Lý thuyết ôn thi môn toán THPT

Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô... Huy - Lập bảng biến thiên xét dấu y/, suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số.. + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hìn

Trang 1

Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô Huy

GIẢI TÍCH 12 I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản :

v

v u v

v

uv v u v

.

v

v k v

2

/

1 1

bc ad d

cx

b ax

+

k

u k

(Đạo hàm của hàm số

hợp )

3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp ( u=u( )x )

=

(cosx)/ = − sinx (cosu)/ = −u/ sinu

x

2 /

tan 1 cos

cot 1 sin

1

a u

u u

a

ln

4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số :

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba : y =ax3 +ax2 +cx+d (a≠ 0)

- TXĐ :D=R

- Tính đạo hàm y/; giải phương trình y/ = 0 tìm x⇒ y

- Tính giới hạn :nếu a > 0 lim

→ −∞ = +∞ ,

Trang 2

- Lập bảng biến thiên ( xét dấu y/), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số

- Đồ thị :

+ Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu

+ Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị Đồ thị của hàm số có một tâm đối xứng

- Tính đạo hàm y/; giải phương trình y/ = 0 tìm x⇒ y

- Tính giới hạn : nếu a> 0 limx→+∞y= +∞ ; limx→−∞y= +∞ ; nếu a< 0 limx→+∞y= −∞ ; limx→−∞y= −∞

Trang 3

- Lập bảng biến thiên (xét dấu y/), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số

- Đồ thị :

+ Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu

+ Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị Đồ thị của hàm số đối xứng qua trụcOy

b ax y

D \

c

d x

y/ > 0 ; ∀ ≠ − , nếu ad−bc> 0

- Tính đạo hàm ( )2

/

d cx

bc ad y

y/ < 0 ; ∀ ≠ − , nếu ad −bc< 0

- Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận : lim

x

a y c

→+∞ = ; lim

x

a y c

c

d x

y/ > 0 ; ∀ ≠ − thì −=+∞

−

→

c d x y

lim

Nếu

c

d x

c

⇒ = − là tiệm cận đứng

O

Trang 4

Nếu

c

d x

c

d x

- Cho điểm đặc biệt :

+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu có): Cho

d

b y

Trang 5

+ Đồ thị gồm hai nhánh đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm

b ax y

+

= , (a≠ 0 ,ad −bc≠ 0)

5) Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số :

a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình cho trước g(x,m) = 0 ( )1

y =

Trang 6

+ Đưa phương trình( )1 về dạng : f( )x = Am+B, trong đó y= f( )x là đồ thị ( )C đã vẽ và y = Am+B

( )d

là đường thẳng song song hoặc trùng với trụcOx

+ Số nghiệm của phương trình( )1 là số hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và ( )d

+ Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp ), thường dựa vào y CĐvà y CT của hàm số để biện luận

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y= f( )x tại điểm M(x0;y0) ( )∈ C

Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị( )C của hàm số y= f( )x tại điểm M(x0;y0) ( )∈ C có dạng :

/ ( ) ( )

y=f x x−x +y ( )2 Thế ( )0

/ 0

tìm được x0 ⇒ y0 = f( )x0 .Suy ra phương trình tiếp tuyến (3)

d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C của hàm số y= f( )x biết tiếp tuyến song song hoặc

vuông góc với

một đường thẳng cho trước.

Cách giải : Phương trình tiếp tuyến có dạng : y=k x( −x0 ) +y0 ( )4

GọiM x y( 0 ; 0) là tọa độ tiếp điểm

+ Nếu tiếp tuyến song song với đthẳng d:y=ax+bthì f ( )x0 =a

/

, giải pt tìm đượcx0 ⇒ y0 = f( )x0 .

Kết luận phương trình tiếp tuyến

+ Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:y=ax+bthì f ( )x .a 1 f /( )x0 a1

0

Giải phương trình này tìm được x0 ⇒ y0 = f( )x0 Kết luận phương trình tiếp tuyến

e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f( )x trên đoạn [ ]a; b :

f) Tìm tham số m để hàm số y= f( )x có cực trị (cực đại, cực tiểu ):

Cách giải : + Tính đạo hàm y/ , tính ∆ hoặc ∆ / của y/

+ Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt

Trang 7

+ Hàm số đạt cực trị tại x=x0 ⇔f ( )x0 ⇒m

/

h) Tìm tham số m để hàm số y= f( )x đạt cực đại tại x=x0:

Cách giải :+ Tính đạo hàm y/ = f /( )x ; + Tính đạo hàm y// = f//( )x ;

0 / 0 //

i) Tìm tham số m để hàm số y = f( )x đạt cực tiểu tại x= x0:

