Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=3.. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC và tính thể tích hình chóp H.SBC theo a và h.. Tính diện tích tam giácABC.. Hỏi có thể lập đư
Trang 1Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 96
Ngày 8 tháng 5 năm 2015
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 3 2
y x= + x +mx+ có đồ thị là (C m ); ( m là tham số)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=3
2 Xác định m để (C m) cắt đường thẳng y=1 tại ba điểm phân biệt A( )0;1 , ,B C sao cho các
tiếp tuyến của (C m) tại B và C vuông góc với nhau
Câu 2.(2,0 điểm)
1 Giải phương trình: sin2x−cos 32 x=cos 22 x
2 Giải phương trình trên tập số phức: z4+2z3−z2+2z+ =1 0.
( 3)
1
log x 2
+
Câu 4.(1,0 điểm)Giải bất phương trình:
2
3
x
Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân ∫ +
+
x x
x I
1
2ln 3 ln 1 ln
Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a, SA = h và
vuông góc với đáy, gọi H là trực tâm tam giác ABC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và tính thể tích hình chóp H.SBC theo a và h
Câu 7.(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giácABC có A( )2;1 Đường cao kẻ từ đỉnh B có phương trình
x− y− = Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C có phương trình x y+ + =1 0 Xác định tọa độ đỉnh Bvà C Tính diện tích tam giácABC
Câu 8.(1,0 điểm)
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P có phương trình: x y− − =1 0 Lập phương trình mặt cầu ( )S đi qua ba điểm A(2;1; 1 ,− ) (B 0;2; 2 ,− ) (C 1;3;0) và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P
Câu 9(0,5 điểm) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6
chữ số khác nhau từ các chữ số trên, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 3
Câu 10(1,0 điểm) Cho x y z, , thoả mãn là các số thực: x2− +xy y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
4 4
2 2 2
P
=
Hết
Trang 2-Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 96
y x= + x +mx+ có đồ thị là (C m ); ( m là tham số)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=3
1,0
I) y x= 3+3 x2+mx+1 (Cm) (Cm)
1 m = 3 : y x= +3 3x2+3x+1 (C3)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y x= + x + x+
a Tập xác định: D=¡
b Sự biến thiên của hàm số
* Giới hạn xlim→−∞y= −∞, limx→+∞y= +∞.
y = x + x+ = x+ ≥ ∀x ⇒ hàm số đồng biến trên ¡
* Lập bảng biến thiên
c Đồ thị +y'' 6x 6 6(= + = x+1)
y'' 0= ⇔ = −x 1 ⇒ tâm đối xứng U( 1;0)−
đồ thị đi qua A( 2; 1),− − U( 1;0), '(0;1)− A
0,25
0,25
0,25
0,25
1.2 Xác định m để (C m) cắt đường thẳng y=1 tại ba điểm phân biệt A( )0;1 , ,B C sao cho
các tiếp tuyến của (C m) tại B và C vuông góc với nhau
1,0
PT hoành độ giao điểm x3+3 x2+mx+ = ⇔1 1 x x( 2+ x+m)=0
Để thỏa mãn yc bài toán đk: 2
x + + = có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 khác 0 và
'( ) '( ) 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Giải ra ta có ĐS: 9 65
8
m= ±
cos 6 cos 2 2cos 2 0 2cos 4 cos 2 2cos 2 0
0,25
2
= +
= +
= +
0, 25
Trang 3Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
2.2 Giải phương trình trên tập số phức: 4 3 2
0
z= không là nghiệm, chia cả hai vế cho 2
+ + + − =
w z
z
