Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - số 9

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

môn toán

Đề đề xuất Thời gian150’

Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:

a\ Rút gọn biểu thức P

b\ Chứng minh rằng: 0<P<32/9 ∀x≠ ± 1

Bài 2:(4đ) Cho parabol (P): 2

2

1

x

y= − , điểm I(0;2) và điểm M(m;0)

0

≠

∀m

a\ Vẽ (P)

b\ Gọi d là đờng thẳng đi qua I và m Chứng minh rằng đờng thẳng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B

c\ Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên trục Ox Chứng minh rằng tam giác IHK vuông

d\ Chứng minh rằng độ dài đoạn AB>4 ∀m≠ 0

Bài 3:(4đ) Cho phơng trình: (m-1)x2-2(m-2)x+m+1=0

a Giải và biện luận theo thámố m

b Khi phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2

độc lập với tham số m

Bài 4(6đ) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O) và các cạnhBC, CA, AB lần lợt là D, E, F Kẻ BB1 ⊥ AO , AA1 ⊥BO

Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng

Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

y2=-2(x6-x3y-32)

đáp án Đề thi học sinh giỏi lớp 9

môn toán

Đề đề xuất Thời gian150’

=

) 1 )(

1 (

4 )

1 )(

1 (

1 )

1 )(

1 (

3

2 4 2

2 2

2 − x −x+ − x − x +x+ − x− x +x +

1

4 1

1 1

3

2 3 4 5 3

4 3

4 − + − − + − − − − + − + −

=

x x x x x x x x x x x P

1

4 1

1 1

3

2 3 4 5 3

4 3

4 − + − − + − − − − + − + −

=

x x x x x x x x x x x P

Khi đó

) 1 )(

1 (

4 )

1 )(

1 (

1 )

1 (

3

4 2

4 2

2 2

+ +

−

− + +

−

− +

− + +

=

x x x x

x x

x x x

x

=

) 1 )(

1 (

4 4 2 4 2

2 4 2

2

+ +

−

−

− + +

x x x

x

) 1 (

2 2

4 + +

=

⇒

x x

b\

Ta có x4 +x2 +1=(x2+1/2)2 +3/4 >0 0.5đ

) 1 (

2 2

4 + +

=

⇒

x x

Xét







+ +

=

−

4

3 ) 2

1 ( 9

14 32

32 9

32

2 2

2 4

x

x x

p

) 1 (

2 2

4 + +

=

⇒

x x

Bài 2:

2

1

x

y=

Bảng giá trị:

0.5đ

Đồ thị:

2

-2 -1 O 1 2 x

c Phơng trình đờng thẳng d có dạng y=ax + b 0.25đ

do d đi qua 2 điểm M(m;0) và I(0;-2) do đó ta có:















−

=

=

⇔

+

=

=

m a

b b

am

b

2

2 0

2

Đờng thẳng d là: y

m

2

−

Khi đó hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của phơng trình:

2

2 2

1 2 = − x+

m

0 0

4 4 '

0 4 4 2

2

≠

∀

>

+

=

∆

=

− +

⇔

m m

m x mx

Suy ra phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt Hay d luôn cắt (P) tai j2 điểm phân biệt A, B ∀m≠ 0 0.25đ

d Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên truc Ox, ta có:

( xH; xA; xK ; xB lần lợt là hoành độ của điểm H, A, K, B)

Do I(0;2) thuộc Oy nên HI2 = OI2 + HO2 = 4 +xA2 0.25đ

KI2=KO2 +OI2 = xB2 + 4 0.25đ

HI2 + KI2 = 8 +xA + xB =(xA - xB)2 vì xAxB = -4

= HK2 nên tam giác HKI vuông tại I 0.25đ

e Do xA, xB là nghiệm của phơng trình

0 0

4 4

2 + − = ∀ ≠

Theo viét ta có:









−

= +

4

4

B A

B A

x

x x

Mà A, B thuộc (P)











=

=

⇒

2 2

2

12

1

x y

x y

B A

2

) (x A x B y A y B

= =

4

4 )

8 1 )(

1 1 (

>

⇒

∀

>

+ +

AB

m m

0.25đ Bài 3:

a Giải và biện luận phơng trình

(m-1)x2-2(m-2)x+m+1=0

+ Nếu m-1=0 ⇔m= 1 ⇒ ( 1 ) ⇔ 2x= − 2 ⇔ x= − 1 0.5đ

+ Nếu m− 1 ≠ 0 ⇔m≠ 1

Ta có:

5 4

1 )

2 (

+

−

=

+

−

−

=

∆

m

m m

4

5 0

' < ⇔m> ⇒ pt

4

5 0

' = ⇔m= ⇒ pt

4

5 0

' > ⇔m< ⇒ pt

1

5 4 2

+

−

−

−

=

m

m m

x

1

5 4 2

+

− +

−

=

m

m m

Kết luận: Với m=1, pt(1) có ngiệm duy nhất x=-1

Với m=5/4, pt(1) có ngiệm kép x=-3 Với m<5/4 và m ≠ 1 pt(1) có 2 ngiệm phân biệt

1

5 4 2

+

−

−

−

=

m

m m

x

1

5 4 2

+

− +

−

=

m

m m

Với m>5/4 thì phơng trình (1) vô nghiệm

b Với









≠

≤

1 4

5

m m

3 2

2

1

2 1

1

1 1

1

11 2

1 2 1

1

2 1

1

2 1

= +

+

⇒

− +

=

−

−

= +

⇔











−

+

=

−

−

= +

x x x x

m x

x

m x

x m

m x x

m

m x x

0.5đ

Kết luận: Hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với tham số m là

3 2

Bài 4:

A

O A1

B B1

D

C

Theo bài ra ta có:

B B A B

AA1∧ = ˆ1 =900

Suy ra tứ giác AA1 B1 B nôi tiép trong một đờng tròn 0.5đ

1 1

1B A B ˆB

BA∧ =

Mặt khác: AE∧O=A AˆO=1V ⇒

1

1

1A E O ˆA

EA∧ =

mà

1 1 0

1 1

, , 90

ˆ ˆ

ˆ

B A E A

O E E A O

E A B BAB

⇒

= +

=

∧

Tơng tự: ta có tứ giác AA1B1B nội tiếp

Theo bài ra ta có:

B B A B

AA1∧ = ˆ1 =900

Suy ra tứ giác AA1 B1 B nôi tiép trong một đờng tròn 0.5đ

A B A A

B

A1∧1 = 1ˆ

V B B O B

B O D B

DB∧1 = ˆ

mà

A B O O B D

B O D O B D

O B D DOB

ˆ ˆ

90 ˆ ˆ

ˆ

0

=

= +

=

∧

Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau 0.5đ

1 1 1

1B B Bˆ A A Bˆ A 180

Từ (*) , (**) suy ra A1, D, B1, E thẳng hàng 0.5đ Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

y2=-2(x6-x3y-32)

0.5đ 0.25đ 0.25đ

64 ) ( ) (

64 ) (

64 2

2

3 3

2

3 6

2 3 6

=

− +

⇔

=

− +

⇔

= + +

⇔

y x x

y x x

y y x x

V× x∈Z ⇒x2∈N

VËy x chØ cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ { 0; 1; 2 } 0.5® Suy ra cÆp nghiÖm nghuyªn cÇn t×m lµ: