Tìm thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Trang 11) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai
điểm phân biệt khác M
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 2 os6x + 2cos4x 3 os2x = sin2x + 3 c c
2. Giải hệ phương trình:
x y + x + y = y
(x,y R)
x 4x y + 3x = y
ì
Î
í
ï
î
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân
/4
2
0
ln(sin cos )
cos
dx x
p
+
ò
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong đường tròn đường kính AD = 2a, SA ^ (ABCD), SA = a 6 , H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tìm thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AD và SC.
Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña biÓu thøc A=
( b + c ) +
a 3
1
( a + c ) +
b 3
1
( b a )
c 3 +
1
Câu VI (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(0, 2) và elip có phương trình
2
2
x
+ y =1
4 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt elip tại A, B sao cho 3MA - 5MB= 0 uuuv uuuv r
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (0, 0, 5), điểm B (5, 0, 2) và mặt phẳng (P) có phương trình z = 2. Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm B, D nằm trong
mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng D bằng 5.
Câu VII (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn z - - = 2 i 52 , tìm số phức z mà
4 2
z - + i là nhỏ nhất.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
TRƯỜNG THPT
CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A,B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
http://kinhhoa.violet.vn
Trang 2CHUYấN
NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA
NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ THI MễN: TOÁN KHỐI A, B
y = x 4 – 5x 2 + 4
+ TXĐ: R
+Giới hạn và tiệm cận: lim
x y
đ±Ơ = +Ơ
0,25
+ Sự biến thiờn: y’ = 4x 3 - 10x = 0 Û x = 0 hoặc x = 5
2
±
Hàm số nghịch biến trờn: (-Ơ; 5
2
- ) và (0; 5
2 )
Hàm số đồng biến trờn: ( 5
2 ; +Ơ )và (
5
2
- ,0)
Cỏc điểm dực trị xCĐ = 0, yCĐ = 4; 5
2
x CT1 = - , yCT1 = 9
4
- ; 5
2
x CT2 = , yCT2 = 9
4
- ;
0,25
0,25
Iư1
(1điểm)
Đồ thị:
8
6
4
2
2
4
6
8
y
x
O
0,25
Iư2
(1điểm)
Lấy M(m ; m 4 – 5m 2 + 4) ẻ (C)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M : y = (4m 3 – 10m)(x – m) + m 4 – 5m 2 + 4
(d)
0,25
4
5
2
-
0
5
2
9
4
4
-
+∞
+∞
y’
Trang 3Hoành độ của (d) & (C) là nghiệm phương trình:
x 4 – 5x 2 + 4 = (4m 3 – 10m)(x – m) + m 4 – 5m 2 + 4
Û (x – m) 2 (x 2 + 2mx + 3m 2 – 5) = 0 (1)
0,25 Cần tìm m để x 2 + 2mx + 3m 2 – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác m
Điều kiện là
ợ
ớ
ỡ
ạ
-
>
-
0
5
6
0
2
5
2
2
m
Các điểm M(m ;m 4 5m 2 + 4) ẻ(C) với hoành độ 10 10 30
m ẻ -ổỗ ử ỡữ ớù± ỹ ù ý
0,25
2 os6x+2cos4xư 3 os2x = sin2x+ 3 c c Û 4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos 2 x 0,25
os x=0
2cos5x =sinx+ 3 cos
c
x
ộ
Û ờ
cos 0
os5x=cos(xư )
6
x
=
ộ
ờ
Û
ờ
ở
0,25 IIư1
(1
điểm)
2
24 2
36 3
k
x
k x
p
p
ộ
= +
ờ
ờ
ờ
ờ
ờ
ờ = +
ờ
0,25
Hệ tương đương
2
(1 2 ) 0 (1) ( ) 3 (1 2 ) 0 (2)
ù
ớ
ù
0
1 (1 2 ) 3 (1 2 ) 0 2 (1 2 )(2 ) 0
2
2
x
y
=
ộ
ờ
ờ
ờ
ờ =
ở
0,25
Với x = 0 suy ra y = 0
Với 1ư2y = 0 thay vào (1) suy ra 2 1
2
IIư2
(1
điểm)
Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2
Đặt u = ln(sinx+ cos ) x ị du = cos sin
sin cos
dx
- +
+
0,5
Ta cú : I =
/ 4 / 4
0
0
cos sin (tan 1) ln(sin cos )
cos
x
p
III
(1
điểm)
0
3
4 2
Trang 42
.
