Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán số 122

Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất... Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng A’BC... Lập phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC biết rằng đỉnh A có hoàn

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 122

Ngày 5 tháng 6 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y x = −4 2 mx2+ 2 m2− 4 ( C (m là tham số thực)m)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.

2 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số ( C có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác m)

cân có góc ở đỉnh của tam giác đó bằng α với

2 2

1 2 tan α =

.

1

Câu 2.(1,0 điểm)

1 Giải phương trình 2cos2x + 2 3 sin cos x x + = 1 3(sin x + 3 cos ) x

2 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4 i = z − 2 i Tìm số phức z có mô đun nhỏ

nhất

Câu 3.(1.0 điểm)

1 Giải phương trình: 2

log ( x + 1) = log (4 − + x ) log (4 + x ) ,(*)

2 Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập S = { 1, 2, ,11 } Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.

2

Câu 4.(1.0 điểm) : Giải hệ phương trình :

1 (

dx e

x e x

Câu 6.(1,0 điểm)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB a BC = , = 2 , a ABC · = 600, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A’BC).

3

Câu 7 (1.0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC : 2 x − y − 7 = 0 , đường thẳng AC

đi qua điểm M(−1;1), điểm A nằm trên đường thẳng ∆:x−4y+6=0. Lập phương trình các cạnh

còn lại của tam giác ABC biết rằng đỉnh A có hoành độ dương.

Câu 9 (1,0 điểm) Cho bất phương trình m x ( 2 − 2 x + + + 2 1) x (2 − ≥ x ) 0

Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈   0;1 + 3   .

- Hết

5

' 4 4

y = x − x Cho y’ 0 = ta được: x 0= hoặc x= ±1

Sự biến thiên:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − 1;0 ) và (1; +∞ );

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞ − ; 1) và ( ) 0;1

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycd = − 2 Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1, yct = − 3

- Giới hạn: xlim y ; lim yx .

1.2 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số ( Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có

góc ở đỉnh của tam giác đó bằng α với

2 2

1 2 tan α =

2.1 Giải phương trình 2cos2x + 2 3 sin cos x x + = 1 3(sin x + 3 cos ) x 0.5

2

2cos x+2 3 sin cosx x+ =1 3(sinx+ 3 cos )x ⇔ (sin x + 3 cos ) x 2− 3(sin x + 3 cos ) 0 x =

sin x 3 cos x 0 sin x 3 cos x 3

2.2 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4 i = z − 2 i Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất 0.5Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R) Ta có

Giải phương trình: log (9 x + 1)2 = log (43 − + x ) log (43 + x ) ,(*) Đk: 4 4

1

x x

Phương trình thứ (2)⇔ y2+ − (2 x y ) − − = 3 x 3 0 được xem là phương trình bậc hai theo ẩn y có

∆ = + ( x 4)2 Phương trình có hai nghiệm:

3 2

1 2

Thay y = x + 1 vào pt thứ nhất ta được: x2 − 5 x − + 2 6 x2 − 5 x + = 5 0 (3)

Giải (3): đặt x2− 5 x + 5= t, điều kiện t≥0 Từ( ) 2 1 ( )

Tính tích phân = ∫1 − + + +

0 1

1 )

1 (

dx e

x e x

0

1 2 ) 1 ( e

1

2 ) 1 ( ) 1 ( e

1

1

I I dx e

e dx

x dx e e e

x dx x e xe

x x

x x

x x

−

= +

− +

= +

− + + +

= +

+ +

) 1

2 1

0.5

17

Tính

2

1 ln )

1 ln(

1

) 1 ( 1

+

= +

= +

+

= +

e

e d dx e

e

x

x x

AB a BC = = a ABC = , hình chiếu vuông góc của A’

trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng

(ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A’BC).

1.0

18

Từ A'G ⊥ ( ABC )⇒ AG là hình

chiếu của AA lên ' (ABC Gọi M là )

trung điểm BC Từ giả thiết ta có:

B

C A'

G K

H

Mặt khác AB2 + AC2 = a2 + 3 a2 = 4 a2 = BC2 ⇒ ∆ ABC vuông tại A

Và A'G ⊥ ( ABC ) nên A'G là chiều cao của khối chóp A ' ABC

Thể tích của khối chóp A ' ABC được tính bởi:

/

3

7 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC : 2 x − y − 7 = 0 , đường thẳng AC đi

qua điểm M(−1;1), điểm A nằm trên đường thẳng ∆:x−4y+6=0 Lập phương trình các cạnh còn

lại của tam giác ABC biết rằng đỉnh A có hoành độ dương.

; 1 ( −

M

2 x y − − = 7 0 : x 4 y 6 0

∆ − + =

) 1 ( 2 ) 5 4 ( 2

1 ) , cos(

2

− +

−

− +

−

⇔

=

a a

a a

u

MA BC

0.25

23

⇔

) ( 3

16

; 3

14 13

16

) 2

; 2 ( 2 0

32 42

13 2

ktm A

a

A a

a a

(S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 9 Giả sử (P) có vtpt n r = ( ; ; ), ( A B C A2+ B2+ C2 ≠ 0)

(P) // BC nên n r ⊥ uuur BC = − ( 1;1;4) ⇒ n BC r uuur = ⇔ = + 0 A B 4 C ⇒ = n r ( B + 4 ; ; ) C B C

0.25

24

(P) đi qua A(13; −1; 0) ⇒ phương trình (P): ( B + 4 ) C x By Cz + + − 12 B − 52 C = 0

Với B − 4C = 0 chọn 4

1

B C

=



 =

 , ta được phương trình (P): 8x + 4y + z −100 = 0Vậy (P): −2x + 2y − z + 28 = 0 , (P): 8x + 4y + z −100 = 0

+ (2)

0.25

27

Xét hàm số

2 2 ( )

2 2