Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng các viên bi có kích thước giống nhau, chỉ khác nhau về màu.. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó.. Tính xác suất để 4 viên bi
Trang 1TRƯỜNG THPT ĐÔNG THỌ KỲ THI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN : TOÁN
( Đề thi có 01 trang) Thời gian : 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2,0 điểm) Cho hàm số yx3 3x2 4 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng
y = mx – 2m tại ba điểm phân biệt
Câu 2 ( 2,0 điểm) Giải các phương trình:
cos
2
sin
sin 2 2
sin
3
x x
x x
b) 9x 3x1 2 0
Câu 3 ( 1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
f x x x trên đoạn 1;3
Câu 4 ( 1,0 điểm) Tính tích phân
1
0
I e dx
Câu 5 ( 1,0 điểm) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng
(các viên bi có kích thước giống nhau, chỉ khác nhau về màu) Chọn ngẫu nhiên
4 viên bi từ hộp đó Tính xác suất để 4 viên bi chọn ra không có đủ cả ba màu
Câu 6 ( 1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
A(2 ; 4 ; -1) , B(1 ; 4 ; 1) , C(2 ; 4 ; 1), D(2 ; 2 ; -1)
a)Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2 ; 4 ; -1) và đi qua điểm B(1 ; 4 ; 1) b) Tính góc giữa hai véc tơ AB
và CD
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B
và AB=4a, AC=5a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=3a Tính thể tích của khối chóp tam giác S.ABC theo a
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2 2
1 4 ( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
, ( ,x y R)
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
DETHITHUDH.NET
Trang 2SỞ GD & ĐT TUYÊN QUANG ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ LẦN I
TRƯỜNG THPT ĐÔNG THỌ KỲ THI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN : TOÁN
( Đáp án – thang điểm gồm 07 trang)
1
(2,0đ)
a) (1,0đ)
1/ Tập xác định: R
0,25
2/ Sự biến thiên
2
0 0
; 6
,
x
x y
x x y
0,25 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 0 và 2; ; hàm số nghịch biến
trên khoảng 0; 2 hoctoancapba.com
0,25
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 yCĐ = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 yCT = 0 0,25
Đồ thị hàm số không có tiệm cận 0,25 Bảng biến thiên
x 0 2
,
y + 0 - 0 +
y 4
0
0,25
3/Đồ thị: Đồ thị cắt Oy tại điểm (0;4), cắt Ox tại điểm (2;0), (1;0); đi qua
x
y
3 2
4
-1
0,25
DETHITHUDH.NET
Trang 3Gọi M x y ( ;0 0) là tiếp điểm, x0 1 y0 2
y x x, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là y,(1) 3
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 3 x 5
c) (0,5đ)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường
thẳng
y = mx – 2m tại ba điểm phân biệt
Phương trình hoành độ giao điểm: x3 – 3x2 + 4 = mx – 2m 0,25
(x – 2)(x2 – x – 2 – m) = 0 0,25
(*) 0 2
2 2
m x
x
để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = mx – 2m tại ba điểm phân biệt khi
và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 hoctoancapba 0,25
hay
0 2
2 2
0 4 9 2
m
0 4 9
m
Vậy với m (
4
9
2
