đề thi thử đại học môn toán năm 2015 đề số 158

Tính xác suất để 2 số được lấy có ít nhất một số chẵn.. Cho hình chóp A.BCD có hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng BCD trùng với trung điểm H của đoạn BC.. Góc giữa hai mặt phẳng

Trường THPT Trần Quốc Tuấn

Tổ Toán

Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015

Môn Toán

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số yx42x22mm2 (1) , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài

bằng nhau

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình

3 1 sin cos x x 31 cos xsinxcosx 1

2 log x log (x2)log (2x3)

Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân

2

sin 1

x









 

Câu 4 (1,0 điểm)

a) Tìm z   thỏa mãn điều kiện 2 2 2

b) Cho tập A gồm các số có 4 chữ số đôi một phân biệt được thành lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 Lấy ngẫu nhiên 2 số từ tập A Tính xác suất để 2 số được lấy có ít nhất một số chẵn

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A( 1; 2; 3), ( 3; 2;1)  B  và mặt phẳng ( ) :P xy  z 2 0 Tìm điểm M( )P sao cho 2 2

MA MB bé nhất

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp A.BCD có hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD) trùng với trung điểm H của đoạn BC Tam giác BCD vuông tại D và có BC2 ,a BDa Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là 600 Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A( 4;5), H( 3;3), (0; 0) O lần lượt là đỉnh, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ hai đỉnh B và C

Câu 8 (1 điểm). Giải bất phương trình 2 2 2

x   x  x  x  x

Câu 9 (1 điểm).

Cho x y z, , 0 :x  y z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức

Pxyz xy yzzx

HẾT

Đáp án (Có chỉnh sửa) Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2015

yx  x  mm (1) , với m là tham số thực

Khi m  thì 1 4 2

yx  x  , MXĐ:D   ,lim

3

y  x  x y  x x  suy ra các khoảng đơn điệu và cực trị 0.5

1.b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, tạo thành 3 đoạn thẳng

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt   t2 2t 2mm20

2

 





  

 có hai nghiệm phân biệt dương

(0; 2) 1

m m

 



  

0.25

Nếu m    thì 4 điểm đó là 1 m 2 m

x   m x   m x  m x  m 4 điểm tạo thành 3 đoạn thẳng bằng

3 2

5

x    x x x x  x m    m m

0.25

Tương tự cho trường hợp 0  ta có m 1 1

5

ĐS: 1 9;

5 5

m  

  

3 1 sin cos x x 31 cos xsinxcosx1 0.5

PT(sinxcos ) sinx  x 3 cosx  1 0 0.25 Giải được từng phương trình sinxcosx0 và sinx 3 cosx 1 0.25

2

log x log (x2)log (2x3)

0.5

Điều kiện 3

, 0 2

2

x

x x

2

2

2

x

x

3

Tính tích phân

2

sin 1

x









 

2 2

sin

1 sin sin 1

x

 

Thấy được x2 1sinxdx 0







f x  x  x x   là hàm số lẻ 0.25

Tính được xsinxdx 2











4.a

PT (2iz)(2i) ( z 2 )(1 2 )i  i 2 0.25

Gọi za bi a b ( , )z a bi Thay vào giải được 3 ( )

2

a

za  i a  0.25

4.b Cho tập A gồm các số có 4 chữ số đôi một phân biệt được thành lập từ các chữ số

0,1,2,3,4,5 Lấy ngẫu nhiên 2 số từ tập A Tính xác suất để 2 số được lấy có ít nhất một

số chẵn

0.5

Số các số có 4 chữ số đôi một phân biệt là 5.5.4.3=300 (Số)

Số phần từ không gian mẫu là C3002

Số các số lẻ (trong 300 số đó) là 3.3.4.4=144(số), số chẵn: 300-144=156(số)

0.25

Xác suất để lấy được 1 số chẵn, 1 số lẻ là

1 1

144 156

300

288 575

C C p

C

Xác suất để lấy được 2 số chẵn, là

2 156

300

31 115

C p C

Xác suất cần tìm là 1 2 443

575

0.25

5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A( 1; 2; 3), ( 3; 2;1)  B  và mặt phẳng

( ) :P xy  z 2 0 Tìm điểm M( )P sao cho 2 2

Gọi I là trung điểm đoạn ABI( 2; 2; 1)  Theo định lý đường trung tuyến, ta có

2

2

2

AB

Suy ra MA2MB2bé nhất khi và chỉ khi MI bé nhất Mà MI bé nhất khi M là hình

Đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) có phương trình

2 2 1

  





 



   



Tìm được giao điểm điểm M d( )P là M ( 3;1; 0) 0.25

6 Cho hình chóp A.BCD có hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD) trùng

với trung điểm H của đoạn BC Tam giác BCD vuông tại D và có BC2 ,a BDa

Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là 600 Tính thể tích của tứ diện ABCD và

khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC

1.0

Gọi M là trung điểm CD Chứng minh

(ACD), (BCD) AMH60 0.25

Từ đó tính được 3

2

a

AH  Ta cũng dễ

tính được diện tích tam giác BCD là 2

3 2

a

S  nên

3 4

ABCD

a

0.25

Dựng hình bình hành BDCE, K là hình chiếu vuông góc của H trên CE, I là hình chiếu vuông góc của H trên AK Thế thì ( , ) ( , ( )) ( , ( ))

0.25

6

2 ( , ( )) 2

2

a

7 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A( 4;5), H( 3;3), (0; 0) O lần lượt là đỉnh,

trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ hai đỉnh B và C 1.0

Gọi M là trung điểm BC thì ta có 2 1; 1

2

AH  OM M  



 

 

Đường thẳng BC qua M và nhận AH (1; 2) làm VTPT nên có PT: 2 5 0

2

x y  0.25

Ngoài ra B, C nằm trên đường tròn tâm O, bán kính ROA 41 nên tọa độ B, C là

nghiệm của hệ

41 5

2

  



   

0.25





BPT : a2b3 2b2 a10a24ab14b2 0(a b )(10a14 )b 0a b 0.25

Với a , ta có b x2 1 x22x3x  1 0.25

Vậy tập nghiệm của BPT là S    ; 1 0.25

60

K

M H

A

I

9 Cho x y z, , 0 :x  y z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức

(1 ) ( 2)



         do 0  x 1

0.25

Xét hàm số ( ) (1 ) (2 2) (1 ),  0;1

4

, khảo sát hàm số

 

( ), 0;1

y f x x , ta có ( )  0 1,  0;1

2

f x  f    x

0.25

Vậy 1

2

2

x y z thì 1

2

2

Ta có Pxyz(xy2yzzx)yz(xy2yzzx) (xyyzzx)0

Khi x1,y   z 0 P 0 Vậy maxP  0 0.25

HẾT