Cách giải : + Tính đạo hàm y/ = f/( )x ; + Tính đạo hàm y// = f //( )x

0 /

0 //

k) Tìm tham số m để hàm số y= f( )x luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ D của nó Cách giải : + Tìm MXĐ D của hàm số y= f( )x + Tính đạo hàm y/ = f /( )x , tính ∆ hoặc ∆ / của

l) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số y = f( )x

Cách giải 1 : + Tìm điểm cực đại A(x A;y A)và điểm cực tiểuB(x B;y B) của hàm số y= f( )x

+ Viết phương trình đường thẳng

A B

A A

B

A

y y

y y x x

x x AB

f x y

g x

II LŨY THỪA, LÔGARIT, PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1 Tính chất của lũy thừa:

Với a≠ 0;b≠ 0 và với các số nguyên m, n ta có:

1 a a m. n =a m n+ ; 2 m m n

n

a a a

loga bc = loga b+ loga c

loga b loga b loga c c

  = −

 ÷

 

loga bα = α loga b

Trang 8

Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ Huy

ta cĩ: log log

log

a b

a

c c

b

= hay log loga b b c= loga c

3 Gỉai phương trình mũ và lơgarit :

• Dạng cơ bản:

• Lơgarit hoá hai vế :

4 Giải bất phương trình mũ và lơgarit

1 f (x)

a > g(x)

a ⇔ f (x)f (x)><g(x) khi ag(x) khi 0>< <1a 1;

2 af (x) > b Nếu b > 0 f(x) > logab nếu a > 1; f(x) < logab nếu 0 < a < 1

4 logaf(x) > logag(x) (*) Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1 a>1, (*) ⇔ f(x) > g(x) ; 0<a<1, (*) ⇔ f(x) < g(x)

5 logaf(x) > b Nếu a > 1 : bpt là f(x) > a b Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < a b

Trang 9

; cos

sin

udv uv= − vdu

∫ ∫

Trong đó các hàm số u v, có đạo hàm liên tục trên Kvà a b, là hai số thuộc K

d/ Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng.

+ Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: ( ) : ( )

: :

e/ Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay

+ Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi:

Trang 10

quay quanh trục hoành là: b ( ) 2

Trang 11

Diện tích hình tròn: S= πR2 (với R là bk)

Chu vi đường tròn: 2 Rπ

Diện tích xung quanh của hình nón: S xq = rlπ ( với l là đường sinh)

Diện tích toàn phần của hình nón: S tp = S xq + S đ

3

V = S đ h , (với h là chiều cao).

B SỐ PHỨC DẠNG LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG ϕ

1/ Acgumen của số phức z: Số đo ( radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM

được gọi là một acgumen

của z, ϕ một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng:ϕ+k2π

2/ Dạng lượng giác của số phức: z r= (cos ϕ +isin ϕ), ( trong đó r= z ; ϕ một acgumen của

z )

3/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác:

Nếu z1 =r1(cos ϕ 1 +isin ϕ 1); z2 =r2(cos ϕ 2 +isin ϕ 2), (r1 ≥ 0,r2 ≥ 0)

4/ Công thức Moa-vrơ và ứng dụng: a/ Công thức Moa-vrơ:

( cos sin ) n n( cos sin )

b/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

z r= (cos ϕ +isin ϕ) có 2 căn bậc 2 là: 1 cos sin

Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy.

h

Khối tứ diện đều

h

Khối chóp có một cạnh bên vuông với đáy là hình bình hành

h

Khối chóp đều.

h h

h

Khối chóp đáy là hình thang có cạnh bên vuông góc với đáy.

h h

Khối chóp có đáy là một hình thang cân

h

Khối chóp có đáy

là một hình thang vuông

h

h c

b ah

Khối hộp ( các mặt đều là hình bình hành).

Khối hộp chữ nhật Khối lập phươngKhối lăng trụ có đáy là

một tam giác bất kì.

h

Khối lăng trụ đứng có đáy là một tam giác bất kì.

h

Trang 12

4 Khối trụ:

* Diện tích hình tròn:S= πR2(với R là bk)

* Chu vi đường tròn: 2 Rπ

* Diện tích xung quanh của hình trụ:S xq =2πRh

( với h là chiều cao và h= l là đường sinh)

* Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp= Sxq + 2Sđ

* Thể tích của khối trụ: V =Sđ .h

5 Khối cầu: a Diện tích mặt cầu: S= 4 πR2; b Thể tích khối cầu: 4 3

3

V= πR

6 Diện tích các đa giác cần nhớ:

a.∆ABC vuông ở A : S= AB.AC1

2 ; b.∆ABC đều cạnh a: diện tích S=a2 3

4 ; đường cao: h=a 3

2

c Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh; d Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng

e Diện tích hình thoi : S = 12(chéo dài x chéo ngắn); f Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao

g Diện tích hình thang :S=12[(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]; h Diện tích hình tròn : S = π.R2

