Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán số 111

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Cho hình chóp S ABCD.. Tính thể tích của khối chóp S ABCD.. Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC... Tính thể

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 1

Ngày 27 tháng 5 năm 2015

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 1 3 2

y = − x + − x

có đồ thị là ( ) C a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.

b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị ( ) C có hoành độ x=2.Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến với ( ) C tại M song song với đường thẳng ( 2 ) 9 5

3

m

d y = m − x + +

Câu 2.(1,0 đ iểm)

1 Giải phương trình ( )

2 1 cot 2 cot 1

48

+

2 Tìm số phức z sao cho z i

z i

− + có một acgumen bằng 2

π

và z + = − 1 z i .

Câu 3.(0.5 đ iểm) Giải bất phương trình 2 log x 3x − 4log3x x − + > 1 0 .

Câu 4.(1,0 đ iểm) Giải hệ phương trình:









=

− + +

=

−

− +

−

0 15 3 2

0 5 4 2

2 2

2 2 4

y x y x

y y x x

Câu 5.(1,0 đ iểm) Tính tích phân

3 1

1 x

x x

−

= +

∫

Câu 6.(1,0điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành AB=5,BC=6,AC=9;

27 4

SA SB SC= = = Tính thể tích của khối chóp S ABCD

Câu 7.(1,0 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A ( 4; 13 − ) và phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là x2+ y2+ 2 x − 4 y − 20 0 = Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC

Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

và mặt phẳng ( ) P : x y 2z 5 0 + − + =

Lập phương trình đường thẳng ( ) d song song với mặt phẳng ( ) P và cắt ( ) ( ) d , d1 2 lần lượt tại A B ,

sao cho độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 9.(0.5 điểm) Tìm hệ số của x4 trong khai triển nhị thức Niutơn của:

n

x x







5

4 5 1

, biết − 1+ n− 2 = 45

n

n

n

C là số tổ hợp chập k của n )

Câu 10.(1,0 điểm) Cho a b c , , là các số thực thoả mãn a b c+ + =0

16 2.4 2.4 7 16 2.4 2.4 7 16 2.4 2.4 7

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 1

1.1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số 1 3 2

y = − x + − x

Tập xác định: D R =

y = − x + − ⇒ = − + x y x

' 0

1

x y

x

=



= ⇔  = − 

y > ⇔ ∈ − x y < ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ x

Hàm số đồng biến trên ( − 1;1 ) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞ − ; 1 ) và ( 1; +∞ ) 0,25

+) Cực trị:

3

CT

x = − y = − = y −

, Hàm số đạt cực đại tại x = 1; yCT = y (1) 0 =

x x

x x

+) Bảng biến thiên:

x −∞ − 1 1 +∞

y ' − 0 + 0 −

y +∞ 0

4

3

− −∞

0,25

*) Đồ thị hàm số (học sinh tự vẽ hình)

Đồ thị hàm số cắt Ox tại các điểm ( ) 1;0 và ( − 2;0 ); cắt Oy tại 2

0;

3

−

Đồ thị nhận điểm uấn 2

0;

3

−

  là tâm đối xứng

1.2 Gọi M là điểm thuộc đồ thị ( ) C có hoành độ x=2.Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến với ( ) C

tại M song song với đường thẳng ( 2 ) 9 5

3

m

d y = m − x + +

1.0

y = − ⇒ M  − 

  Tiếp tuyến ∆với( ) C tại M có phương trình : 0,25

Ta có

2 4 3

m

− = −





2 1

1 1

m

m m

=



Giải phương trình ( )

2 1 cot 2 cot 1

48

x x

+

+ = Điều kiện

sin2 0

x

x

≠







0.5

cos 2 cos cos 2 cos sin 2 sin cos 1

1 cot 2 cot 1

sin 2 sin sin 2 sin 2sin cos 2sin

x x

+

x x

( )

2

2

1 sin 2

2

3

x





0.25 2.2

Tìm số phức z sao cho z i

z i

− + có một acgumen bằng 2

π

Đặt z x yi x y R = + ,( ; ∈ )

2

( 1) 1

i

z i

z i

−

2

1 0

1 1

1

0 ( 1)

x y

x y

x y

x x

x y

π



<

 + +



0,25

Lại có z + = − ⇔ 1 z i ( x + + = − 1 ) y x ( y + 1 ) i

3 Giải bất phương trình 2 log x 3x − 4log3x x − + > 1 0 Điều kiện x > 0 0.5 Với điều kiện đó 2 log x 3 x − 4log3 x x − + > ⇔ 1 0 ( 2 x − 4 log ) 3 x x > − 1

< < < <

( ) log

x

x

−

Ta thấy

− Suy ra f x ( ) đồng biến trên các khoảng (0;2) và ( 2; +∞ )

Do vậy

3

3

2

2 1

x

x x

x

x x

 > 



>

  < <   < <



⇔

2

1

x

x x

x

 > 



 >   >

  < <  < <

 <



4

Giải hệ phương trình:









=

− + +

=

−

− +

−

0 15 3 2

0 5 4 2

2 2

2 2 4

y x y x

y y x x

1.0

Hpt









=

− +

− +

−

−

=

− +

−

⇔

5 ) 2 ( 4 ) 1 ( 4 ) 2 )(

1 (

10 ) 2 ( ) 1 (

2 2

2 2

2

y x

y x

y x

Đặt







−

=

−

=

2

1 2

y v

x u

0.25

; ta có hệ phương trình :







