Câu5: Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1.. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ?..
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Trường THPT Hương Thủy
Câu1:
Giải phương trình: 1+ 1−x2[ (1−x)3 − (1+x)3]=2+ 1−x2 (1)
Câu2:
Giải hệ bất phương trình:
≥ +
+
≤ +
+
1
1 2007 2005
2003
10 8 6
z y
x
z y x
Câu3:
a Chứng minh rằng:
x4 + px + q ≥ 0 , ∀ x ⇔ 256 q3 ≥ 27 p4 (*)
b Chứng minh rằng nếu p, q nghiệm đúng (*) thì qx4+ px3+1≥0,∀x
Câu4: Cho hàm số f(x)= 2x2 −x−m Định m để giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [– 1 ; 1] đạt giá trị nhỏ nhất
Câu5: Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1 Với
giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ?
Trang 2Đáp án
Câu2
0 1
0 1
0 1
2
≤
≤
−
⇔
≥
−
≥ +
≥
−
x x
x
x
0.50đ
Đặt x = cost vớit∈[ ]0,π ⇒ 1−x2 = sin2t =sint, khi đó:
2
1 cos
sin 2 ) sin 2 ( cos 2
sin 2 2
cos 2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2 sin 2 2
sin 2 2
cos 2 sin 2 2 2
cos 2 sin
sin 2 2
cos 2 2
sin 2 2
cos 2 sin
sin 2 ) cos 1 ( ) cos 1 ( sin 1 ) 1 (
2 2
2 2
3 3
3 2
3 2 2
3 3
−
=
=
⇔
+
= +
−
⇔
+
=
⇔
+
=
⇔
+
=
−
⇔
+
= +
−
− +
⇔
t x
t t
t
t t
t t
t t
t
t t
t t
t
t t
t t
t
t t
t t
0.50đ
1.00đ
0.50đ
Giải hệ bất phương trình:
≥ +
+
≤ + +
) 2 ( 1
) 1 ( 1 2007 2005
2003
10 8 6
z y
x
z y x
2.50đ
Từ (1) suy ra: x ≤ 1 ; y ≤ 1 ; z ≤ 1 (*)
Ta có: ( x2003 +y2005 + z2007 ) – ( x6 + y8 + z10 ) ≥ 0
⇒ x6 ( x1997 – 1 ) + y8 ( y1997 – 1 ) + z10 ( z1997 – 1) ≥ 0
Mặt khác (*) cho x6 ( x1997 – 1 ) + y8 ( y1997 – 1 ) + z10 ( z1997 – 1) ≤ 0
Do vậy x6 ( x1997 – 1 ) + y8 ( y1997 – 1 ) + z10 ( z1997 – 1) = 0
Nên: x6 ( x1997 – 1 ) = 0 ; y8 ( y1997 – 1 ) = 0 ; z10 ( z1997 – 1) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 1 ; y = 0 hoặc y = 1 ; z = 0 hoặc z = 1
Ta nhận thấy chỉ có : (x = 0 ; y = 0 ; z = 1)
(x = 0 ; y = 1 ; z = 0)
(x = 1 ; y = 0 ; z = 0)
thỏa hệ phương trình
Vậy hệ có ba nghiệm là: (1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1)
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.50đ 0.50đ 0.25đ
0.25đ
Trang 3x4 + px + q ≥ 0 , ∀ x ⇔ 256 q3 ≥ 27 p4 (*)
b Chứng minh rằng nếu p, q nghiệm đúng (*) thì
qx4 + px3+ 1 ≥ 0 , ∀ x (**)
a Xét hàm số y = x4 + px + q
4 0
y = + = ⇔ = −
Và y// =12x2≥0,∀x
Suy ra:
Miny p + p − p + =− p p +q
−
4
4 4
3 4 4 4
Do đó:
4 4
3 ,
b x = 0 thì (**) đúng
x ≠ 0 thì (**) tương đương:
1 1 0
4
≥
+ +
x x p q
Đặt: = 1 ⇒t4 + pt+q≥0
x t
Bất đẳng thức này đúng vì p, q thỏa (*)
0.25đ 0.25đ
0.25đ
0.25đ 0.50đ
Câu4
Cho hàm số f ( x ) = 2 x2 − x − m Định m để giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn
[– 1 ; 1] đạt giá trị nhỏ nhất
2.50đ
Trang 4Parabol y = 2x2 – x + m có hoành độ đỉnh là xo =
4
1
∈[– 1 ; 1] nên
Maxf(x) = max
− ), (1)
4
1 ( , ) 1
f
= max
m m
8
1 ,
Nếu m > 0: tacó +m ≥ −1+m
8 1
Nếu m < 0: m đủ lớn ta có – 3 + m ≥ – 1 + m
0.25đ 0.25đ
0.25đ
Vậy:
M
8
1
; 3
Do đó: M ≥ – 3 + m
M ≥ +m
8 1
⇒ 2M ≥ – 3 + m + +m
8
1
≥ 3−m+81+m = 258
⇒ M ≥
16 25
Suy ra Min(M) =
16
25
.Dấu “ = ’’ xãy ra khi
8
1
3−m =m+
16
23
=
⇔m
0.50đ 0.25đ 0.25đ
0.50đ
0.25đ
Câu5 Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài
bằng 1 Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ? 1.00đ
H I A
B
C
S
D
0.25đ
Giả sử SA = BC = x, các cạnh khác của tứ diện có độ dài bằng 1 Gọi I, D lần lượt là
trung điểm của BC & SA
Ta có: SA ⊥(BCD) Do đó:
Trang 5V dt BCD SA BC ID SA
6
1
3
1
=
∆
=
mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = 1 –
2
2
x
Suy ra:
2 2 2 4 2 2
12
1 2
1 6
1
x x
x x
Vì vậy:
3 9
2
=
MaxV đạt tại x =
3
3 2
0.50đ
0.25đ
0.25đ