II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: TỌA ĐỘ VECTƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM

k

y ky y

k

z kz z

5 Nếu G x y z( G; G; G)là trọng tâm ; 6 Nếu E x y z( E; E; E) là trọng tâm

của tam giác ABC thì :

3 3 3

y y y y

z z z z

+ +

 =



 + +

 =



 + +

 =



tứ diện ABCD thì:

4 4 4

y y y y y

z z z z z

+ + +

 =



 + + +

 =



 + + +

R

Trang 13

x x y y z z

a b c

+ a br r, ⊥ar; a br r, ⊥br; + ar cùng phương với br khi và chỉ khi a br r,  = 0r

+ a br r,  = a br r sin ϕ (ϕ là góc giữa hai vectơ ar và br)

7.Diện tích tam giác ABC là: 1 ,

2

ABC

SV =  AB AC 

uuur uuur

8.Ba vectơ ar ,br, cr đồng phẳng khi và chỉ khi: a b cr r r,  = 0

Hệ quả: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi: uuur uuur uuurAB AC AD, . ≠0

9.Thể tích của khối hộp ABCD A’B’C’D’: V =  AB AD AA,   '

uuur uuur uuur

( AB,AD, AA’ là 3 cạnh xuất phát từ đỉnh A)

10.Thể tích của khối tứ diện ABCD là: 1 ,

6

V =  AB AC AD 

uuur uuur uuur

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 Phương trình mặt phẳng ( )α đi qua điểm M x y z0( 0 ; ; 0 0) và có vectơ pháp tuyến nr=(A B C; ; ) là:

A x x( − 0)+B y y( − 0)+C z z( − 0) = 0 Hay 2 2 2

Ax By Cz D+ + + = A +B +C ≠

2 Phương trình của các mặt phẳng tọa độ :

+ Mặt phẳng (Oxy): z = 0; + Mặt phẳng (Oyz): x = 0; + Mặt phẳng (Oxz): y = 0

Chú ý: mp ( )α Ax By Cz D+ + + = 0 ,(A2 +B2 +C2 ≠ 0) Nếu ( ) ( )β / / α thì

( )β :Ax By Cz D+ + + ' 0 = (D D≠ ')

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.

Phương trình đường thẳng:

Đường thẳng d đi qua M x y z0( 0 ; ; 0 0) và có vectơ chỉ phương ur=(a b c; ; ) Khi đó:

a Phương trình tham số của đường thẳng d:

0 0 0

Trang 14

b Phương trình chính tắc của đường thẳng là: x x0 y y0 z z0 .(a b c 0)

Bước 1: Giải hệ pt hai đường thẳng d1 và d2:

+ Hệ có 1 nghiệm ⇒ d1 cắt d2; + Hệ có vô số nghiệm ⇒ d1 ≡ d2; + Hệ vô nghiệm ta có bước 2:

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương uur1 của đường thẳng d1 và vectơ chỉ phương uuur2 của đường thẳng d2

+Nếu uur1 cùng phương uuur2 thì d1 // d2 ; + Nếu uur1 kh ông cùng phương uuur2 thì d1 chéo d2

PP2: Tìm vectơ chỉ phương uur1 của đường thẳng d1 và vectơ chỉ phương uuur2 của đường thẳng

d2

TH1: Nếu uur1 cùng phương uuur2 th ì ta tìm M1 ∈d1

+ Nếu M1 ∉ ⇒d2 d1 / /d2; + Nếu M1 ∈ ⇒ ≡d2 d1 d2

TH2: Nếu uur1 không cùng phương uuur2 thì ta tìm M1 ∈d1 v à M2∈d2

+ Nếu u uur uur uuuuuur1 , 2 .M M1 2 = ⇒0 d1 cắt d2; + Nếu u uur uur uuuuuur1, 2.M M1 2 ≠ ⇒0 d1 và d2 chéo nhau.

Ghi chú: 1.Đường thẳng d1⊥d2 ⇔u uur uur1. 2 = 0

2.Để chứng minh d1 và d2 chéo nhau ta chứng minh: u uur uur uuuuuur1 , 2 .M M1 2 ≠0

3 Vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng : Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y z0( 0 ; ; 0 0) và có vectơ chỉ phương ur=(a b c; ; ) và mặt phẳng ( )α :Ax By Cz D+ + + = 0 có vectơ nr=(A B C; ; )

Trang 15

a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua điểm M x y z0( 0 ; ; 0 0) có vectơ chỉ phương ur :

b.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ 1 và ∆2 ∆1 đi qua điểm M1 và có vectơ chỉ

phương ur1; ∆ 2 đi qua điểm

M2 và có vectơ chỉ phương ur2 là: ( ) 1 2 1 2

1 2

, ,

• Nếu d I( ,( )α >) R thì mp( )α không cắt mặt cầu (S).

