b Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M.. Tính chu vi tam giác ABC.
Trang 1PHÒNG GD - ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN TĨNH GIA NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn Toán học lớp 9
Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề )
Bài 1: (2,0 điểm)
1- Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c = 0.
Chứng minh:
c b a c b a
1 1 1 1 1 1
2 2
2- Tính giá trị của biểu thức
3
1 2
1
4
1 3
1
2012
1 2011
1
2013
1 2012
1
Bài 2: (3,0 điểm)
1- Tìm giá trị của k để các đường thẳng (d1): y = 2x + 5, (d2): y = -2x + 1 và
(d3): y = (2k – 1)x + (k + 4) cùng đi qua một điểm
2- Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)
a) Viết phương trình đường thẳng AB
b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M
Bài 3: (2,0 điểm)
1- Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết chu vi tam giác AHB là 30 cm, chu vi tam giác AHC là 40 cm Tính chu vi tam giác ABC
2- Cho N =
2
+ + a ab
a
+
1
+ + b bc
b
+
2 2
2
+ + c ca
c
Biết abc = 4, Tính N
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có Bˆ = 20 0 Vