Viết phương trình đường thẳng D biết đường thẳng D cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB là tam giác cân tại I, với I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ
Trang 1Môn: Toán; khối A
( Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề )
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 ĐIỂM)
Câu I ( 2,0 điểm). Cho hàm số 2 1
1
x
y
x
-
=
- có đồ thị (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Gọi D là đường thẳng đi qua điểm M( 1 ; 1) và có hệ số góc là k. Viết phương trình đường thẳng D biết đường thẳng D cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB là tam giác cân tại I, với I là giao
điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C).
Câu II ( 2,0 điểm).
1) Giải phương trình: sin sin 5 8 cos cos 3
sin 3 sin
x+ x =
4x- 1 3 2 - x+ 7 4 - x 2x- = 1 2 - 4x + 8x- + 3 4 (víi x Î ¡ )
Câu III ( 1,0 điểm). Tính tích phân
3
4
2
0
2tan x 3
sin2x + 3cos x
p
ò
Câu IV ( 1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng AB, N là điểm trên cạnh AD sao cho: ND =3NA. Biết SA = a, đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SM và tam giác SMC cân tại S. Tính thể tích khối chóp S.MNDC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA
và MC theo a.
Câu V ( 1,0 điểm). Tìm các số thực m sao cho hệ phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt:
( )
2
,
x y
x y
ï
Î
í
ï
¡
PHẦN TỰ CHỌN ( 3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương trình là 3x + 4y 10 + = ; x 0 - + = , điểm M(0;2) thuộc đường thẳng AB đồng thời y 1 0 điểm M cách C một khoảng bằng 2 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng D :
ï
î
ï
í
ì
+
=
-
=
+
=
t
z
t
y
t
x
2
3
3
1
2
( t Î ¡ ) và A (2;3;4) , B (2;1;2 ).Hãy tìm toạ độ
điểm M trên đường thẳng D sao cho MA + MB nhỏ nhất .
Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm tất cả các số phức z biết: z z 2
z + =
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ A và đường phân giác trong của
góc B lần lượt có phương trình là: x - y 2 - 2 = 0 và x - y - 1 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC ,
biết M ( 0 ; 2 ) thuộc đường thẳng AB và AB 2 = BC
2) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I nằm trên đường thẳng
x- y+ z +
- hình chiếu của I trên đường thẳng D : ( )
3
1
1
x
=
ì
ï
= + Î
í
ï = - -
î
¡ là H(3;4;2) và mặt cầu (S)
tiếp xúc với mặt phẳng (P):x 2y + 2z + 3=0.
Câu VIIb (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn hệ thức
Trang 2đáp án và biểu điểm
điểm 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 1
1
x y x
-=
điểm
I
1)
* T a có: TXĐ: D =Ă \ 1{ }
* Chiều biến thiên: T a có:
( )2
1
1
x
-= < " ẻ
Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng (-Ơ ;1)và (1; +Ơ)
* Tiệm cận: Ta có: 1 2 2 1 lim lim 2 1 1 1 x x x x x x đ+Ơ đ+Ơ = = - - ;
1 2 2 1 lim lim 2 1 1 1 x x x x x x đ-Ơ đ-Ơ = = -
1 1 2 1 2 1 lim ; lim 1 1 x x x x x x + -đ đ - = +Ơ - = -Ơ - - Suy ra pt đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số lần lượt là: y = 2; x= 1 Hàm số không có cực trị,
* Bảng biến thiên của hàm số: +∞ -∞ 2 2 - -1 +∞ -∞ y y' x *Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số cắt các trục toạ độ tại các điểm 1;0 ; 0;1( ) 2 ổ ử ỗ ữ ố ứ Nhận điểm ( )1;2 I làm tâm đối xứng 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 2) Viết phương trình đường thẳng D 1,0 điểm 6 4 2 2 4 6 5 4 3 2 1 1 2 3 f x ( ) = 2∙x 1x 1 I
y
1
Trang 3*Ta có ptđt D đi qua điểm M( 1 ; -1) và cú hệ số gúc là k có dạng:
y+1 = k(x-1) suy ra: y =k(x-1) -1 Phương trình hoành độ giao điểm của đường
1
x
k x x
-
* Biến đổi phương trình trên về dạng: kx2 - (2k+ 3)x k+ + = 2 0(*) với xạ 1 Đường thẳng D cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi pt(*) có hai nghiệm phân biệt khác 1, khi đó ta có: 24 9 0 94 9 4 1 2 3 1 2 0 1 0 ( ). (luôn đúng) k k k k k k ỡ D = + > ỡ > -ù Ûù Û > -ớ ớ - + + + ạ ùợ ù- ạợ
* Theo bài ra tam giác IAB là cân tại I nên ta có IA = IB.Gọi A( xA; yA) ,B( xB; yB) Khi đó xA, xB là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*) và I( 1; 2) Theo định lí viet ta có: xA + xB = 2k 3 k + Mặt khác từ IA = IB suy ra IA2 =IB2 hay ta có: (xA – 1)2 +(yA – 2)2 =(xB – 1)2 +(yB – 2)2 (x A x B)(x A x B 2) (y A y B)(y A y B 4) 0 Û - + - + - + - = mà y A=k x( A- - = 1) 1 kx k A- - 1; y B=kx k B- - 1
nên ta có: Û(x A-x B)(x A+x B- + 2) (k x A-x B) (ộởk x A+x B)- 2k- 6 ựỷ= 0 Û(x A+x B- + 2) k k xộở ( A+x B)- 2k- = 6 ựỷ 0 **( ) thay kết quả của định lí viet vào (**) ta được: k= ± 1 ( thoả mãn đk)
* Với k = 1 ta có pt đường thẳng D là: y = x - 2 Với k = -1 ta có pt đường thẳng D là: y= - x hai đường thẳng này đều không đi qua điểm I (1 ;2) Vậy ptđt D cần tìm là: y = x – 2 hoặc y = - x
Bài này còn có cách giải khác 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm II 1)Giải phương trỡnh: sin sin 5 8cos cos3 sin 3 sin x x x x x+ x = 1,0 điểm 1 * Điều kiện: sin 3 0 sin 3 0 sin 0 x x x ạ ỡ Û ạ ớ ạ ợ sin sin 5 8cos cos3 sin 3 sin x x x x x+ x = 2 sin x sin 5 sin 3x x 2sin 6 sin 2x x ị + =
1 cos 2 cos 2 cos8 cos 4 cos8 2 x x x x x - + -Û = -2 1 2cos 4x cos8x 2cos 4x 2cos 4x 0 Û = - Û - = cos 4 0 cos 4 1 x x = ộ Û ờ = ở
0,25 điểm 0,25 điểm
Trang 4
( )
cos 4 0 cos 4 0
cos 0 sin 2 0
sin 0
x x
x x
=
=
ở
2
l x
ộ = + ờ
Û ờ
ờ = + ờở
(thỏa món)
*Vậy: ( ); ( ) 8 4 2 l x=p + p lẻZ x=p +k p kẻZ là nghiệm của phương trỡnh Chỳ ý: Thớ sinh khụng kết hợp điều kiện để loại nghiệm thỡ trừ 0.25 0,25 điểm 0,25 điểm 2) Giải phương trỡnh: (4x- 1 3 2) - x+(7 4 - x) 2x- = 1 2 - 4x2 + 8x- + 3 4 ( vớixẻ Ă ) 1,0 điểm 2 * Đk: 1 3 2 Ê Êx 2 Đặt a = 3 2x- ( a³ 0) và b = 2x- 1 ( b³ 0) Từ đó suy ra : a2 + b2 = 2 (1)
*Vì: 4x- = 1 2b2 + 1; 7 4 - x= 2a2 + 1; - 4x2 + 8x- = 3 2x- 1 3 2 - x a b= Nên từ phương trình đã cho ta có: (2b2 + 1) (a+ 2a2 + 1)b= 2ab+ 4 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có hệ pt: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 a b b a a b ab ỡ + = ù ớ + + + = + ùợ
*Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 với ẩn là a và b Giải hệ trên ta được: nghiệm là: a = b =1
*Với 1 1 a b = ỡ ớ = ợ Khi đó ta có: 3 2 1 1 1 1 2 1 1 x x x x x ỡ - = ỡ = ù Û Û = ớ - = ợớ = ùợ (t/m đk) Vậy nghiệm của pt đã cho là: x =1 Bài này còn có 2 cách giải khác 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Tớnh tớch phõn 4 3 2 0 2tan x - 3 I= dx sin2x + 3cos x p ũ điểm 1,0 III ( ) 3 3 4 4 2 2 0 0 2tan x - 3 2tan x - 3 I= dx = sin2x + 3cos x 2tan x + 3 cos x dx p p ũ ũ
*Đặt t = tanx suy ra : 2 cos dx dt x = ta có: Khi đó: 4 3 4 2 0 0 2 - 3 3 9 39 I= dt = 2t+3 2 4 8 12 t t t dt t p p ổ - + - ử ỗ + ữ ố ứ ũ ũ
* Suy ra: 3 3 2 9 39 1 I= ln 8 12 0 3 4 4 8 t t t ổ ử - + - + ỗ ữ ố ứ 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm x 0 4 p t 0 1
Trang 5
* Tính đúng I = 11 39ln5
6 - 8 3
Bài này có cách giải khác
0,25
điểm
Tớnh thể tớch khối chúp S.MNDC và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SA và
điểm
D C
S
M
N
H
K I E
IV
H
D C
N M
K
I
* Mặt khác tam giác SMC là cân tại S nên nghĩ đến việc kẻ đường cao từ S của
0,25
điểm
* Vẽ hình phụ: ta chứng minh được
CM vuông góc với MN ( có nhiều
cách: dùng góc hoặc pitago đảo )
Mà theo bài ra ta có MN vuông góc
với SM Từ đó ta suy ra: MN vuông
góc với mp(SMC)
Trang 6
tam giác là: SH (H ẻ MC) Từ đó ta chứng minh SH vuông góc với mặt đáy vì
SH ^CM và SH ^MN (v ìMN ^(SMC cmt) ) Do đó SH là chiều cao của khối
4
a
hoặc định lí côsin )
4
a
SH = SA -HA =
* Tính được diện tích tứ giác MNDC bằng:
2
11 16
a
(đvdt) từ đó suy ra thể tích của khối chóp SMNDC là:
MNDC
* Gọi K là trung điểm của CD khi đó MC song song với mp(SAK) vì MC //AK
Do đó khoảng cách giữa CM và SA là khoảng cách giữa đường thẳng CM và
mp(SAK) khoảng cách này bằng khoảng cách từ điểm H đến mp(SAK)
Kẻ HI ^ AK (I AK)ẻ và HE^SI (EẻSI) Ta chướng minh được HE ^(SAK)
Vậy khoảng cách cần tìm bằng độ dài đoạn HE
Tính được HI =
5
a
a HE
Có thể bằng phương pháp toạ độ trong không gian
0,25
điểm
0,25
điểm
0,25
điểm
Tỡm cỏc số thực m sao cho hệ phương trỡnh sau cú 4 nghiệm thực phõn biệt:
( )
2
,
x y
x y
ớ
1,0
điểm
V
* pt(1) đặt t = x – y khi đó pt (1) trở trành: 2 3 t + 2t t+ 2 =7 2 t
3
2
t
t
ổ ử
* Thay y = x - 1 vào pt(2) ta có: m x( + 4) x2 + = 2 5x2 + 8x+ 24