(2,0đ) a) (1,0đ)Giải phương trình: sin2 .cos 2
sin 2 2 sin 3
x x
x x
ĐK: sin2x 0 =>
0 cos
0 sin
x
x
0,25 Phương trình trở thành :
2
2 2sin cos
0,25
DETHITHUDH.NET
Trang 4 2cos2 x 3cos x 1 0 cos 1
1 cos
2
x x
0,25
*)cosx = 1 sinx = 0 (loại) 0,25
3 2
1 cosx x k (kZ)
Vậy phương trình có nghiệm 2
3 k
x
0,25
b) (1,0đ) Giải phương trình: 9x 3x1 2 0
Đặt 3x t t ( 0) phương trình đã cho trở thành :
2
t
t
0,25 0,25
Với t = 2, ta được x log 23
Vậy phương trình có hai nghiệm x 0, x log 23
0,25
3
(1,0đ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
f x x x
trên đoạn 1;3
Ta có f x'( ) 4 x3 16 x;
'
x
x
0, 5
Ta có :
0,25
DETHITHUDH.NET
Trang 5 1;3 1;3
4
(1,0đ) Tính tích phân
1
0
I e dx
I e dx xe dx I I
0,25
1
1
0
1
0
0,25
Tính
1
2 0
x
I xe dx
Đặt
x
u x
dv e dx
du dx
v e
0,25
Do đó
1
0
1
I xe e dx e e
Vậy I 2015 e 2014
0,25
5
(1,0đ)
Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng (các viên bi
có kích thước giống nhau, chỉ khác nhau về màu) Chọn ngẫu nhiên 4 viên
bi từ hộp đó Tính xác suất để 4 viên bi chọn ra không có đủ cả ba màu
DETHITHUDH.NET
Trang 6Ta có số phần tử của không gian mẫu là: n ( ) C154 1365
Gọi A là biến cố “4 viên bi chọn ra không có đủ cả ba màu”
Khi đó biến cố đối A là“4 viên bi chọn ra có đủ cả ba màu
0,25
TH1 : 4 viên được chọn có 2 bi đỏ, 1 bi xanh và 1 bi vàng
Suy ra số cách chọn là C C C42. 51. 61
TH2 : 4 viên được chọn có 1 bi đỏ, 2 bi xanh và 1 bi vàng
Suy ra số cách chọn là C C C14. 52. 61
TH3 : 4 viên được chọn có 1 bi đỏ, 1 bi xanh và 2 bi vàng
Suy ra số cách chọn là C C C14. 51. 62
hoctoan capba.com
0,25
n A
n
0,25
6
(1,0đ)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2 ; 4 ; -1) ,
B(1 ; 4 ; 1) , C(2 ; 4 ; 1), D(2 ; 2 ; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A(2 ; 4 ; -1) và đi qua điểm B(1 ; 4 ;
1)
b) Tính góc giữa hai véc tơ AB
và CD
a
(0,5đ)
Ta có bán kính của mặt cầu (S) là
Vậy phương trình mặt cầu (S) là DETHITHUDH.NET( x 2)2 (y 4) 2 (z 1) 2 5 0,25
Trang 7(0,5đ) Ta có : AB ( 1;0;2), CD (0; 2; 2)
Góc giữa hai véc tơ AB
và CD
là
.
.
10
AB CD
AB CD
AB CD
0,25
7
(1,0đ)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB=4a,
AC=5a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=3a
Tính thể tích của khối chóp tam giác S.ABC theo a
3a
A
B
C
S
0,25
Do SA(ABC) nên SA là đường cao của khối chóp S.ABC
Trong tam giác vuông ABC
Ta có:
BC AC2 AB2 (5 )a 2(4 )a 2 3a
0,25
2
ABC
DETHITHUDH.NET
Trang 8Vậy thể tích của khối chóp tam giác S.ABC là
V =
3
1
SABC SA =6a (đvtt) 3
0,25
8
(1,0đ) Giải hệ phương trình:
2 2
1 4 ( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
, ( ,x y R)
Nhận xét: hệ không có nghiệm dạng (x0 ;0)
Vớiy 0, ta có:
2
2 2
2
1
4
1 4
.
x
x y y
x y
y
0,25
Đặt
2
1 ,
x
y
ta có hệ: 2 4 2 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
0,25
+) Với v 3,u 1ta có
hệ:
2, 5
Hệ pt có hai nghiệm là: (1; 2) và (-2; 5)
0,25
+) Với v 5,u 9ta có hệ:
1 9 1 9 9 46 0
,
Hệ này vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; )x y {(1; 2), ( 2; 5)}
0,25
Hết
DETHITHUDH.NET