện MABC bằng 3.
Câu VII.b (1.0 điểm) Giải hệ phương trình
2
3
y
x
ì
í
î
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
http://kinhhoa.violet.vn
Trang 2SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 LẦN 1
Môn: TOÁN; Khối: D (Đáp án – thang điểm gồm 06 trang)
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
1. (1,0 điểm)
· Tập xác định: D = ¡ \ 2 { }
· Sự biến thiên:
ￚ Chiều biến thiên:
3
2
x
-
= < " Î
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( -¥ ; 2 ) và ( 2; +¥ )
0.25
ￚ Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1
®-¥ ®+¥
= = ; tiệm cận ngang: y = 1
lim , lim
= -¥ = +¥ ; tiệm cận đứng: x = 2
0.25
2.(1,0 điểm)
I
(2,0 điểm)
Trang 3Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 1 2
2
x
kx k
x
+
= -
Điều kiện: x ¹ 2
Phương trình (1) tương đương với: 2 ( )
f x =kx - k+ x+ k - = (2) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Û (1) có hai nghiệm phân biệt
Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2
( )
k
k
f
Û D =í + > Û í
> -
ï = - ¹ ï î
î
(*)
0.25
Đặt A x y( 1; 1) ( ,B x y 2; 2 ) với x x là hai nghiệm của (2) và 1, 2 y1=kx1-2 ;k y2 =2x2 - 2 k
( )
ì
ï
uuur uuur
(3)
0.25
Theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
4 1
(4)
4 1
(5)
k
x x
k
k
x x
k
+
ì + =
ï
í
-
ï =
ï
Từ (3) và (4) suy ra: x1 2k 2; x 2 4k 1
Từ (5) và (6) ta được: 2 2 2. 1 4 1 2
3
k
= Û = , thỏa (*)
Vậy, giá trị k thỏa đề bài là: 2
3
k = .
0.25
1. (1,0 điểm)
Điều kiện: cosx ¹ 0 (*)
Phương trình đã cho tương đương với:
x
0.25
cos 2 s in2
1 cos 2
x p
0.25
3
x k
p
p p
é
= +
ê
Û
ê
=
ë
( k Î ¢ ), thỏa (*)
Vậy, phương trình có nghiệm là:
3
= + Ú = ( k Î ¢ ).
0.25
2.(1,0 điểm)
3
t=x+ x + , phương trình đã cho trở thành: t2 + -t 12= 0 0.25
12 0
4
t
t t
t
=
é + - = Û ê = -
ë
0.25
x
£
ì
î
0.25
II
(2,0 điểm)
· Với t = - thì 4 2 3 4 2 4 2
x
£ -
ì
î
0.25
Trang 4Vậy, phương trình có nghiệm là: x = 1
(1,0 điểm)
( )
2
2
9 ln 2
x
x
2 9
2
x
2
2
2
0
0
x
I =éê + x + ù ú - xdx
0.25
4
2
2
0
x
x
·
4
8
2
x xdx =éê ù ú =
ë û
ò
0.25
III
(1,0 điểm)
Vậy 25 log 5 9 log 3 2 2 8
ln 2
(1,0 điểm)
Gọi O AC= I BD , M là trung điểm AB và I là trung điểm của AM.
Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên:
,
CM ^AB OI ^ AB và
2
0.25
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SO^ ( ABCD )
Do AB^OIÞAB^ SI . Suy ra: · éë( SAB) ( , ABCD) ù û =( · · OI SI, ) =SIO = 30 0
Xét tam giác vuông SOI ta được: 0 3 3
t an30
Suy ra:
0.25
Gọi J OI= I CD và H là hình chiếu vuông góc của J trên SI
2
a
IJ = OI = và JH ^ ( SAB )
Do CD/ /ABÞ CD / / ( SAB ) . Suy ra:
( , ) ,( ) , ( )
d SA CD =d CD SABéë ùû=d J SABéë ù û = JH
0.25
IV
(1,0 điểm)
Xét tam giác vuông IJH ta được: 0 3 1 3
.s in30
0.25
Trang 5Vậy ( , ) 3
4
a
d SA CD = .
(1,0 điểm)
Xét bất phương trình: -4 -x2+2x+15³x2 -2x-13 + m (1)
Điều kiện: -x2 +2x+15³0Û - £3 x £ 5
Đặt t= -x2 +2x + 15 , ta có:
2
1
2 15
x
x x
-
Bảng biến thiên:
Suy ra: t Î [ ] 0; 4
0.25
t= -x + x+ Û x - x= - t nên bất phương trình đã cho trở thành:
2 4 2
0.25
Xét hàm số f t( )=t2 -4t - với 2 t Î [ ] 0; 4 , ta có:
( )
f t = t- = Û = t
Bảng biến thiên:
Suy ra:
0;4
t f t f
0.25
V
(1,0 điểm)
Bất phương trình (1) nghiệm đúng " Î - x [ 3; 5 ]
Û Bất phương trình (1) nghiệm đúng " Î t [ ] 0; 4
Û m £
[ ] 0;4
min ( )
t f t
Î
Û m £ - 6
Vậy, giá trị m thỏa đề bài là: m £ - 6 .
