Hàm số không có cực trị.
Trang 1ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 121
Ngày 04 tháng 6 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y = mx 4
x m
+ + ,với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m=1
2) Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( −∞ ;1 )
Câu 2.(1,0 điểm)
1 Giải phương trình: sin x − 4sin3x + cos x = 0
2 Tìm tất cả các số thực a, b sao cho số phức z= +2 3i là nghiệm của phương trình
z + + = az b
Câu 3.(1,0 điểm)
1 Giải phương trình : ( ) ( )3
2
2
log x + = 1 log 3 − + x log x − 1
2 Tìm hệ số của x7trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n x
−2 2
, biết rằng n là số nguyên
dương thỏa mãn 3 2 3
1 2
4 Cn+ + Cn = An.
Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
1 4
+ + + =
Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân : 4 ( 2 )
0
I = ∫ x x + dx
Câu 6.(1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có đáy là tam giác đều cạnh bằng 5 và A A A B1 = 1 = A C1 = 5
.Chứng minh rằng tứ giác BCC B1 1 là hình chữ nhật và tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C 1 1 1
Câu 7 (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường tròn ( ) C x : 2+ y2 − 2 x − 4 y − = 5 0 và điểm
( 0; 1 ) ( )
A − ∈ C Tìm toạ độ các điểm B C , thuộc đường tròn ( ) C sao cho tam giác ABC đều.
Câu 8.(1,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho mặt cầu ( ) S có phương trình
( ) S x : 2+ y2+ + z2 2 x + 4 y + 4 z = 0 .Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua trục Ox và cắt mặt cầu ( ) S theo một đường tròn có bán kính bằng 3
Câu 9.(1,0 điểm)
Cho các số thực a b c , , thoả mãn ab bc ca + + = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 40 a2+ 27 b2+ 14 c2
-HẾT
-HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 121
Trang 2Câu NỘI DUNG Điểm
1.1
Cho hàm số y = mx 4
x m
+ + ,với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m=1
1.0
Khi m=1 hàm số trở thành : 4
1
x y x
+
= +
Tập xác định: Hàm số 4
1
x y x
+
= + có tập xác định D R = \ { } − 1
Giới hạn:
0,25
Đạo hàm:
( )2
3
1
x
−
= < ∀ ≠ − ⇒ + Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞ − ; 1 ) và ( − +∞ 1; )
Hàm số không có cực trị
Bảng biến thiên:
0,25
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = − 1; tiệm cận ngang y = 1. Giao của hai tiệm cận I ( − 1;1 ) là tâm
đối xứng
0 0,25
Đồ thị hàm số (học sinh tự vẽ hình)
1.2
Tìm mđể hàm sốy = mx 4
x m
+ + nghịch biến trên khoảng ( −∞ ;1 ) 1.0 TXĐD = ¡ \ { } − m ,
2 ,
2
4
m y
x m
−
= + .Yêu cầu bài toán
1
;1
m
− < − < <
⇔ < ∀ ∈ −∞ ⇔ = − ∈ −∞ / ⇔ − ≥ ⇔ − < ≤ −
Vậy để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( −∞ ;1 ) thì − < ≤ − 2 m 1
0,25 0,25 0,25 0,25 2.1 Giải phương trình: sin x − 4sin3x + cos x = 0 0.5
pt ⇔ ( sin x + cos x ) ( sin2 x + cos2x ) − 4sin3x = 0
⇔ cos3x + cos sin2 x x + cos sin x 2 x − 3sin3 x = 0
( cos x sin x ) ( cos2x 2cos sin x x 3sin2x ) 0
cos x sin x cos x sin x 2sin x 0
⇔ − + + = (*) (do ( )2 2
cos x + sin x + 2sin x > ∀ ∈ 0 x ¡ )
do đó pt (*) cos sin 0 tan 1 ( )
4
phương trình (*) có một họ nghiệm x = + π ∈ π 4 k ( k Z )
0,25 0,25
0,25 0,25 2.2 Tìm tất cả các số thực a, b sao cho số phức z = + 2 3 i là nghiệm của phương trình z2+ + = az b 0. 0.5 Tính z2 = + 1 6 , i az = 2 a + (3 ) a i Suy ra z2+ + = az b (2 a b + + + 1) (3 a + 6) i 0.25
Từ đó, có hệ 2 1 0
a b a
+ + =
+ =
Giải hệ, thu được a = − 2, b = 3 và kết luận. 0.25
3.1
Giải phương trình : ( ) ( )3
2
2
log x + = 1 log 3 − + x log x − 1 Đ/k 1 < < x 3 0.5
Trang 3Phương trình đã cho tương đương : log2( x + + 1 ) log 32( − − x ) log2( x − = 1 ) 0
2
Vậy phương trình có hai nghiệm 1 17
2
x = − ±
0,25 0,25 0,25 0,25 3.2
Tìm hệ số của x7trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n x
−2 2 , biết rằng n là số nguyên dương thỏa
mãn 4 Cn3+1+ 2 Cn2 = An3
0.5
6
) 1 ((
) 1 ( 4 2
2( n 1) 3( n 1) 3( n 3 n 2), n 3 n 12 n 11 0, n 3 n 11.
0.25
Khi đó 2 ( ) 2 11 .( 2 )
0
3 22 11
11 0
11 2 11
11
=
−
=
−
=
−
k
k k k k
k k
x x
C x
x
Số hạng chứa x7 là số hạng ứng với k thỏa mãn 22−3k =7⇔k =5
Suy ra hệ số của x7 là 5.( 2 )5 14784
11 − = −
C
0.25
4
Giải hệ phương trình:
1 4
+ + + =
1.0
Dễ thấy y ≠ 0 ta có :
2
2
1
4
1 4
1
x
x y
x
x y
y
+ + + =
+ + + =
+
Đặt
x u
y
v x y
= +
= +
ta có hệ pt : 2 4 2 4
⇔
3, 1
5, 9
⇔ = − =
•
•
= − + = − = − −
(hệ này vô nghiệm )
Hệ pt có hai nghiệm :( x y ; ) ( ) ( = { 1; 2 , 2;5 − ) }
0,25
0,25
0,25 0,25
5
Tính tích phân : 4 ( 2 )
0
2
2
9 2
x
x
=
=
0,5
( ) 4
2 0 0
9
2
x
0
25ln 5 9ln 3 25ln 5 9ln 3 8
2
x
6 Cho hình lăng trụ
1 1 1
.
ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng 5 và A A A B1 = 1 = A C1 = 5.Chứng 1.0 minh rằng tứ giácBCC B1 1 là hình chữ nhật và tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C 1 1 1
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC ⇒ OA OB OC = = 0,25
Trang 4Ngoài ra ta có A A A B1 = 1 = A C1 = 5 ⇒ A O1 là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
1
⇒ ⊥ ⇒ là hình chiếu vuông góc của AA1lên mp ABC ( )
Mà OA ⊥ BC ⇒ A A1 ⊥ BC do AA1/ / BB1⇒ BB1⊥ BC hay hình bình hành BCC B1 1 là hình chữ
nhật.Ta có ( )
2
Thể tích lăng trụ : 1 5 3 5 62 125 2
ABC
0,25
0,25 0,25
7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường tròn ( ) C x : 2+ y2− 2 x − 4 y − = 5 0 và điểm
( 0; 1 ) ( )
A − ∈ C Tìm toạ độ các điểm B C , thuộc đường tròn ( ) C sao cho tam giác ABC đều
1.0
( ) C có tâm I ( ) 1; 2 bán kính R = 10 ( )
2
H
H
x
AI IH
y
;
2 2
⇔ ÷
do I là trọng tâm ∆ ABC,Hlà trung điểm BC
pt đường thẳng
( )
3 7
;
2 2
1,3
quaH
vì B C , ∈ ( ) C ⇒ toạ độ B C , là nghiệm của hệ pt :
giải hệ pt ta được 7 3 3 3 3 7 3 3 3 3
hoặc ngược lại
0,25
0,25
0,25
0,25
8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho mặt cầu ( ) S có phương trình
( ) S x : 2+ y2+ + z2 2 x + 4 y + 4 z = 0.Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua trục Ox và cắt mặt
cầu ( ) S theo một đường tròn có bán kính bằng 3
1.0
(S):x2+ y2+ + z2 2 x + 4 y + 4 z = 0 có tâm I ( − − − 1; 2; 2 )bán kính R = 3
( ) α chứa trục Ox x t y : = ; = 0; z = ⇔ α 0 ( ) : Bx Cz + = 0 ( B2+ C2 > 0 )
( ) α cắt ( ) S theo một đường tròn bán kính r = 3 ⇔ α ( )đi qua I ⇔ − 2 B − 2 C = ⇔ + = 0 B C 0
chọn B = 1; C = − 1 ⇒ α ( ) : y z − = 0
0,25 0,25 0,25 0,25
9 Cho các số thực a b c , , thoả mãn ab bc ca + + = 1.Tìm GTNN của biểu thức:
A = a + b + c
1.0
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số không âm ta được
0,5
dấu bằng xẩy ra 4 3 2 1 4 2
ab bc ca
= =
⇔ + + = ⇔ = ± = ± = ±
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 24 đạt được khi : 1 4 2
a = ± b = ± c = ±
0,25
