BỘ ĐỀ TOÁN THI THỬ ĐẠI HỌC 2014

Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn C B, C là hai tiếp điểm saocho tam giác ABC vuông... Tìm m để trên đường thẳng d

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

*** ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2014

dx x

π

∫

Câu IV (1 điểm):

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, các mặt bên là

các tam giác cân tại đỉnh S Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính cụsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)

Câu V: (1 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa măn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương tŕnh Chuẩn

Câu VI.a (1 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng ∆ : 2x + 3y + 4 = 0 TTm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhaugúc 450

Câu VII.a (1 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1)

Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng Viết phương tŕnh mặt phẳng đó.

Câu VIII.a (1 điểm)

(24 1) (24 +1) +log (24 +1) =log x+

Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (1 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thỏa mãnṛ ( ) :C x2+y2 =1, đường thẳng( ) :d x y m+ + =0 TTìm m để ( ) C cắt ( ) d tại A và B sao cho diện tích tam giác

ABO lớn nhất

Câu VII.b (1 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng:

1

+

y

= 3

Câu 2: 1, *Biến đổi phương trình đó cho tương đương với

(1;0) và (-2;-3) *Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0)

Câu 3: *Đặt t=cosx Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 thỡ t=1 ,

1 1

*Gọi H là trung điểm BC , chứng minh SH ⊥(ABC)

*Xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) , (SAC) với mặt đáy là

tan

33

10

a AH

Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương

*áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được

Câu 7a: *(d) đi qua M1(0; 1;0)− và có vtcp uuur1 = − −(1; 2; 3)

(d’) đi qua M2(0;1; 4) và có vtcp uuur2 =(1; 2;5)

*Ta có u uuur uur1; 2 = − − ( 4; 8; 4)≠Our , M Muuuuuuur1 2 =(0; 2; 4) Xét

*TH2 : xét x≠1 , biến đổi phương trình tương đương với

1 2log (241 1) 2 log (242 1) log (241 1)

Câu 6b:*(C) có tâm O(0;0) , bán kính R=1 *(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt( ; ) 1

Từ đó diện tích tam giác AOB lớn nhất khi và chỉ khi AOB =900 ( ; ) 1

giải được x>log 739

Vì x>log 739 >1 nên bpt đó cho tương đương với log (93 x−72)≤x ⇔9x−72 3≤ x

3 8

x x

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

*** ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2014

Đề chính thức

Môn thi : Toán , khối MÃ A-A1-B-D 102 Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian giao đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7 điểm )

Câu I ( 2,0điểm) Cho hàm số y = x3− (m + 1)x + 5 − m2

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2;

2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực

đại, cực tiểu và điểm I(0 ; 4) thẳng hàng

Câu II:(2.0điểm) 1, Giải phương trình: ( 3 )

24cos2sin2cossin

theo a

PHẦN RIÊNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRINH ( 3 điểm )

A/ Phần đề bài theo chương trinh chuẩn

Câu VI.a: (2.0điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 +

(y+2)2 = 9

và đường thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A

mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) saocho tam giác ABC vuông

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương

t

y

t x

31

21

Lập phương trình mp (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất

Câu VII.a: (1.0điểm)

Cho đẳng thức:Cn 12n 1+ Cn 22n 1+ Cn 32n 1+ C2n 12n 1- C2n2n 1 28 1

Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển ( 3 4)n

1 x- +x - x

B/ Phần đề bài theo chương trình nâng cao Câu VI.b: (2 0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 + (y+2)2 = 9 và đường thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình     + = = + = t z t y t x 3 1 2 1 Lập phương trình mp(P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất Câu VII.b: (1.0 điểm) Giải bất phương trình: 3 2 4 ) 3 2 ( ) 3 2 ( 2 2 1 2 2 1 − ≤ − + + x − x+ x − x−

HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN ĐÊ 102 Câu 1 : 1, Cho hàm số y = x3− (m + 1)x + 5 − m2 Khảo sát hàm số khi m = 2; Hàm số trở thành: y = x3− 3x + 1 1* TXĐ: D = R 2* Sự biến thiên của hàm số: * Giới hạn tại vô cực: lim ( ) x f x →−∞ = −∞ : ( ) =+∞ +∞ → f x xlim

* Bảng biến thiên: Có y’ = 3x2− 3 , ' 0y = ⇔ = ±x 1 x -∞ -1 1 +∞

y’ + 0 - 0 +

y 3 +∞

-∞ - 1

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;−1) và (1;+∞), Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−1;1)

Hàm số đạt đạt cực đại tại x= −1;y CD =3, cực tiểu tại x=1;y CT = −1,

3* Đồ thị: * Điểm uốn: '' 6y = x, các điểm uốn là: U( )0;1 * Giao điểm với trục Oy tại: U( )0;1

* Đồ thị:

Câu 1: 2: Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các

điểm cực đại, cực tiểu và điểm I(0 ; 4) thẳng hàng Có y’ = 3x2 − (m + 1) Hàm số có

CĐ, CT ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt: ⇔ 3(m + 1) > 0 ⇔ m > −1 (*)

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là

Chứng minh pt (*) có nghiệm duy nhất t = 3

Vậy phương trình có nghiệm x = 343

24cos2sin2cossin

2sin

)1(2

4cos2sin2cossin

xcosxsin2

=

−+

⇔

2

xcos2

xsin2.2

xcos2

xsinxsin01xsin2

xcos2

xsin

xsin212

xsin

ππ

1 3

-1 -2

y

O

t t

11

2( 1) 2 ( 1)

12

t

dt dt

Câu 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh

bên và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc

đường thẳng B1C1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a

Do AH ⊥(A1B1C1) nên góc ·AA H là góc giữa AA1 1 và (A1B1C1), theo giả thiết thì góc

vuông góc với B1C1 Mặt khác AH ⊥B1C1 nên B1C1 ⊥(AA1H)

A1 111111111

C

C1

B1K

H

Kẻ đường cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1

Ta có AA1.HK = A1H.AH

4

3

1

AA

AH H A

và đường thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A

mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) saocho tam giác ABC vuông Từ pt ct của đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ được

2 tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn và AB⊥ AC=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnhbằng 3⇒IA=3 2

72

m m

t y

t x

31

21 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d

và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P)

đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P)

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ≥ HI=> HI lớn nhất khi A≡I

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến.

)31

;

;21

;1

;2((0

;1

;7()

Ta có hệ số của x10 là: 1 3 4 2

4 4 4 4

Câu 6b: 1, Giống chương trình chuẩn

Câu 7b: Giải bất phương trình:

3 2

4 )

3 2 ( )

3 2

−

≤

− + + x − x+ x − x−

2 2

≤

−++

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

*** ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2014

Đề chính thức

Môn thi : Toán , khối MÃ A-A1-B-D 103 Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian giao đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y=x3−3x2 +4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với

=+++

y y

x x

y y x y x

)2)(

1(

4)(1

2 2

(x, y ∈R )

2 Giải phương trình: 8

13

tan6tan

3coscos3sin

Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình

chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có

diện tích bằng

8

3

2

a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức

32

13

2

13

2

1

2 2 2

2 2

=

a c c

b b

a P

PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2)

Phần 1 Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P): y=x2 −2x và elip

đường tròn Viết phương trình đường tròn đi qua 4 điểm đó

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình

011642

2 3

2 2

2

2

1 2

3 1

2

0

+

= + + + +

n

C n C

C

n n n

n

n  (C là số tổ hợp chập k của n phần tử) n k

Phần 2 Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0, d2: x + 2y - 7= 0 và tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 vàđiểm

C thuộc d2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0 Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 +MB2 +MC2

Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình

y x e

x e

e

y x

y x y x

(x, y ∈R )

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ 103

Câu 1: 1, Khảo sát hàm số y=x3 −3x2+4

2 3 x x

b) Bảng biến thiên: y' = 3x2 - 6x, y' = 0 ⇔x = 0, x = 2

Bảng biến thiên:

x -∞ 0 2 +∞

y' + 0 - 0 +y

4 +∞

-∞ 0

- Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2)

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 4, đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = 0

3 Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung tại (0; 4), giao với trục hoành tại (-1; 0),(2; 0) Nhận

điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng

Câu1 : 2,Tìm m để hai tiếp tuyến vuông góc

3x0)mx)(

3x(4)3x(m4

Câu 2: 1, Giải hệ phương trình đại số

Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ

xy

4

2

1

Hệ phương trình tương đương với

=

−+++

1)2yx(y

1x

22yxy

1x

2

−+

2vu

=+

12yx

1y

1

x2

Giải hệ trên ta được nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (-2; 5)

Câu 2: 2,Giải phương trình lương giác

3xcos6xcos3xsin6x

xtan6x

1xcos2

1)xcosx2cosx

x

(lo¹i) k

=

2/xv

dx1xx

1x2duxdx

dv

)1xxln(

u

2 2 2

2

2 0 0

++

−

−

0 2 1

0 2 1

dx4

3dx1xx

1x24

1dx)1x(

1 0

4

33ln4

3I4

3)1xxln(

4

1xx

1

2

32

1x

dxI

2

,2ttan2

321x

Suy ra

9

3t

3

32ttan1

dt)ttan1(3

32

I

3 /

6 /

3 /

6 / 2

2 1

π

=

=+

3

Câu 4: Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AA’, Khi

đó (P) ≡ (BCH) Do góc ·A' AM nhọn nên H nằm giữa AA’ Thiết diện của lăng trụ cắt

bởi (P) là tam giác BCH Do tam giác ABC đều cạnh a nên

3

3aAM3

2AO

3aBC.HM2

18

3a

4

a316

a34

a3HM

AM

AH

2 2 2

O'

suy ra

3

aa3

44

3a3

3aAH

HM.AOO

3a3

a2

1BC.AM.O'A2

1S

.O'AV

12

121bba

13

ba

1

2 2 2 2

Tương tự

1aca

12

13a2c

1,1cbc

12

13c2b

1

2 2 2

2

1 b ab 1

b ab

1 b

ab 1

b ab

1 2

1 1 a ca

1 1 c bc

1 1 b

+ + +

+ + +

= + +

+ + +

+ + +

Câu 6a: 1,Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của(E) và (P)

Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phương trình

09x37x36x91)x

f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt, do đó (E)

cắt (P) tại 4 điểm phân biệt Toạ độ các giao điểm của (E) và (P) thỏa mãn hệ

A’

H

y

x

yx16

8

9

161 Do đó 4giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đường tròn có phương trình (**)

Câu 6a: 2,Viết phương trình mặt phẳng (β)

D3)2(21

2

2 2

2 n

1 n

0 n 2

0

ndx C C x C x C x dx)

x1(

2

0

1 n n n 3

2 n 2 1 n

0

1n

1x

C3

1xC

+

n n

1 n 2

n

3 1 n

2

0

1n

2C

3

2C

+

Mặt khác

1n

13)

x1(1n

1I

1 n 2 0 1 n

+

−

=+

n

3 1 n

2 0

1n

2C

3

2C2

2C2

++++

+

1n

65601

k 7

k 7 k 7 7

2

1x

2

1x

Cx

2

1x

−

−

=

−++

0.3n5m3

2.3n7m2

1m2nm

3nm

Suy ra B = (-1; -4), C= (5; 1)

Giả sử đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình

0cby2ax

2

y

+

=+

−

−

+

=++

+

+

27/338c

18/17b

54/83a0cb2a

10

1

25

0cba

2

16

1

0cba

17x27

83y

MA

2 2 2 2 2

2 2

191

11

333/83/7))P(,G(d

++

1049

329

56GCGB

Vậy F nhỏ nhất bằng

9

5533

643

3

19.3

2

=+







Câu 7b: Giải hệ phương trình mũ

+

−

1yxe

1yxe1

y

x

e

)1x(2e

e

y x

y x

)1(1

ue1ve

1ue

v u

v

u v

- Nếu u > v thì (2) có vế trái dương, vế phải âm nên (2) vô nghiệm

- Tương tự nếu u < v thì (2) vô nghiệm, nên (2) ⇔u=v

Thế vào (1) ta có eu = u+1 (3) Xét f(u) = eu - u- 1 , f'(u) = eu - 1

Bảng biến thiên:

u - ∞ 0 +∞

f'(u) - 0 +f(u)

0Theo bảng biến thiên ta có f(u) = 0 ⇔u=0

⇒

=

⇒

0y

0x0yx

0yx0vVậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (0; 0)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2014

Môn thi : Toán , khối MÃ A-A1-B-D 104 Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian giao đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y=x3−3x2 +4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với

=+++

y y

x x

y y x y x

)2)(

1(

4)(1

tan6tan

3coscos3sin

Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình

chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có

diện tích bằng

8

3

2

a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức

32

13

2

13

2

1

2 2 2

2 2

=

a c c

b b

a

P

PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2)

Phần 1 Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P): y=x2 −2x và elip

đường tròn Viết phương trình đường tròn đi qua 4 điểm đó

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình

011642

2 3

2 2

2

2

1 2

3 1

2

0

+

= + + + +

n

C n C

C

n n n

n

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

Phần 2 Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0, d2: x + 2y - 7= 0 và tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 vàđiểm

C thuộc d2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0 Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 +MB2 +MC2

Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình

y x e

x e

e

y x

y x y x

2 3 x x

b) Bảng biến thiên: y' = 3x2 - 6x, y' = 0 ⇔x = 0, x = 2

Bảng biến thiên:

x -∞ 0 2 +∞

y' + 0 - 0 +y

4 +∞

-∞ 0

- Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2)

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 4, đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = 0

3 Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung tại (0; 4), giao với trục hoành tại (-1; 0),(2; 0) Nhận

điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng

Câu1 : 2,Tìm m để hai tiếp tuyến vuông góc

3x0)mx)(

3x(4)3x(m4

Câu 2: 1, Giải hệ phương trình đại số

Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ

Hệ phương trình tương đương với

=

−+++

1)2yx(y

1x

22yxy

1x

1uv

2vu

=+

12yx

1y

1

x2

Giải hệ trên ta được nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (-2; 5)

Câu 2: 2,Giải phương trình lương giác

3xcos6xcos3xsin6x

4

2

1