aChứng minh tứ giác MNEF nội tiếp.. b Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF .Chứng minh rằng khi góc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định.. Thí
Trang 1/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/qhn1438051721-1768428-14380517211629/qhn1438051721.doc
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN - THCS
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu1( 3,0 điểm)
a) Giải phương trình trên tập nguyên
x 2 + 5y 2 − 4xy + 4x − 8y − 12 = 0
b)Cho P(x) = x 3 − 3x 2 + 14x − 2
Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11
Câu 2( 4,0 điểm)
a) Tính gía trị biểu thức
2 5a 4a a
2 3a a
3
− +
−
+
−
= , biết a = 3 55 + 3024 + 3 55 − 3024 b) Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn x3 =3x−1;y3 =3y−1,z3 =3z−1
Chứng minh rằng x 2 + y 2 + z 2 = 6
Câu 3( 4,0 điểm)
a) Giải phương trình 3x 1
4x
1 x 1
b) Giải hệ phương trình:
=
− + +
−
=
− + +
− +
0 3 y 2x y x
0 4 8y x 4xy 2y
3x 2 2
2 2
Câu 4( 7,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC không đi qua tâm Gọi A là chính giữa cung nhỏ BC.Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng α không đổi sao cho E và F khác phía với điểm A qua BC ;AE và AF cắt BC lần lượt tại M và N Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành
a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh rằng khi góc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định
c) Khi α = 60 0 và BC=R ,tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn OI
Câu 5( 2,0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3
Chứng minh rằng
-Hêt—
Họ và tên thí sinh số báo danh
Thí sinh không sử dụng tài liệu,Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2HƯỚNG DẪNCâu1( 3,0 điểm)
a) Giải phương trình trên tập nguyên
HD:x 2 + 5y 2 − 4xy + 4x − 8y − 12 = 0 ⇔ x2 − 4x(y− 1 ) − ( 5y 2 − 8y − 12) = 0(*)
để PT(*) có nghiệm nguyên x thì ∆ / chính phương
16
từ đó tìm được ( ) ( )x;y ∈{ 2 ; 0 ;(− 6 ; 0) (; − 10 ; − 4) ( ) }; 6 ; 4 ;
b)Cho P(x) = x 3 − 3x 2 + 14x − 2
Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11
HD P(x) = x 3 − 3x 2 + 14x − 2 = (x - 2)(x 2 - x + 12) + 22
để P(x) chia hết 11 thì (x - 2)(x 2 - x + 12) 11
mà (x 2 - x + 12) = x(x - 1) + 1 + 11 ta có x(x− 1 ) + 1 không chia hết cho 11
suy ra (x 2 - x + 12) không chia hết cho 11 nên x-2 chia hết co 11 mà x<100 ;x∈N
suy ra x∈{2 ; 13 ; 22 ; 35 ; 47 ; 57 ; 68 ; 79 ; 90}
Câu 2( 4,0 điểm)
a)Tính gía trị biểu thức
2 5a 4a a
2 3a a
3
− +
−
+
−
= , biết a = 3 55 + 3024 + 3 55 − 3024
HD tính a=5 thay vào
3
7
=
P
b)Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn x3 =3x−1;y3 =3y−1,z3 =3z−1
Chứng minh rằng x 2 + y 2 + z 2 = 6
HD công cả ba đảng thức ta có hệ
= + +
= + +
= + +
⇔
−
=
−
−
=
−
−
=
−
⇔
−
=
−
=
−
=
) 3 ( 3
) 2 ( 3
) 1 ( 3 )
( 3
) ( 3
) ( 3 1
3
1 3
1 3
2 2
2 2
2 2
3 3
3 3
3 3
3 3 3
z xz x
z zy y
y xy x x
z x z
z y z
y
y x y
x z
z
y y
x x
cộng (1) ;(2) ;(3) ta có 2 (x2 +y2 +z2 ) +xy+ yz+xz= 9(*)
mà tù x+y+z=0 suy ra
2
2 2
x xz yz
xy+ + =− + + thay vaò (*) ta có đpcm
Câu 3( 4,0 điểm)
a) Giải phương trình 3x 1
4x
1 x 1
HD đkxđ
3
1
−
≥
x
+ +
=
−
+ +
=
⇔ + +
=
⇔ +
=
− +
−
1 3 2 4
1 3 2 4 1
3 2 16
1 3x 4x
1 x 1
x x x
x x x x
x x
giải ra pt có 2 nghiệm x=1;
72
153
3 −
=
x
b) Giải hệ phương trình:
=
− + +
−
=
− + +
− +
0 3 y 2x y x
0 4 8y x 4xy 2y
3x 2 2
2 2
Trang 3
=
− + +
−
=
− + +
− +
⇔
=
− + +
−
=
− + +
−
+
0(2) 6 y 2 4x y 2 2x
0(1) 4 8y x 4xy 2y
3x 0
3 y 2x
y
x
0 4 8y x 4xy 2y
3x
2 2
2 2
2
2
2
2
lấy pt(1) trù pt(2) ta được
+
=
+
=
⇔
=
−
−
−
−
⇔
= +
−
−
−
2 2
1
2
0 ) 2 2 )(
1 2 ( 0 2 ) 2 (
3
y
x
y
x
y x y x y
x y
x
thay vào phương trình x2 −y2 + 2x+ y− 3 = 0 hệ có 4 nghiệm
( ) ( ) ( )
− − − −
− + − +
−
−
∈
6
109 13
; 3
109 7
; 6
109 13
; 3
109 7
; 3 5
;
0
;
1
; y
x
Câu 4( 7,0 điểm)
a) ∠ENB=∠EFM suy ra ∠ENM+∠EFM=1800
b)gọi giao (O) và (I) tiếp tam giác MDF tại P ta có ∠DPF=∠DMF =∠EAF=α
mặt khác ∠EAF=∠EPF nên ∠EPF=DPF nên E;D;P thẳng hàng suy ra EP//BC mà
EP AO BC
AO⊥ ⇒ ⊥ gọi AO cắt EP tại H ;OI cắt PF tại K thì K là trung điểm FP và OI vuông góc FP nên tứ giác OHKP nội tiếp suy ra ∠HOI=∠HPF=α( không đổi)
suy ra I thuộc tia Ox tạo với tia AO một góc bằng α
c) khi BC=R ; ∠EAF==600 thì tam giác OBC đều suy ra IO đi qua B ta chứng minh được OI min khi F trùng P khi đó EF//BC tam giác AMN; MDF đều khi đó IM//AO áp dụng Talet tam giác BIM có AO//IM tính được OI
Hướng dẫn
2
2 2 2 3
2
9
9
x y z
P
xy yz xz xy yz xz
xy yz xz
xy yz xz
P
xy yz xz xy yz xz
xy yz xz x y z
P
+ + + +
+ + + +
+ +
y z
3
x y z xyz t= ≤ + + =
2
36
12 3
t
− Bất đẳng thức được chứng minh dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1
GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao