Sở GD & ĐT Thanh hoá
Thời gian : 150 phút
Câu 1:
Thay dấu * bởi các chữ số sao cho
5 * * * * * 4 là một số nguyên (Bài 76 trang 22 sách “ 255 bài toán đại số chọn lọc “ của Vũ Dơng Thuỵ)
Câu 2:
Cho a , b , c , x , y , z thoả mãn hệ phơng trình
= + +
=
=
1 1 1 1
3 3 3
z y x
cz by ax
Chứng minh rằng : 3 ax2 +by2 +cz2 = 3 a+ 3 b+ 3 c
(Đề 33 “Ôn thi vào 10 Vũ Đinh Hoàng “ )
Câu 3:
Chứng minh rằng :Điều kiện cần và đủ để phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là: (k+1)2ac = kb2
(Đề 2 “ Giả toán đại số “ Nguyễn Cam )
Câu 4:
a) Cho hai dãy số cùng chiều : a1 ≤ a2 ≤ a3
b1 ≤ b2 ≤ b3
Chứng minh rằng : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3)
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 1998 )
b) Chứng minh rằng : với 0 ≤a≤b≤c
c b a c
b a
c b a
+ +
≤ +
+
+
2006 2006 2006
2005 2005 2005
(sáng tác )
Câu 5:
ở miền trong hình vuông ABCD lấy điểm M sao cho ∠MBA= ∠MAB= 15 0
Chứng minh rằng : Tam gác MCD đều (sáng tác)
đáp án và thang điểm
I
đặt 5 * * * * 4 =x thì x5 = *****4
⇒x tận cùng bởi 4 Lại có 10 < x < 20 vì 105 =100000<*****4 <32.100000=205
Do đó x=14 và x5 = 145 =537824
∑3
0,5 1 1 0,5 II
0,5
Trang 2⇒ax2 =
x
t ; by2 =
y
t
; cz2 =
z
t (Do x, y, z đều khác 0)
z y x
t1+1 +1=
3
cz by
Từ (*) suy ra
x
t a a x
3
3 = ⇒ =
y
t b b y
3
3 = ⇒ =
z
t c c z
3
3 = ⇒ =
t z y x
t + + = (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 3 ax 2 + by 2 + cz 2 = 3 a + 3 b + 3 c
0,75 1 0,75
0,75 1 0,25
III
Giả sử phơng trình ax2 +bx +c = 0 có nghiệm này bằng klần
nghiệm kia thì;
(x1 - kx2)(x2 - kx1 ) = 0
⇔(1+k2)x1 x2 - k(x1 + x2 )=0
⇔ (1+k2)x1 x2 -k[(x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 ] = 0
⇔ (1+k2)
a
c - k 2 2 0
2
=
a
c a
a
b
− ; x
1 x2 =
a
c )
⇔ (1+k2)ac - k(b2 - 2ac)=0
⇔ (2k+1+k2)ac = kb2
⇔ (k+1)2ac = kb2
Ngợc lại ; Nếu có (k+1)2ac = kb2
Khi đó (k+1)2 ∆ = (b2 - 4ac) (k+1)2 = b2(k+1)2 - 4ac(k+1)2
= b2(k+1)2 - 4kb2 = b2[(k+1)2 - 4k] = b2 (k-1)2 ≥ 0
⇒ ∆ ≥ 0 ⇒phơng trình có hai nghiệm
Vậy :Điều kiện cần và đủ để phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai
nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là:
(k+1)2ac = kb2
∑4
0,5 0,5 0,5 0,5
1 0,5 0,5
IV
a Do a1 ≤ a2 ≤ a3 ⇒ a1 - a2 ≤ 0
a1 - a3 ≤ 0
a2 - a3 ≤ 0
và b1 ≤ b2 ≤ b3 ⇒ b1 - b2 ≤ 0
b1 - b3 ≤ 0
b2 - b3 ≤ 0
⇒ (a1 - a2)(b1 - b2) + (a1 - a3)(b1 - b3) + (a2 - a3)(b2 - b3)≥ 0
⇔ 2(a1b1+ a2b2 + a3b3)- a1b2 - a2 b1 - a1 b3 - a3b1 - a2b3 - a3b2 ≥ 0
⇔ a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 +a 1 b 2 +a 2 b 1 +a 1 b 3 +a 3 b 1 + a 2 b 3 +a 3 b 2 ≤ 3(a 1 b 1 +a 2 b 2 + a 3 b 3 )
⇔ a1(b1+ b2+b3)+ a2(b1+ b2+b3)+ a3(b1+ b2+b3)≤3(a 1 b 1 +a 2 b 2 + a 3 b 3 )
⇔ ( a 1 + a 2 + a 3 )( b1+ b2+b3)≤ 3(a 1 b 1 +a 2 b 2 + a 3 b 3 )
∑4
0,5 0,5
Trang 3b Đặt a1 = a2005 ; a2 = b2005 ; a3 = c2005
b1 =
c b a
a
+
b
+
c
+ +
Do 0 ≤ a ≤ b ≤c Nên ta có ; a1 ≤ a2 ≤ a3 và b1 ≤ b2 ≤ b3
áp dụng câu a ta có;
+ +
+ + +
+ +
c c
b a
b c
b a
a
≤3
+ +
+ +
c b a
c b
a2006 2006 2006
⇔
c b a c
b a
c b a
+ +
≤ +
+
+
2006 2006 2006
2005 2005 2005
0,5 0,5
1
V A B
D C
Xác định điểm I trong tam giác MDA sao cho tam giác MIA là tam
giác đều
Ta có ∠IAD=900-150-600=150=∠ MAB
AB=AD
AM=AI
⇒ ∠ MID=3600-1500-600=1500
Xét ∆IDM và ∆IDA
có ID chung
từ (1) và (2) ta có ∆DMC đều
∑4
1
1
1
1 M
I