Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận của đồ thị C.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết tiếp tuyến cắt các đường ti
Trang 1TRƯỜNG THPT CỔ LOA
e&f
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2011 2012
MÔN TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 1132012
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
1
2 +
+
=
x
x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận của đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại A và B sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm)
1.Giải phương trình
0
1 sin
2
4
6 sin
4
2 sin
3
2
= +
-
÷
ø
ö
ç
è
æ P
-
-
+
x
x
x
x
2. Giải hệ phương trình
ï
ï
í
ì
= +
- + +
=
- + +
- +
2
1
2
2
1
3
2
3
2
y
x
y
x
x
y
x
y
x
x
Câu III (1 điểm) Tính tích phân = ò +
e
dx
x
x
x
I
1
2 1 ln
2
.
Câu IV (1 điểm) Chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau,
2 ,
2
2 a BC a
AD = = Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M là trung điểm
đoạn AB đến mặt phẳng (SCD).
Câu V (1 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a2+ b2+ c 2 = 1
Chứng minh rằng
3
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( - 3 - ; 8 ) , tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác ABC lần lượt là I ( - 5 ; 1 ) , ÷
ø
ö
ç
è
æ
3
2
;
1
G Tìm tọa độ hai điểm B và C.
2. Trong không gian toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(1;2;0) và tiếp xúc
với mặt cầu (S): 2 2 2 6 4 4 13 0
= +
-
-
- +
+ y z x y z
x
Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình ( ) ( x )( ) x ( ) x
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip
E + = và đường thẳng : 3 d x + 4 y - 12 = Chứng minh rằng đường 0 thẳng d cắt elip (E) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm điểm C Î ( ) E sao cho ABC D có diện tích bằng 6.
2. Trong không gian toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 0 ; 1 ; 0 ) , B ( 1 - ; 1 ; 3 ) , C ( 3 - ; 7 ; 9 ) Tính độ dài đường phân
giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
log 1 log
x
x
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
http://kinhhoa.violet.vn
Trang 21) (1 điểm). Khảo sát hàm số
*) TXĐ: D = R \ { } - 1
*) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
( ) 2 < 0, " ¹ - x 1
-1 y' =
x + 1
,
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( -¥ - ; 1 ) và ( - +¥ 1; ) .
Cực trị: Hàm số không có cực trị
0,25
Giới hạn và tiệm cận:
lim 1
x
y
®±¥
= ; tiệm cận ngang (d1): y = 1
lim , lim
Bảng biến thiên:
x ¥ 1 + ¥
y
1
¥
0,25
* Đồ thị:
*) Đồ thị:
Đồ thị hàm số đi qua các điểm ( 2; 0), (0; 2)
0,25
2) (1 điểm)
2. Giao điểm hai tiệm cận I(1;1)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ xo là:
0
0
2
0
0
2
1
1
1
x
x
x
+
-
+ +
(d) ( x o ¹ - 1 )
Tiếp tuyến d cắt tiệm cận ngang d1 tại điểm A ( 2 + x o 1 ; 1 )
Tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng d2tại điểm
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
-
1
3
;
1
o
o
x
x
B
0,25
1
2 +
= x o
1
2 +
=
o
x
IB ; IA IB = 4 với mọi x o ¹ - 1
Tam giác IAB vuông tại I nên chu vi IA + IB + AB = IA + IB + IA 2 + IB 2 ³ 2 IA IB + 2 IA IB = 4 + 2 2
0,25
Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất khi và chỉ khi IA = IB hay
ê
ë
é
-
=
=
Û +
= +
2
0
1
2
1
2
o
o
o
o
x
x
x
I
(2điểm)
1) (1 điểm).