2 – 3 0
3
w
w
=
= ⇔ =
+
−
2
i
z
±
2
z
− ±
;
i
0,25
0,25
3
( 3)
1
log x 2
+
; 3
2
log 3 1 log ( 3) log 4 log 1
1 log 3 1 ( 3) log 4 1 3x 4x 7 0 7
3
x
x
=
=
Nghiệm của phương trình S ={ }1
0,25 0,25
0,25
0,25
4
Giải bất phương trình:
2
3
x
− − ĐK: x≥4
1,0
Bpt ⇔ 2(x2 −16)+ − > − ⇔x 3 7 x 2(x2 −16) 10 2> − x
2
16 0
10 2 0
10 2 0 2( 16) (10 2 )
x x x
5
10 34
x
x x
>
− < ≤
VT(*) < 0 (do 2
) 3
x≥ nên (*) vô nghiệm
5
Tính tích phân ∫ +
+
x x
x I
1
2ln 3 ln 1
+) 1
1
ln
1 ln
e x
=
+
∫ , Đặt t = 1 ln x+ ,… Tính được 1 4 2 2
+) Tính I x lnxdx
e
1
2
=
=
⇒
=
=
3
x v x
dx du dx
x dv
x ln u
3 2
+
= 3 e− ∫e 2 = 3 − 3 e = 3 − 3 + = 3
1
0,25 0,25
6 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a, SA = h và vuông 1,0
Trang 4Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727 (SBC) và tính thể tích hình chóp H.SBC theo a và h
j
I
H M
B S
+) Xác định và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là
3
ah
d A SBC
h
=
+) 1S
3 SBC
4
4
SBC
∆
+
3
h IH
+ +
36
a h
V =
0, 5
0, 5
7 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A( )2;1 Đường cao kẻ từ đỉnh B có
phương trình x−3y− =7 0 Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C có phương trình
1 0
x y+ + = Xác định tọa độ đỉnh B và C Tính diện tích tam giácABC
1,0
M
C B
H
A
+AC qua A và vuông góc với BH do đó có VTPT là nr=(3;1), AC có phương trình
3x y+ − = 7 0
+ Tọa độ C là nghiệm của hệ AC
CM
……⇒C(4; 5− )
; M thuộc CM ta được 2 1 1 0
+ Giải hệ
1 0
ta được B(-2 ;-3)
0,25 0,25
*) Tính diện tích ABC∆ + Tọa độ H là nghiệm của hệ
14
5
x
y
y
=
0,25
5
Diện tích 1 1.2 10.8 10 16
Trang 5Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
8 Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P có phương trình: x y− − =1 0 Lập
phương trình mặt cầu ( )S đi qua ba điểm A(2;1; 1 ,− ) (B 0;2; 2 ,− ) (C 1;3;0) và tiếp xúc
với mặt phẳng ( )P
1,0
Mặt phẳng ( ) α có phương trình dạng ax by cz d+ + + =0,(a2+ + ≠b2 c2 0)
( ) α đi qua hai điểmA(0; 1;2 ,− ) B(1;0;3)nên: 2 0
Mặt cầu ( )S có tâm I(1;2; 1)− bán kính R= 2
( ) α tiếp xúc ( )S nên d I( ,( )) R a 22b c d2 2 2
0,25
0,25 Thay (1) vào (2) được : 2a+3b = a2+ +b2 ab ⇔3a2+11ab+8b2 =0(3)
Nếu a= ⇒ = ⇒ =0 b 0 c 0 loại Nếu a≠0chọn
1
8
b a
b
= −
=
0,25
+ a=1,b= − ⇒ =1 c 0,d = −1 ( ) α :x y− − =1 0
( ) α : 8x−3y−5z+ =7 0
0,25
9 Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ
số khác nhau từ các chữ số trên, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 3 0,5 Gọi số cần lập có dạng: a a a a a a1 2 3 4 5 6
TH1: a1=3 Khi đó số cách sắp xếp 5 số còn lại là 5
TH2: a1≠3 (a1≠0) Có 6 cách chọn a1
Đưa số 3 vào 5 vị trí còn lại có 5 cách
Cách sắp xếp 6 số còn lại vào 4 vị trí còn lại có A64 (cách)
Theo quy tắc nhân TH2 có: 6.5A64 =10800 (cách)
Vậy có: 2520 + 10800 = 13320 (số) thỏa mãn bài toán
10 Cho , ,x y z thoả mãn là các số thực: x2− +xy y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của biểu thức
4 4
2 2 2
P
= +
1,0
Từ giả thiết suy ra:1=x2− +xy y2 ≥2xy xy xy− = ; 1 (= +x y)2−3xy≥ −3xy
Từ đó ta có 1 1
3 xy
− ≤ ≤ Mặt khác x2− +xy y2 = ⇔1 x2+y2 = +1 xy 0,25
nên x4 +y4 =−x2y2+2xy+1, đặt t=xy.Vậy bài toán trở thành tìm GTLN,GTN
t
− + +
1
;1 3
−
0,25
0,25 0,25