• Nếu d I( ,( )α =) R thì mp( )α tiếp xúc mặt cầu (S) tại H (IH ⊥( )α tại H) Mặt phẳng( )α được gọi

là tiếp diện của (S) tại H

Trang 16

• Nếu d I( ,( )α <) R thì mp( )α cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình là

 Đường tròn (C) được gọi là đường tròn giao tuyến.

• Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của tâm I trên mp ( )α .

LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH 11

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ:

1 Các hệ thức cơ bản: 2 Công thức biểu diễn theo tanx:

3 Các cung liên kết:

a Cung đối: α và −α b Cung bù: α và π − α c Cung phụ: α và π −α2

d Cung sai kém nhau π: α và π + α e Cung hơn kém nhau

2

π: α và

3 2

2

2 2

1 2

0

2

2 2

1 2

sin cos ; cos sin

x

=

2 2

1 tan cos 2

1 tan

x x

1 tan

x x

Trang 17

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình lượng giác cơ bản : 2 Phương trình lượng giác đặc biệt:

π

2

k v u

u= − +π k π

;

3 sinu= ⇔ = 0 u kπ ( k ∈ Z ) cos u = cos v ⇔  = − +u v k u= +v k2π2π ( k

1 cos(a b+ = ) cos cosa b− sin sina b

2 cos(a b− = ) cos cosa b+ sin sina b

3 sin(a b+ = ) sin cosa b+ cos sina b

4 sin(a b− = ) sin cosa b− cos sina b

1 cos3a= 4cos 3a− 3cosa

2 sin 3a= 3sina− 4sin 3a

3 tan 3 3tan tan2 3

cos a+ sin a= − 1 2sin cosa a; 6 4 4

cos a− sin a c= os2a

7 cos 6a+ sin 6a= − 1 3sin cos 2a 2a; 8 cos 6a− sin 6a c= os2a 1 sin cos( − 2a 2a)

t ana tan

cos cos

a b b

−

=

Trang 18

12 cot 0

2

u= ⇔ = +u π kπ ( k ∈ Z )

3 Phương trình bậc hai , b ậc ba đối với một hàm số lượng giác:

Đặt ẩn phụ: t= sinx; t = cosx, điều kiện: − ≤ ≤ 1 t 1; Đặt ẩn phụ: t= sin x; t = cos x 2 2 , điều kiện: 0 ≤ ≤t 1

;

4 Ph ương trình bậc nhất đối với sinx, cosx : acosx + bsinx = c (1) trong đó a 2 + b 2 ≠ 0.

Điều kiện để phương trình (1) cĩ nghiệm: 2 2 2

a + ≥b c Cách giải : chia hai vế phương trình cho a2 +b2 , đưa pt về dạng :sin u = sin v hoặc cos u = cos

v

5 Phương trình đẳng cấp b ậc hai đối với sinx và cosx : asin 2 x + bsinx cosx + c.cos 2 x = 0

+ Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm

+Xét cosx≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx, pt trở thành pt

2

.tan t anx+c = 0

a x b+

6 Phương trình đối xứng : a( sinx + cosx ) + b sinxcosx + c = 0 .

a) Đặt t = sinx + cosx = 2 os x -

4

 , điều kiện − 2 ≤t ≤ 2 khi đó sinx.cosx = t22− 1

Ta đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai hoặc bậc 3 theo t Gỉai chọn t, suy ra nghiệm x

b) Phương trình có dạng :a( sinx - cosx ) + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx – cosx = 2 sin x -

điều kiện − 2 ≤t ≤ 2 khi đó sinx.cosx = 1 −2t2 Ta giải tương tự 6a)

7 Phương trình tích: A.B.C = 0 ⇔ = ∨ = ∨ =A 0 B 0 C 0; 8 Tổng các bình phương:

2

0 0

a Định nghĩa: Cho tập A cĩ n phần tử Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đĩ theo một thứ tự định

trước là một phép hốn vị các phần tử của tập A

b Định lý: Số phép hốn vị của tập hợp cĩ n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n; 0!=1! = 1

2 Chỉnh hợp:

a Định nghĩa: Cho tập hợp A cĩ n phần tử Xét số k ∈ ¥ mà 1 k n ≤ ≤ Khi lấy ra k phần tử trong số

n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đĩ theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	2,2 MB