II
(2điểm)
Điều kiện:
ï
ï
î
ï
í
ì
P +
P
¹
P +
P
-
¹
Û
-
¹
2
6
7
2
6
2
1
sin
k
x
k
x
0,25
2
y
x
1 2
Trang 3( ) 4 0
6 sin
4
2 sin
3
2
ø
ö
ç
è
æ P
-
-
x
0
6
3
2 cos
2
3
2 cos
4
0
4
3
2 cos
1
2
2 sin
2
3
2 cos
2
1
2
=
-
÷
ø
ö
ç
è
- +
÷
ø
ö
ç
è
-
Û
=
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
-
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ P
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ P
-
x
x
6
2
3
2
2
3
3
2 cos
1
3
2 cos
Kết hợp với điều kiên được nghiệm của phương trình là = P + 2 P
6 k
x ( k Î Z ) 0,25 2) (1 điểm)
ï
ï
í
ì
= +
- + +
=
- + +
- +
2
1
2
2
1
3
2
3
2
y
x
y
x
x
y
x
y
x
x
)
2 (
)
1 (
Điều kiện:
ï
ï
í
ì
³ +
-
³
0
3
1
2
y
x
x
( ) 2 Û x 3 + 2 x 2 - x - 2 = - y ( x + 1 ) Û ( x + 1 ) ( x 2 + x - 2 ) = - y ( x + 1 ) Û x 2 + x - 2 = - y
(vì
3
1
-
³
x nên x + 1 ¹ 0 )
0,5
Thay vào (1) được 3 x + 1 - 2 - x + x 2 + 2 x - 4 = 0 (3) Điều kiện: 2
3
1
£
£
- x
Xét hàm số f ( x ) = 3 x + 1 - 2 - x + x 2 + 2 x - 4 trên đoạn
ú
ù
ê
é
- ; 2
3
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
Î
"
>
+ +
-
+ +
3
1
0 )
1 (
2
2
2
1
1
3
2
3 )
(
x
x
x
ù
ê
é
- ; 2
3
1
Mà f(1)=0 nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 1,
0,25
từ đó suy ra y = 0 Vậy, hệ đã cho có nghiệm duy nhất
î
í
ì
=
=
0
1
y
x
0,25
ò
=
e
e
dx
x
x
dx
x
x
I
1
2
1
ln
ln
2
0,25
ò
ø
ö
ç
è
æ
-
=
e
e
x
xd
x
xd
1
1
1
ln ) (ln
ln
ò
+
-
=
e
x
dx e
x
x
e
x
1
2
2
1
ln
1
1
III
(1điểm)
e
e
x
e
2
2
1
1
1
+) Gọi AC Ç BD = I ,
( ABCD )
SI
SI SBD SAC
ABCD SBD
ABCD SAC
^
Þ
ï
î
ï
í
ì
=
Ç
^
^
) (
) (
Kẻ IH ^ CD ; có thêm SI ^ CD nên CD ^ ( SIH ) suy ra SH ^ CD
Góc giữa hai mặt (SCD) và (ABCD) bằng góc Ð SHI = 60 o
0,25
IV
(1điểm)
IAD
D vuông cân tại I, cạnh AD= 2a 2 suy ra IA=ID=2a
IBC
Trang 4IDC
ID
IC
2a
5
3
2
60 tan
IH
2
9
2
BD
AC
Thể tích
5
15
3
.
3
.
a
S
SI
V S ABCD = ABCD = (đvtt)
+) Gọi AB Ç CD = J
;
4
3
) (
,
) (
,
=
=
JA
JM
d
d
SCD
A
SCD
3
) ( ,
) ( ,
=
=
CI
CA
d
d
SCD
I
SCD
A
suy ra ( , ( ) ) ( , ( ) )
4
9 SCD
I SCD
Kẻ IK ^ SH ; lại có IK ^ CD (vì CD ^ ( SIH ) )
Suy ra IK ^ (SCD )
20
15
9
2
3
5
2
4
9
60 sin
4
9
4
9
4
9
) ( , )
(
,
a
a
IH
IK
d
0,25
Do a, b, c > 0 và a2+ b2+ c 2 = 1 nên a b c Î , , ( ) 0;1 . Ta có 5 3 ( 2 ) 2
1
1
a a
a a
-
0,25
Bất đẳng thức đã cho tương đương với: ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 2 3
3
0;1
0;1
2 3
ax
9
V
(2điểm)
( ) ( ) ( ) 2 3
3
1) (1 điểm)
2
3
= suy ra M ( ) 3 ; 5
Đường thẳng BC đi qua M và có véc tơ pháp tuyến IM ( ) 8 ; 4 nên phương trình BC: 2 x + y - 11 = 0
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính R=IA= 85
0,5
î
í
ì
=
- +
=
- + +
0
11
2
85
1
5 2 2
y
x
y
x
suy ra B(2;7), C(4;3) hay B(4;3), C(2;7)
0,5
2) (1 điểm)
Gọi phương trình mp(P): ax + by + cz + d = 0 ( 2 2 2 0 )
¹ +
+ b c
a
A, B thuộc mp(P) nên
î
í
ì
-
-
=
=
Û
î
í
ì
= + +
= + +
+
b
a
d
b
c
d
b
a
d
c
b
a
2
0
2
0
2
2
2
3
b
b
a
b
a
b
b
a
R
P
I
+ +
-
- + +
Û
=
Û
ê
ë
é
=
=
Û
=
-
Û
a
b
b
b
ab
2
0
0
2 2
0,25
VIa
(1điểm)
Với b=0, chọn a=1, Phương trình (P): x1=0
I
S
H
K
J M
Trang 5Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( x )( ) x ( ) x
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2 + 2 - + + + + = - (1)
Ta có ( 2 + 1 ) ( x 2 - 1 ) x = 1 " x
0,25
Đặt ( 2 + 1 ) x = t (t>0) ta có ( )
t
x 1
1
t
t
t 2 - 2 2 + 1 + 2 2 + 1 = 1 0,25
ê
ê
ê
ë
é
-
=
+
=
=
Û
= +
-
-
Û
=
- + +
+
-
Û
1
2
1
2
1
0
1
2
2
1
0
1
1
2
2
1
2
3
t
t
t
t
t
t
t
t
VIIa
(2điểm)
1) (1 điểm)
Xét hệ PT
4, 0
1
16 9
0, 3
x y
x y
ì
é + =
ï
ë
î
Gọi
16 9
( , )
5
ABC
3 4 24 (2)
3 4 0 (3)
é
ë
0,5
Từ (1) và (2) ta được PT 2 y02 - 12 y 0 + 27 = 0 , PT này vô nghiệm
2
2 2;
2
C = æ ç - ö ÷
2 2;
2
C = - æ ç ö ÷
0,25
2) (1 điểm).
Gọi AD là phân giác trong của tam giác ABC
AC
AB
DC
BD
=
Þ
=
Þ
=
14
3
14
0,25
( ) ( ) ( )
÷
ø
ö
ç
è
æ
Þ
ï
ï
í
ì
-
=
-
-
+
=
-
-
=
-
Þ
-
-
-
-
=
- +
-
2
3
3
3
9
1
3
7
1
3
3
9
;
7
;
3 ,
3
;
1
;
z
z
y
y
x
x
z
y
x
DC
z
y
x
BD
0,5
VIb
(1điểm)
Vậy độ dài đường phân giác
2
3
=
log log 5
x
= -
é
log log 5
5
VIIb
(1điểm)
* log2x=log3 ( x + 1 ) . Đặt log2 x= Þt x = 2 t . Ta có pt 2 1
+ = Ûç ÷ +ç ÷ =
è ø è ø
(*)
Xét hàm số ( )
t
t
t
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
3
1
3
2
t
t
"
<
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ
3
1
ln
3
1
3
2
ln
3
2 '
suy ra hàm f(t) nghịch biến trên R. Mà f(1)=1 nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất t = 1 từ đó khẳng định pt có nghiệm duy
nhất x = 2
KL: PT đã cho có tập nghiệm
þ
ý
î
í
5
1
S
0,5