= + +

= +

5 ) ( 4

10 2 2

v u uv

v u







= + +

=

− +

⇔

5 ) ( 4

10 2

)

v u uv

uv v

u







=

−

= +

⇔

45

10

uv

v u

(vô nghiệm) hoặc







−

=

= +

3

2

uv

v u

0.25

Với







−

=

=

⇔







−

=

= +

1

3 3

2

v

u uv

v u

hoặc







=

−

=

3

1

v u

Với







−

=

−

=

−

⇒







−

=

=

1 2

3 1 1

y

x v

u







=

=

⇔

1

2

y

x

hoặc







=

−

=

1

2

y x

Với







=

−

−

=

−

⇒







=

−

=

3 2

1 1 3

y

x v

u







=

=

⇔

5

0

y x

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm (x; y) là: (2; 1) ; (-2; 1) và (0; 5) 0.5 5

Tính tích phân

3 1

1 x

x x

−

= +

∫

1.0

Ta có

3

1 1 1

1

x

−

−

∫ ∫ Đặt

2

1 1 1

5 2

2

x

x

 = −







 = ⇒ =



0,5

5 2 2

5

2

dt

t

5, 6, 9

AB= BC= AC= ; 27

4

SA SB SC= = = Tính thể tích của khối chóp S ABCD

Gọi H là hình chiếu của S trênABCD

SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC ⇒ H là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giácABC

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC

5 6 9

10 2

p + +

ABC

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ HA HB HC R = = =

0,25

ABC

ABC

AB AC BC AB AC BC

4 2

SH SA AH

⇒ = − = SABCD = 2 SABC = 20 2 0,25 Thể tích khối chóp S ABCD là . 1 1 27

S ABCD ABCD

7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A ( 4; 13 − ) và phương trình

đường tròn nội tiếp tam giác ABC là x2+ y2+ 2 x − 4 y − 20 0 =

Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC

1.0

x + y + x − y − = ⇔ x + + y − =

⇒ Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I ( − 1;2 ) , bán kính R = 5 0,25 ( 5; 15 )

IA = −

uur

, tam giác ABC cân tại đỉnh A ( 4; 13 − ) ⇒ IA BC ⊥

BC có phương trình dạng x − 3 y m + = 0.Vì I và A nằm cùng phía đối vói BC nên

43

m

m

>



0,25

m m

d I BC

m

 = +

− − +

= −

Vậy m = + 7 5 10 ⇒ BC có phương trình x − 3 y + + 7 5 10 0 = 0,25

8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

và mặt phẳng ( ) P : x y 2z 5 0 + − + = Lập phương trình đường thẳng ( ) d song song với mặt phẳng ( ) P và cắt( ) ( ) d , d1 2 lần lượt tại A B ,

sao cho độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ nhất

1.0

Vì A d ;B d ∈ 1 ∈ ⇒2 A 1 a; 2 2a;a ,B 2 2b;1 b;1 b ( − + − + ) ( + + + ) ,

ta có: AB uuur = − + ( a 2b 3; 2a b 3; a b 1 + − + + − + + ) ( ) P có véc tơ pháp tuyến n r = ( 1;1; 2 − ) 0,25

C

D S

H

( )

//

AB P

( )

AB n

A P





uuur r

AB n ⊥ ⇔ AB.n 0 = ⇔ − + a 2b 3 2a b 3 2a 2b 2 0 + − + + + − − = ⇔ = − b a 4

uuur r uuur r

AB = a 5 − + − − a 1 + − 3 = 2a − 8a 35 + = 2 a 2 − + 27 3 3 ≥

0,25 Suy ra: min AB 3 3 = , đạt được khi a = 2 ⇒ A ( 1;2;2 ) , uuur AB = − − − ( 3; 3; 3 )

( 1;2;2 ) ( )

A ∉ P Vậy, phương trình đường thẳng ( ) d là: x 1 y 2 z 2

0,25 9

Tìm hệ số của x4 trong khai triển nhị thức Niutơn của:

n

x x







5

4 5 1 ,

biết − 1 + n− 2 = 45

n

n

C ( Trong đó Cn k là số tổ hợp chập k của n )

)!

2 ( 2

! )!

1 (

! 45

2

−

+

−

⇔

= + −

−

n

n n

n C

n

n

2

) 1 (

=

− +

⇔ n n n

9 0

90

2 + − = ⇒ =

⇔ n n n khi đó ta có khai triển :

9 5

1 4 5 5

4 5 1







 +

=







x x x

x

n

k

C ( ) ( 5)

1 9 9

0

4 5 9

−

−

=

=

−

−

9 0

5 4 ) 9 ( 5 9

k

k k

kx

C ; ứng với x4 ta có : 4

5 4

) 9 (

5 − k − k = 5

145

29 = ⇔ =

⇔ k k ⇒ hệ số của x4 là : 5 126

9 =

C

10 Cho a b c , , là các số thực thoả mãn a b c+ + =0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

16 2.4 2.4 7 16 2.4 2.4 7 16 2.4 2.4 7

1.0

1

xyz



=



P

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta được: x4 + + + ≥ 1 1 1 4 ; x x2 + y2 ≥ 2 xy

Chứng minh tương tự ta được y4 + 2 y2 + 2 z2 + ≥ 7 4 ( y yz + + 1 );

z + z + x + ≥ z zx + + 1

P

x xy y yz z zx

Mà xyz = 1 nên

x xy + y yz + z zx

2

1

1

x xy xy xyz x xyz x yz xy x xy xy x x xy

1 4

P

⇒ ≤ Dấu bằng xảy ra khi x y z = = = ⇒ = = = 1 a b c 0

Vậy 1

axP=

4

m đạt được khi a b c = = = 0