Góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng ABCD bằng 60.. b Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng BDA’.. c Gọi N là trung điểm của CD, điểm P nằm trên đường thẳng A’D, điểm Q nằm trên đườ
Trang 1ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN; LỚP 12
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (3 điểm)
Cho hàm số y= − +x3 3x 2 (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y= − +5x 2
Câu 2 ( 3 điểm)
4
log 16 log 108 log 12
b) Giải phương trình: 4x+3.2x− =4 0
Câu 3 (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
1
x y x
= +
Câu 4 (3 điểm)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Góc giữa
đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0
a) Tính thể tích của khối hộp theo a
b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BDA’)
c) Gọi N là trung điểm của CD, điểm P nằm trên đường thẳng A’D, điểm Q nằm trên đường thẳng AB’ sao cho PQ song song với BN Tính theo a độ dài đoạn PQ
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:…………
Trang 2SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2014-2015
MÔN: TOÁN, LỚP 12
Câu 1.a) ( 2 điểm) Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số y = − x3 3 x + 2 (1)
m
*) Sự biến thiên
- Giới hạn: lim ; lim
1
x
x
=
= −
0,25
Ta có y ' > ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ 0 x ( ; 1) (1; ) và y ' < ∀ ∈ − 0 x ( 1;1) nên hàm số đồng biến
trên các khoảng ( −∞ − ; 1);(1; +∞ ) và nghịch biến trên khoảng ( 1;1) −
Hàm số đạt cực đại tại x = − 1, yCD = 4; hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0.
0,25
- Bảng biến thiên:
+∞
+∞
x
y’
y
-∞
-∞
-1
4
0
1
-+∞
+∞
x
y’
y
-∞
-∞
-1
4
0
1
-x
y’
y
-∞
-∞
-1
4
0
1
*) Đồ thị
4
2
-2
y
x
0,50
Trang 3Nội dung Điểm
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = − + 5 x 2 là
3
x − x + = − + x
0,25
3
x x
2
2
0
2 0
x
x
=
+ =
0,25
Với x = 0 ⇒ y = 2 Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng đã cho là
(0;2)
0,25
Câu 2.a ( 1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: 1 2
2 4
log 16 log 108 log 12.
2
2 4
2 log 4 log (2 3 ) log (2 3)
1 1 1
2 2
4
log − 4 log 2 log 3 log 2 log 3
2 2 3log 3 4 2log 3
2
log 3.
Câu 2.b ( 1,5 điểm) Giải phương trình: 4x + 3.2x − = 4 0
Đặt t = 2x, t > 0 phương trình đã cho trở thành: t2 + − = 3 t 4 0. 0,50
Với t = 1 suy ra 2x = ⇔ = 1 x 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. 0,50
Câu 3 (1 điểm) Tìm GTLN, NN của hàm số 2
1
x y x
= +
m
*) Tập xác định: D = ℝ
*) Sự biến thiên
0,25
Trang 4- Giới hạn:
-Chiều biến thiên: Ta có
2
1
1
x
x
=
= −
0,25
- Bảng biến thiên:
+∞
0
x
y’
y
-∞
0
-1
1/2
1/2
1
+
+∞
0
x
y’
y
-∞
0
-1
1/2
1/2
1
Từ bảng biến thiên ta suy ra
- Hàm số đạt GTLN bằng 1
2 tại x = 1, GTNN bằng 1
2
Câu 4.a (1 điểm) Tính thể tích hình hộp
Ta có SABCD = a2, tứ giác ABCD là hình vuông nên AC = a 2 0,25
Góc giữa A’C và mặt đáy là 0
A CA = Xét tam giác vuông A’CA, ta có
AC
0,25
P Q
O M
N
C' B'
D'
A
D A'
H
Trang 5Câu 4.b (1 điểm) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BDA’)
Gọi O là giao điểm của AC và BD Hạ AH ⊥ A O ' ( H ∈ A O ' ) (1) 0,25
'
BD AC
BD A AO BD AH
BD A A
⊥
⊥
0,25
Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥ ( ' A BD ) ⇒ d A A BD ( ,( ' )) = AH 0,25
Xét tam giác vuông A’AO, ta có
a AH
AH = AA + AO = a + a = a ⇒ =
13
a
d A A BD =
0,25
Câu 4.c (1 điểm) Gọi N là trung điểm của CD, điểm P nằm trên đường thẳng A’D, điểm Q nằm
trên đường thẳng AB’ sao cho PQ song song với BN Tính theo a độ dài đoan PQ
Ta có A’D và AB’ là hai đường thẳng chéo nhau Giả sử có , P Q thoả mãn điều kiện bài
P A D P A DQ
A DQ AB P PQ
Q AB Q AB P
0,25
Giả sử A’Q cắt AB tại M Vì BN//PQ suy ra BN//(A’DQ) hay BN//(A’DM) Mặt phẳng
(ABCD) chứa BN và cắt mặt phẳng (A’DM) theo giao tuyến DM nên BN//DM 0,25
Suy ra M là trung điểm AB Từ đó ta tìm các điểm P, Q như sau:
- Gọi M là trung điểm AB, nối A’M cắt AB’ tại Q
- Trong mặt phẳng (A’DM), qua Q kẻ đường thẳng song song với DM cắt A’D tại P
Đoạn thẳng PQ thỏa mãn các điều kiện của bài toán
0,25
a
- Hết -