Kẻ phân giác AD.. Gọi M và N lần lợt là hình chiếu của D trên AB và AC.
Trang 1phòng giáo dục - đào tạo đức thọ
đề thi olympic huyện năm học 2010 2011–
Môn toán lớp 8 Thời gian: 120 phút
Bài 1: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3− + +b3 c3 3abc
2) Cho a3−3ab2 =5 và b3−3a b 102 = Tính S = a2+b2
Bài 2: 1) Giải phơng trình: x8−2x4+ − + =x2 2x 2 0
2) Có tồn tại hay không số nguyên dơng n sao cho n6+26n =212011
Bài 3: Rút gọn biểu thức A = 233 1 333 1 2011 133
Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A, có AB < AC Kẻ phân giác AD Gọi M và N lần lợt là hình chiếu của D trên AB và AC BN cắt CM tại K, AK cắt DM tại I, BN cắt DM tại E, CM cắt DN tại F
1) Chứng minh rằng EF // BC
2) Chứng minh rằng K là trực tâm của ∆AEF
3) Tính số đo của ảBID
Bài 5: Cho a, b, c, d, e > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d + e = 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (a b c d a b c a b) ( ) ( )
P
abcde
=
L u ý : Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào
Hết
-Lời giải tóm tắt
Bài 1: (5 điểm)
1) (3 điểm) a3− + +b3 c3 3abc = ( )3 ( ) 3
a b c− + a b− −c a b− +c +3ab a b c− +
= (a b c a− + ) ( 2+ + + + −b2 c2 ab bc ac) (1 đ)
2) (2 điểm) Ta có a3−3ab2=5 ⇒ ( 3 2)2
a −3ab =25 ⇒ a6−6a b4 2+9a b2 4 =25 (0,5 đ)
và b3−3a b 102 = ⇒ ( 3 2 )2
b −3a b =100 ⇒ b6−6a b2 4+9a b4 2 =100 (0,5 đ)
Suy ra 125 = 6 6 2 4 4 2 ( 2 2)3
a + +b 3a b +3a b = a +b Do đó S = a2+b2 = 5 (1 đ)
Bài 2: (5 điểm)
1) (3 điểm)x8−2x4+ − + =x2 2x 2 0 ⇔ x8−2x4+ + − + =1 x2 2x 1 0 ⇔ ( 4 )2 ( )2
x −1 + −x 1 =0 (1,5 đ) Vì ( 4 )2
x −1 ≥0; ( )2
Nên phơng trình tơng đơng
4
x 1 0
x 1 0
− =
− =
Trang 22) (2 điểm) Giả sử tồn tại n ∈ N* sao cho n6+26n=212011 Ta có 26n có tận cùng là 6 và 212011 có tận cùng là 1 Vậy n6 có tận cùng phải là 5, do đó n có tận cùng là 5 (0,5 đ)
Khi đó n6+26n =212011 có dạng ( )6 5 ( )5 402
⇔ 25 76+ =( ) 01 21 ⇔ 01 21= , vô lí (0,5 đ)
Vậy không tồn tại số nguyên dơng n thỏa mãn bài toán (0,5 đ)
Bài 3: (2 điểm) Nhận xét rằng mỗi số hạng của tổng có dạng
2 2
3
k 1 k k 1
k 1
1 3 3 1 2 4 4 1 2010 2012 2012 1
3 2 2 1 4 3 3 1 2012 2011 2011 1
=
1.2 2010 3 3 1 4 4 1 2012 2012 1 S
3.4 2012 2 2 1 3 3 1 2011 2011 1
=
= (20122 2011)
3.1006.2011
−
(1 đ)
Bài 4: (6 điểm) Vẽ hình không chính xác không cho điểm cả bài
1) (2 đ) Chứng minh đợc tứ giác AMDN
là hình vuông (0,5 đ)
FC =DC MA= =DN =ED (1đ)
hay MF ME
FC = ED ⇒ EF // DC
hay EF // BC (0,5 đ)
2) (2 đ) Theo định lí Thales ta có
hay AN NF
⇒∆NAF ∼∆ABN ⇒ ãNAF NBA=ã ⇒ AF ⊥ BN (0,5 đ)
Lập luận tơng tự có AE ⊥ CM Vậy K là trực tâm của ∆AEF (0,5 đ)
3) (2 đ) K là trực tâm của ∆AEF ⇒ AK ⊥ EF mà EF // BC ⇒ AK ⊥ BC (0,5 đ)
Kết hợp với DM ⊥ AB ⇒ I là trực tâm của ∆ABD
Vậy ảBID 180= 0−BAD 180ã = 0−450 =1350 (1 đ)
Bài 5: (2 điểm)
A
N
C D
B
M
K I
Trang 3Ta có ( )2 2 2 ( )2
x y− ≥ ⇔ +0 x 2xy y+ ≥4xy⇔ +x y ≥4xy Dấu “=” xảy ra khi x = y (0,5 đ)
áp dụng liên tiếp BĐT ( )2
x y+ ≥4xy ta có
42 = (a + b + c + d + e)2≥ 4(a + b + c + d)e (1)
(a + b + c + d)2≥ 4(a + b + c)d (2) (a + b + c)2≥ 4(a + b)c (3)
(a + b)2≥ 4ab (4)
Do a, b, c, d, e > 0 nên các vế của các BĐT trên đều dơng Nhân từng vế của chúng và rút gọn ta
đợc 16(a + b + c + d)(a + b + c)(a + b) ≥ 256abcde
⇒ (a b c d a b c a b) ( ) ( )
abcde
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
4
a b c d e
1 c
a b c d
2
+ + + + =
=
=
Vậy GTNN của P bằng 16 đạt đợc khi a = b = 1
4; c =
1
2; d = 1 và e = 2 (0,5 đ)
L u ý : Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa
Hết