Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị C.. Tìm các điểm M trên đồ thị C để tiếp tuyến của đồ thị C tại M cắt hai đường tiệm cận của đồ thị C lần lượt tại A B , sao cho bán kính đường tròn ngoạ
Trang 1ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 125
Ngày 10 tháng 6 năm 2015 Câu 1.(2.0 điểm)
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 2
1
x y x
2 Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) Tìm các điểm M trên đồ thị (C) để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M cắt hai đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại A B , sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IABngắn nhất
Câu 2.(1.0 điểm):
1 Giải phương trình 2
sin 3 x cos cos2x tan2x + tan x x
2 Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn z2 z2 6 và z 1 i z 2 i
Câu 3.(1.0 điểm)
1 Giải phương trình: 32x 3x 5 5
2 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 0 2 1 3 2 4 3 ( 1) n 512( 2)
Câu 4.(1.0 điểm) Giải hệ phương trình sau: 2
2
( 1) 3 0 (1)
5
x x y
x y
x
Câu 5.(1.0 điểm) Tính tích phân sau
4
) ln(cos tan
dx x
x x
I
Câu 6.(1,0 điểm)
Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' nội tiếp trong hình trụ cho trước Biết đường kính đáy của hình trụ bằng 5a, góc giữa đường thẳng B D' và mặt phẳng ABB A ' ' bằng 300 Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng ABB A ' ' là 3
2
a
Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D ' ' ' '.
Câu 7.(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường tròn I: 2 2 4 6 36
y x y
thẳng ∆ qua A ( 2;0) và cắt đường tròn tại hai điểm P, Q Viết phương trình của đường thẳng ∆ biết độ dài đoạn PQ ngắn nhất
Câu 8.(1.0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 y2 z2 2 x 4 y 6 z 11 0 và mặt phẳng ( ) có phương trình 2 x 2 y z 17 0 Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng ( ) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng 6
Câu 9.(1.0 điểm) : Cho x y z , , 0 thoả mãn: 5 x 5 y 5 z 1
4
Trang 2y
f x ( ) = x+2 x-1
1 4
-2
5/2
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 125
1.1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị I của hàm số: 2
1
x y x
1.0
+ TXĐ R \ 1
' ( 1)
y x
; y ' 0 x 1 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; Hàm số không có cực trị
0,25
xlim y 1; limx y 1
;
lim , lim
Đồ thị có TCN là đường thẳng y 1 và tiệm cận đứng là đường thẳng x 1
0,25
Đồ thị:
NX: Đồ thị nhận giao
của hai đường tiệm cận
(1;1)
0,25
1.2 Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị I Tìm các điểm M trên đồ thị I để tiếp tuyến của đồ thị I tại M cắt
hai đường tiệm cận của đồ thị I lần lượt tại A B , sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
IABngắn nhất
1.0
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là I (1;1)
Giả sử M x y ( ; )0 0 (x 0 1) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị I
0
2 1
x y x
0
3 ( 1)
k x
2 3
x
* Bọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cân đứng x = 1
- Cho x = 1, thay vào (1) ta có
0
* Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1
- Cho y = 1, thay vào (1) ta có x 2 x0 1 nênA x 2 0 1;1
Vì tam giác IAB vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là AB
0.25
x
'( )
f x
( )
f x
1
1
Trang 3Ta có
2
x
Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân với hai số không âm
2
0
36 4( 1) ;
( 1)
x
x
2
AB
0.25 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0
36
( 1)
x
Khi đó M (1 3;1 3) hoặc M (1 3; 3 1)
2.1
Giải phương trình sin 3 x cos cos2x tan2x + tan x 2x ĐK: cos 0
cos 2 0
x x
0.5
Khi đó :
2 2
sin 2 sin sin 3 cos cos 2
os2x os
sin 2 osx+cos2x.sinx = cosx.sin2x + cos2x os2x.sinx = cos2x.
0.25
cos 2 0 (không tm) sinx=0
sinx
1 (không tm do sin os os2x=0) cosx
x
- Nếu sin x 0 x k k Z tmdk , ( ) Vậy nghiệm của PT đã cho là x k k , Z; 0.25
6
Giả sử z x yi x y , ( , ) Ta có: z2 z2 6 ( x yi )2 ( x yi )2 6 x2 y2 3
( x 1) ( y 1) x ( y 2)
Giải hệ phương trình:
2
2, 1
3
,
2 ;
4 4
4
2 5 ,
5
z
Đặt y = t 5 y 5 Ta có hệ
2 2
1 0 (do t, y > 0)
5 5
t y
Giải hệ có
1 17
( ) 2
1 17
( ) 2
0.25
Trang 4Tính được 3 17 1
log
2
Suy ra 2n n 2n 1 512( n 2) n 10.
