a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. b Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.. Tìm xác suất để số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lấy ra từ các số trên thảo mãn: Chữ
Trang 1SỞ GD&ĐT BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN THPT
ĐỀ SỐ 1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x3 6x2 9x 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Tìm m để phương trình x(x 3) 2 m có 3 nghiệm phân biệt
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình: (sinx cosx) 2 1 cosx
b) Giải bất phương trình: log x log (x 1)0,2 0,2 log (x 2)0,2
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân:
1
0
6x+7
3x 2
Câu 4 (1,0 điểm)
a) Cho z , 1 z là các nghiệm phức của phương trình 2 2z24z Tính giá trị của biểu 11 0
thức A =
2
z z
b) Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau Tìm xác suất để số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau lấy ra từ các số trên thảo mãn: Chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có
phương trình
3
1 1
2
x Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng
cách từ d tới (P) là lớn nhất
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác
ABC đều cạnh bằng 4a; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và BC Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN)
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6), phương trình
đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là 2x y130 và 6x y13 290 Viết phương
trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
2
(x, y R)
Câu 9 (1,0 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x (y z)2 y (z x) z (x y)2 2
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……….; Số báo danh:………
Trang 2SỞ GD&ĐT BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN THPT
ĐÁP ÁN ĐỀ 1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
a) 1yx36x29x
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên
Chiều biến thiên: y'3x212x93(x24x3)
Ta có
1
3 0
'
x
x
y , y'01 x3
0,25
Do đó:
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (,1) và (3,)
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng(1,3) 0,25
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x1 và y CD y(1)3; đạt cực tiểu tại x3 và
1 ) 3 (
y
Giới hạn:
x
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
1a
(1,25)
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm )(0, 1
-1
1 2 3
x y
O
0,25
Ta có: x(x 3) 2 m x3 6x2 9x 1 m 1 0,25
Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m – 1 cắt (C) tại 3
1b
(0,75)
2a
(0,5) Ta có: (s inx cosx) 2 1 cosx 1 2 sin xcosx 1 cosx
x y’
y
3
-1
3
Trang 3
cosx 0
1
s inx=
2
2
6 5
6
0,25
Điều kiện: x 0 (*)
log (x x) log (x 2) 0,25
2b
(0,5)
x2 x x 2 x 2 (vì x > 0)
Vậy bất phương trình có nghiệm x 2
0,25
1
0
6x+7
3x 2
1
0
(6x+4)+3
dx
1
0
3
1 1
3
1 1
1
3
(1,0)
2 ln 5
0,25
0,25
4a
(0,5) Giải pt đã cho ta được các nghiệm: 1 2
z i z i
Suy ra
2 2
Đo đó
2
11
4
z z
Các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau: a a a a a1 2 3 4 5 trong đó ai aj với i j
a1 0 Có 9 cách chọn a1
Mỗi cách chọn a1 có 9 cách chọn a2
Mỗi cách chọn a1, a2 có 8 cách chọn a3
Mỗi cách chọn a1, a2, a3 có 7 cách chọn a4
Mỗi cách chọn a1, a2, a3, a4 có 6 cách chọn a5
9.9.8.7.6
0,25
0,25
4b
(0,5)
Xét biến cố A: “ Số có năm chữ số lấy ra thoả mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số
đứng trước” Vì chữ số 0 không thể đứng trước bất kỳ số nào nên xét tập hợp:
X= 1;2;3;4;5;6;7;8;9 Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách sắp
0,25
Trang 4xếp theo thứ tự tăng dần A C95
( )
27216 216
P A
5
(1,0)
Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa
d và (P) là khoảng cách từ H đến (P)
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH HI=> HI lớn nhất khi AI
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến
) 3 1
;
; 2 1 ( t t t H
d
H vì H là hình chiếu của A trên d nên
) 3
; 1
; 2 ( ( 0
d AH u u
) 5
; 1
; 7 ( )
4
; 1
; 3
H AH Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0
7x + y -5z -77 = 0
0,5
0,5
*) Ta có:
2 2 2a 3
AN AB BN
Diện tích tam giác ABC là:
2 1
4a 3 2
ABC
S BC AN
0,25
Thể tích hình chóp S.ABC là:
2
4a 3.8a
S ABC ABC
V S SA
3 32a 3 3
(đvtt)
0,25
*) Ta có:
.
.
1
4
B AMN
S ABC
V BA BS BC
3
B AMN S ABC
0,25
6
(1,0)
2
2
AM SB
Gọi H là trung điểm AN thì MH AN, MH AM2AH2 a 17
2a 3.a 17 a 51
AMN
Vậy khoảng cách từ B đến (AMN) là:
3
2
( , ( ))
17
a 51 17
B AMN AMN
V
d B AMN
S
0,25
S
A
B
N
C M
H
Trang 5- Gọi đường cao và trung tuyến kẻ từ C là CH và CM
Khi đó
CH có phương trình 2x y130,
CM có phương trình 6x y13 290
0 29 13 6
0 13 2
C y
x
y x
-ABCHn AB u CH (1,2)
pt AB:x2y160
0,25
0 29 13 6
0 16 2
M y
x
y x
)
4
; 8 (
B
- Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC:x2y2mxny p0
Vì A, B, C thuộc đường tròn nên
0 7
50
0 4
8 80
0 6
4 52
p n m
p n m
p n m
72 6 4
p n
m
7
(1,0)
Suy ra pt đường tròn: x2y24x6y720 hay (x2)2(y3)2 85 0,25
Giải hệ:
2
2
x y x y 3 (x y) 2 x y (1)
(x, y R)
Điều kiện: 0
0
x y
x y
(*) Đặt t x y 0, từ (1) ta có: t t 3 t2 2 t
0,25
t t2 t 3 2 t 0
3(1 t)
t 3 2 t
3
t 3 2 t
3
0,25
Suy ra x y 1 y 1 x (3)
Thay (3) vào (2) ta có: 2
( x2 3 2) ( 2x 1 1) 0
2
2
0 2x 1 1
2x 1 1
x 1 (Vì
2
0, x
2 2x 1 1
0,25
8
(1,0)
Suy ra (x = 1; y = 0), thoả mãn (*)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x = 1; y = 0) 0,25
M(6; 5) A(4; 6)
C(-7; -1)
B(8; 4)
H
Trang 6Ta có : P x2 x2 y2 y2 z2 z2
(*) Nhận thấy : x2 + y2 – xy xy x, y R
Do đó : x3 + y3 xy(x + y) x, y > 0 hay x2 y2 x y
y x x, y > 0
0,25
Tương tự, ta có : y2 z2 y z
z y y, z > 0
2 2
z x
x z x, z > 0
0,25
Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P 2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 0,25
9
(1,0)
Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1
3 Vì vậy, minP = 2 0,25
Chú ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa
