Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300.. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng A1B1C1 thuộc đờng thẳng B1C1.. Tính kh
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012
Mụn thi : TOÁN
I.Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
2
1 2 +
+
=
x
x
y có đồ thị là (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Chứng minh đờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B
Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Câu II (2 điểm)
1.Giải phơng trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
2.Giải bất phơng trình log log 3 5(log 2 3)
4
2 2
2
Câu III (1 điểm) Tìm nguyên hàm =∫
x x
dx
cos sin
Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đờng thẳng B1C1 Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA1 và B1C1 theo a
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c≥0 và 2 2 2
3
a + + =b c Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
P
II.Phần riêng (3 điểm)
1.Theo chơng trình chuẩn
Câu VIa (2 điểm).
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1)2 + (y+2)2 = 9 và đ-ờng thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đđ-ờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình
+
=
=
+
=
t
z
t
y
t
x
3
1
2
1
Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là
lớn nhất
Câu VIIa (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn
luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ
2.Theo chơng trình nâng cao (3 điểm)
Câu VIb (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 và đờng thẳng
d có phơng trình x + y + m = 0 Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình
3
1 1
2
1= = −
x
Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P)
là lớn nhất
Câu VIIb (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt
hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ
Trang 2
đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM2012
Mụn thi : TOÁN
I.Phần dành cho tất cả các thí sính
I
(2
điểm)
1 (1,25 điểm)
a.TXĐ: D = R\{-2}
b.Chiều biến thiên
−
−
→ +∞
→
−∞
lim
; lim
; 2 lim lim
x x
x x
y y
y y
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là
y = 2
0,5
x
+
) 2 (
3
+Bảng biến thiên
x −∞ -2 +∞
y’ + +
+∞ 2
y
2 −∞
0,25
c.Đồ thị:
Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0;
2
1
) và cắt trục Ox tại điểm(
2
1
− ;0)
Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng
0,25
2 (0,75 điểm)
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đờng thẳng d là nghiệm của phơng
trình
=
− +
− +
−
≠
⇔ +
−
= +
+
) 1 ( 0 2 1 ) 4 (
2 2
1 2
x
x m x x
x
Do (1) có∆=m2 +1>0 va(−2)2 +(4−m).(−2)+1−2m=−3≠0∀m nên đờng
thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
0,25
Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2
0,5
II
(2
điểm)
1 (1 điểm)
Phơng trình đã cho tơng đơng với
6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0
0,5
(1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0
16−cossinx x+=2sin0 x−7=0(VN)
0,25
2 k
2 (1 điểm)
Trang 3ĐK:
≥
−
−
>
0 3 log
log
0
2 2
2
x
Bất phơng trình đã cho tơng đơng với
) 1 ( ) 3 (log 5 3 log
2
2
đặt t = log2x,
BPT (1) t2 −2t−3> 5(t−3)⇔ (t−3)(t+1) > 5(t−3)
0,5
<
<
−
≤
⇔
<
<
−
≤
⇔
−
>
− +
>
−
≤
⇔
4 log 3
1 log
4 3
1 )
3 ( 5 ) 3 )(
1 ( 3 1
2
2
x t
t t
t t t
<
<
≤
<
⇔
16 8
2
1 0
x
x
2
1
; 0
III
x x
dx x
x x
dx
cos 2 sin
8 cos cos sin
đặt tanx = t
dt t t t
t
dt I
t
t x x
dx dt
+
=
⇒
+
=
=
⇒
3
3 2
3 2
2 2
) 1 ( ) 1
2 ( 8
1
2 2 sin
; cos
0,5
C x x
x x
dt t t t t
dt t
t t t
+
− +
+
= +
+ +
=
+ + +
=
∫
∫
−
2 2
4 3
3 3
2 4 6
tan 2
1 tan
ln 3 tan 2
3 tan 4
1 )
3 3 (
1 3 3
0,5
Trang 4Câu
IV
1 điểm Do
) (A1B1C1
thiết thì góc ∠AA1Hbằng 300 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc
H
AA1
∠ =300
2
3
1
a H
thuộc B1C1 và
2
3
1
a H
1
1C B
AH ⊥ nên B1C1 ⊥(AA1H)
0,5
và B1C1
0,25
4
3
1
AA
AH H A
Câu V
3 2 2
3 2 2
3
1 1
c c c
b b b
a
+ + + + + + + +
2 4
1 1
2 1
2 2 4
2
2 2
b
a b
a
+
+ +
= +
2 4
1 1
2 1
2
2 2
2 2
c
b c
+
+ + +
2 4
1 1
2 1
2
2 2
2 2
a
c a
+
+ +
6 3
6 3
6
2 16
3 2 16
3 2 16
≥
0,5
0,5
Phần riêng.
1.Ban cơ bản
Câu
VIa
2
điểm
1.( 1 điểm)
Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2
0,5
A1
C
C
1
B1 K
H
Trang 5
=
−
=
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
7
5 6
1 2
3 2
1
m
m m
m
0,5
2 (1 điểm)
Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó
khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P)
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ≥HI=> HI lớn nhất khi
I
A≡
0,5
) 3 1
;
; 2 1
H d
) 3
; 1
; 2 ( ( 0
⇒
⊥d AH u u
) 5
; 1
; 7 ( )
4
; 1
; 3
7x + y -5z -77 = 0
0,5
Câu
VIIa
1
điểm
4 =
5 =
5
C 2 5
toán
0,5
4
C 2 5
2.Ban nâng cao.
Câu
VIa
2
điểm
1.( 1 điểm)
Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp
0,5
=
−
=
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
7
5 6
1 2
3 2
1
m
m m
m
0,5
2 (1 điểm)
Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P)
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ≥HI=> HI lớn nhất khi
I
A≡
0,5
) 3 1
;
; 2 1
H d
) 3
; 1
; 2 ( ( 0
⇒
⊥d AH u u
) 5
; 1
; 7 ( )
4
; 1
; 3
7x + y -5z -77 = 0
0,5
Câu
VIIa
1
điểm
5 =
5
C =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2
5
C 3 5
chọn
0,5
Mỗi bộ 5 số nh thế có 5! số đợc thành lập => có tất cả 2
5
C 3 5
5
1
Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán
0,5