4
2
( 1) 3 0 (1)
5
x x y
x y
x
Điều kiện xác định x 0
1.0
C1
2
2
3 1
5 2
0.25
Thay vào (*) ta có x = 1 thì y = 1; x = 2 thì y = 3
2
Thử lại ta được hệ có hai nghiệm là (x; y) = (1; 1) và (2 ; 3
2
)
0.25
C2
Khi đó chia hai vế của phương trình (1) cho x ta có phương trình tương đương 3
1
x y
x
Hệ trở thành
2 2
3 1 5
x y
x
x y
x
Đặt
2
1 (b>0)
x y a b x
0.25
Giải hệ có
1, 2
,
0.25
Nếu a = 2, b = 1 ta có x = y = 1 Nếu 1
2
2
Vậy hệ có hai nghiệm…
0.25
5
Tính tích phân sau
4
) ln(cos tan
dx x
x x
4
0
2
cos
) ln(cos
sin
x
x x
Đặt t = cosx dt sinxdx
1.0
Đổi cận x = 0 thì t = 1; x =
4
thì t =
2
2 I=
1
2 2 2 2
2
1 2
ln ln
dt t
t dt
t
t
Đặt
t v dt t du dt t dv t u
1 1 1
ln 2
1
2 2 1
2 2 2 1
2 2
1 2 ln 2
2 1
ln
1
t
dt t
t t
Vậy I= ln2
2
2 1
2
6 Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' nội tiếp trong hình trụ cho trước Biết đường kính đáy của hình 1.0
Trang 5trụ đến mặt phẳng ABB A ' ' là 3
2
a
Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D ' ' ' '
Vì hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' nội tiếp trong hình trụ nên đó là hình hộp chữ nhật có đáy
là hai hình chữ nhật ABCD, A B C D' ' ' ' nội tiếp đường tròn đáy của hình trụ
Gọi O, O’ lần lượt là tâm hai đáy hình trụ
O AC BD O , ' A C ' ' B D CA C A ' '; ' ' 5 a
0.25
Do
AA'
DA
AD ( ABB A ' ')nên AB’ là hình chiếu của B’D trên ABB A ' '
Suy ra góc giữa đường thẳng B D' và mặt phẳng ABB A ' ' bằng góc giữa B’D và AB’ và bằng
/
DB A=300.
0.25
2
a
Tính được AB = 4a BB’ = a 11
ABCD A B C D ABCD
y x y
thẳng ∆ qua A ( 2;0) và cắt đường tròn tại hai điểm P, Q Viết phương trình của đường thẳng ∆
biết độ dài đoạn PQ ngắn nhất
1.0
Gọi H là hình chiếu của I trên PQ Khi đó H là trung điểm của PQ
PQ nhỏ nhất khi và chỉ khi PH nhỏ nhất
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AHP có PH nhỏ nhất khi IH lớn nhất
0.25
H A
Khi đó đường thẳng PQ hay ∆ là đường thẳng qua A, nhận IA
8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 y2 z2 2 x 4 y 6 z 11 0 và
mặt phẳng ( ) có phương trình 2 x 2 y z 17 0 Viết phương trình mặt phẳng ( ) song
song với mặt phẳng ( ) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng 6
1.0
Ta có (S): x2 y2 z2 2 x 4 y 6 z 11 0 ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 25 nên mặt
cầu (S) có tâm I(1; -2; 3) bán kính R = 5
Do ( ) song song với mặt phẳng ( ) : 2 x 2 y z 17 0 nên phương trình mặt phẳng ( )
có dạng: 2 x 2 y z d 0 ( d 17)
Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính là r = 3
Gọi H là hình chiễu của I trên ( ) Vì ( ) cắt mặt cầu theo một thiết diện là đường tròn (C) bán
0.25
3
2 ( 2) 1
0.25
4
7( / ) 3
d
Vậy phương trình ( ) là 2 x 2 y z 7 0
0.25
9 Cho x y z , , 0 thoả mãn: 5 x 5 y 5 z 1
4
1.0
Trang 6Đặt
, , 0 1
5
x y z
ab bc ca abc b
a b c
a b c c
Ta có:
VT
0.25
Vì
a abc a ab bc ca a b a c
VT
0.25
Ta có:
3
a
a b a c
Tương tự:
;
0.25
3