7
7
=
+
HSDC
E
H K
0,25
K là hỡnh chiếu của B trờn AD ta cú: BK.AD = AB.BD suy ra
2
.
AD
3
V
14
HSDC
a
Do AD//(SBC) nờn d(AD SC , ) = d(AD SBC,( ) ) = d ( ,A SBC ( ) )
IV
(1
điểm)
Đặt d ( ,A SBC ( ) ) = h ta cú 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 9 2
Suy ra d (AD SC , ) = h = 6
3
Đặt x =
c
z
b
y
a
1 ,
1 ,
1
=
= Do abc = 1 ị xyz = 1 Khi đó:
= +
+ +
+ +
=
x
y
z
z
x
y
z
y
x
A
1
1
1
1
1
1
3
3
y+z+ z+x+x+y= y+z+ z+x+ x+ y (*) 0,25
Áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng- trung bình nhân cho các số dương ta có:
2
4
x
+
2
4
y
+
2
4
z
+
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có :
2
+ +
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z.
0,25
V
(1 điểm)
A=
2
3
2
3
2
3
2
2
2
=
³ + +
³ +
+ +
+
z
y
x
y
x
z
x
z
y
z
y
x
Giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA bằng 3
2 đạt khi a = b = c = 1
0,25
VIư 1
(1 điểm)
Đường thẳng d qua M(0,2) cú phương trỡnh ( 2 2 0)
2
=
ỡ
+ ạ
ớ
= +
ợ
Để d cắt elip ở 2 điểm phõn biệt điều kiện là phương trỡnh
0,25
Trang 5( ) 2
2
÷
÷
ç
Điều kiện là:
2
2
2
2
0
4
3
0
4
m
n
m
n
ì
ï
ï
ï
ï D = - >
ï
ï Xét A( mt1, 2 + nt 1 ) , B( mt2, 2 + nt 2 ) , MA mt ntuuur( 1, 1) , MB mt nt uuur ( 2, 2 )
MAuuur- MBuuur = Û t = t
0,25
Theo định lí Vi et có
2
2
4
4
3
4
n
m
n
t t
m
n
ï + =
ï
ï
í
ï
ï
ï
Cho m = 1 suy ra n = 1 hoặc n = 1
Phương trình d là
2
ì
ï =
ï
ï = +
ï
î
hoặc
2
ì
ï =
ï
ï = -
ï
î
0,25
Gọi H là hình chiếu của A trên D thì H thuộc (P) và mặt cầu tâm A bán kính 5 nên
0,25
Gọi A’ là hình chiếu của A trên D thì A’(0, 0, 2). Ta có:
( 5, , 0) ' ( , , 0)
BH x uuur - y ^ A H x y uuuur nên có HB HA uuur uuur ' = 0 Û x2 - 5 x + y 2 = 0 (2) 0,25
Từ (1), (2) tìm được
16
5
12
5
x
y
ì
ï =
ï
ï
ï
ï =
ï
ï
hoặc
16
5
12
5
x
y
ì
ï =
ï
í
ï =
ï
ï
î
0,25 VI2
(1 điểm)
Với H ( 16
5 ,
12
5 , 2) suy ra
5 3
2
y t
z
ì
ï = -
ï
ï
D í =
ï
ï =
ï
î
Với H ( 16
5 ,
12
5 , 2) suy ra
5 3
2
y t
z
ì
ï = +
ï
ï
D í =
ï
ï =
ï
î
0,25
Gọi z = x + iy khi đó M(x,y) biểu diễn z
M nằm trên đường tròn (C) tâm I(2,1) bán kính R = 52
0,25 VII.
(1 điểm)
A(4, 2) biểu diễn 4 – 2i. Ta có AM = z - + 4 2 i
Ta cần tìm M thuộc (C ) để AM nhỏ nhất
0,25
Trang 64 2
2 3
ì
ï = -
ï
í
ï = - +
ï
Thay vào phương trình (C ): 2 2
3
1
t
t
ì
ï =
ï
ï
0,25
t = 1 suy ra M1 (6, 5) và AM = 13 ; t = 3 suy ra M2 (2, 7) và AM = 3 13