0.25
1. (1,0 điểm)
VI.a
(2,0 điểm)
Đường tròn (C) có tâm I 1; 2 ( ) và bán kính R= 5
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB, ta có:
0.25
Trang 62 2 2 2 AB 10 5 10
Đường thẳng (d) đi qua M và có VTPT n= ( a; b )
r
( 2 2 )
0
a +b ¹ có dạng:
( ) ( )
a x-6 +b y-2 =0Ûax+by 6a- -2b= 0
0.25
Đường thẳng (d) thỏa đề bài khi:
2 2
a 2b 6a 2b 10
2
a b
+
0.25
· Với b= - 3a ta được ( ) d : x-3y= 0
· Với b= 3a ta được ( ) d : x+3y 12- = 0 Vậy, có hai đường thẳng thỏa đề bài là: ( ) d : x-3y= 0 hoặc ( ) d : x+3y 12- = 0 .
0.25
2.(1,0 điểm)
Phương trình tham số của (d):
1 2
4
1
y t
= +
ì
ï
=
í
ï = - -
î
. Đặt M( 1 2 ; 4 ; 1 + t t - - t )
Ta có: MAuuur=( 3 2 ; 1 4 ; 2- t - - t +t) ;MB uuur =( 1 2 ;5 4 ;1 - t - t + t )
0.25
MAB
D vuông tại M ÛMA MB uuur uuur = 0
2
0.25
· t= Þ1 M ( 3; 4; 2 - )
Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: M ( 1; 0; 1 - ) hoặc M ( 3; 4; 2 - )
0.25
(1,0 điểm)
VII.a
(1,0 điểm)
Xét hệ phương trình: ( )
3
8 2 0, 5 (1) log 2 log 3 2 3 (2)
x y
y
-
-
ï
í
î Điều kiện: x-2y>0;3x+2y > 0 (*)
0.25
2
x y
- +
Thay (3) vào (1) ta được: log 33 x+log3 x= Û3 3x2 =27Ûx = ± 3 0.25
· Với x= Þ3 y = - , thỏa (*) 3
· x= - Þ3 y = , không thỏa (*) 3
Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: 3
3
x
y
=
ì
í
= -
î
.
0.25
(1,0 điểm)
Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra C là hình chiếu vuông góc của A trên (d)
Phương trình đường thẳng ( ) D qua A và vuông góc với (d) là: 2x+ +y m= 0
( ) ( )
A -1; 2 Î D Û - + +2 2 m=0Ûm= 0 Suy ra: ( )D : 2x+y= 0
0.25
VI.b
(2,0 điểm)
Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: {
3
y
5
ì
= -
ï =
î
.
0.25
Trang 7Đặt B 2t( -3; t) Î (d) , theo giả thiết ta có: AC=3BCÛAC = 9 BC
2
16
t
4
3
é
=
ë
.
0.25
· Với 16 13 16 ;
t= ÞB æç- ö ÷
t= ÞB æç- ö ÷
Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: 13 16 ;
15 15
B æç- ö ÷
1 4
;
3 3
B æç- ö ÷
è ø .
0.25
2.(1,0 điểm)
Ta có: AB=( 2;1; 2 ;) AC= -( 2; 2; 4) ÞéAB AC , ù =( 0; 12;6 - )
0.25
Phương trình tham số của (d):
1 2
2
3 2
= +
ì
ï
= - -
í
ï = - +
î
. Đặt M( 1 2 ; 2+ t - - - + t ; 3 2 t )
Ta có: uuuur AM =( 1 2 ; 3+ t - - - + t ; 3 2 t )
.Suy ra: éAB AC AM, ù =18 24 + t
uuur uuur uuuur
0.25
0
1
6
2
MABC
t
t
=
é
ê
ê = -
ë
· Với t=0ÞM ( 1; 2; 3 - - )
2
t= ÞM æç- - - ö ÷
Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là M ( 1; 2; 3 - - ) hoặc 2; 1 ; 6
2
M æç- - - ö ÷
0.25
(1,0 điểm)
Xét hệ phương trình
2
3
9.4 2.4 4 0 (1) log log 1 0 (2)
y
x
ì
í
î Điều kiện: x>0;y > 0
0.25
Thay (3) vào (1) ta được:
( ) 2
2
4 4
1
2
4
2
x
é =
ê
ê =
ê
(loại)
0.25
VII.b
(1,0 điểm)
· Với x= Þ1 y = 3
Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: 1
3
x
y
=
ì
í
=
î
.
0.25
Hết