Ûm x( + 4) x2 + = + 2 (x 4) 2 + 4(x2 + 2)
Với x = - 4 thì với mọi m pt vô nghiệm
2
(3) 4 2
m
x x
+ +
Đặt
2
đ+Ơ = đ-Ơ =
-Lập bảng biến thiên
y’ + 0 -
y
3 -1 1
0,25
điểm
0,25
điểm
Trang 7
suy ra - < £ 1 y 3 vµ (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt Û Îy ( )1;3
y
= + (4)
y
y
lim ; lim
® = +¥ ® = -¥
LËp b¶ng biÕn thiªn
y -1 0 1 2 3
- - 0 + -5
-¥
+¥
13/3
5
4
3
Îçè ÷ø
0,25
®iÓm
0,25
®iÓm
®iÓm VIa
I A
M
N
D
H
*G¶i sö: ®êng th¶ng d1:3x 4y 10 0 + + = ; d2: x y 1 0 - + =
Gọi D là đường thẳng đi qua điểm M và D ^ AD, D cắt AD tại I và cắt AC tại N
Có n 1; 1ur( - )
là VTPT của AD, do D ^ADÞn 1; 1ur( - )
:
y 2 t
ì í î
=
D = - suy ra phương trình tổng quát : x y 2 0D + - =
Do I = D Ç AD Þ tọa độ I là nghiệm của hpt:
1 x
I ;
y 2
ì = ï + - =
ïî
0,25
®iÓm
)
(
f y
'( )
f y
Trang 8Tam giác AMN có d2 vừa là đường cao, vừa là phân giác nên là tam giác cân tại
Þ I là trung điểm của MN Þ N (1;1)
*Có n 3; 4 uur 1( ) là VTPT của BH Þ u 4; 3 uur 1( - ) là VTCP của BH, do ( ) 1 BH ^ AC Þ u 4; 3 uur là VTPT của AC, do AC đường thẳng đi qua điểm N(1;1) nên AC : 4 x 1( - -) (3 y 1 - =) 0 Þ AC: 4x – 3y –1 = 0 Do A AC AD = Ç Þ tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: 4x 3y 1 0 x 4 A(4;5) x y 1 0 y 5 - - = =
ì ì Û Þ í - + = í = î î
*AB là đường thẳng đi qua điểm M(0;2) nhận MA 4;3 uuuur( ) làm vec tơ chỉ phương Þ phương trình tham số của AB x 4t y 2 3t = ì Þ í = + î pt tổng quát AB : 3x 4y 8 0- + = Do B AB BH = Ç Þ tọa độ B là nghiệm của hpt x 3 3x 4y 8 0 1 B 3; 1 3x 4y 10 0 y 4 4 = -ì - + = ì ï æ ö Û Þ -í + + = í =- çè ÷ø î ïî
*Gọi C a, b( ) AC 4a 3b 1 0 b 4a 1 C a;4a 1 3 3 - æ - ö Î Þ - - = Þ = Þ çè ÷ø, ta có MC a;4a 7 3 -æ ö ç ÷ è ø uuur Theo giả thiết 2 2 2 x 1 y 1 4a 7 MC 2 a 2 25a 56a 31 0 31 33 3 x y 25 25 = Þ = é -æ ö ê = Û +ç ÷ = Û - + = Û ê = Þ = è ø ë ( ) C 1;1 Þ hoặc C 31 33; 25 25 æ ö ç ÷ è ø Vì AD : x y 1 0 - + = là phân giác trong góc A của tam giác ABC kiểm tra điều kiện (x B - y B + 1 x)( C - y C + < 1) 0 cả hai điểm C trên đều thỏa mãn 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 2)Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng D: ï î ï í ì + = -= + = t z t y t x 2 3 3 1 2 ( tÎ ¡) và A (2;-3;4) , B (-2;1;-2).Hãy tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng D sao cho MA + MB nhỏ nhất 1,0 ®iÓm * Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng D, K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng D Thì ta tìm được H(3;-2;5) ,K(1;4;1) Gọi A1 đối xứng với A qua ®iÓm H ta tìm được A1(4 ; -1 ; 6 )
* Ta có uuurAH (1 ; 1 ; 1 ) , BKuuur (3 ; 3 ; 3 ) uuurAH và uuurBK cùng hướng nên để MA + MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M = BA1Ç D Tìm toạ độ M như sau : Ta có BA1(6 ;-2;8 ) nên đường thẳng BA1 có một VTCP là ur (3;-1;4) Þphương trình đường thẳng BA1: 1 1 1 2 3 1 2 4 x t y t z t = - + ì ï = -í ï = - + î ( t1Ρ) 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm
Trang 9
Ta có M ÎBA1 nên M (-2 + 3t1; 1 - t1 ; -2 + 4t1) Vì M Î D Nên ta có hệ phương trình sau 1 1 1 2 3 2 1 1 3 2 4 3 2 t t t t t t - + = + ì ï = -í ï- + = + î Û 1 1 1 3 4 3 0 2 4 5 t t t t t t - = -ì ï - = í ï = -î Û 1 1 2 3 2 t t ì = ïï í ï = ïî
Vậy 5 1 4 2; 2; Mæ - ö ç ÷ è ø 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm Tìm tất cả các số phức z biết: z z 2 z+ = 1,0 ®iÓm VIIa * Gäi sè phøc z = a + bi ; ,a bΡ ; §iÒu kiÖn: 0 0 0 a z b ¹ ì ¹ Û í ¹ î Ta cã: z z 2 z z z 2z a bi a2 b2 2(a bi) z+ = Þ + = Û + + + = -
2 2 2 2 2 2 2 2 a a b a a a b bi a bi b b ì + + = Û + + + = - Û í = -î
* Gi¶i hÖ ta ®îc: 1 0 a b = ì í = î hoÆc 0 0 a b = ì í = î ( lo¹i)
* Thö l¹i ta thÊy z = 1 tho¶ m·n bµi to¸n VËy sè phøc cÇn t×m lµ: z =1 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 1) Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC ? 1,0 ®iÓm VIb I C A B H D M N K * Gi¶ sö p/ g: BD ( D ÎAC) vµ ®êng cao AH ( H ÎBC) Gọi N là điểm đối xứng của M qua phân giác của góc B Suy ra pt của MN là x + y – 2 = 0 Gọi I là giao điểm của BD và MN Suy ra toạ độ của I là nghiệm của hpt:
Trang 10
2 2
2
x
x y
x y
y
ì = ï + - =
ïî
Vì N thuộc BC và BC ^ AH Þ pt BC: 2x + y – 5 = 0 Toạ độ của B là nghiệm của hpt: 2 5 0 2 2 1 1 0 2 ( ; ) x y x B x y y + - = = ì ì Û Þ í - - = í = î î
Ta có pt AB: x - 2y + 4=0 Suy ra toạ độ của A là nghiệm của hpt: 3 2 4 0 1 3 1 2 2 2 0 2 ( ; ) x x y A x y y = ì + - = ì Û ï Þ í - - = í = î ïî
Gọi K là trung điểm của AB ) 4 3 ; 2 5 ( K Þ Vì BK =BCÞCK^BDsuy ra pt CK: 0 4 13 = -+ y x Suy ra toạ độ của C là nghiệm của hpt: 7 13 0 7 3 4 4 4 2 3 2 5 0 2 ( ; ) x x y C x y y ì = ì + - = ï ï Û ï Þ í í ï + - = ï = î ïî Vậy ) 2 3 ; 4 7 ( ), 1 ; 2 ( ), 2 1 ; 3 ( B C A 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 2) Viết phương trình mặt cầu (S) 1,0 điểm *ChuyÓn pt ®êng th¼ng d vÒ d¹ng tham sè theo tham sè Ta có Tâm I(4+3t1;-1-2t1;-6+t1) ÞuurHI =(3t1+1 2; - t1-5 ; t1-8) cã VTCP của đuờng thẳng D là ur (0;1; 1)
Vì H là hình chiếu vuông góc của I trên Dnên uuur rHI u = 0 Û3t1 - 3 = 0 Ût1 = 1 ÞTâm I(7;-3;-5)
Vì (S) tiếp xúc với (P) nên bán kính R = d(I,(P)) = 2
Vậy phương trình (S) : (x-7)2 + (y+3)2+(z+5)2= 4 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm
Trang 11
Mỗi ý đều có các cách giải khác Thí sinh giải đúng vẫn cho điểm tối đa
điểm
VIIb
Đặt z x yi= + x, y( ẻĂ Ta cú )
x yi x yi x yi
- = - +
2 x 1 yi 2 2yi
2
0 2
x
x
= ộ
Û ờ =ở
Vậy tập hợp cỏc điểm cần tỡm là 2 đường thẳng x=0,x= 2
0,25
điểm
0,25
điểm
0,25
điểm
0,25
điểm
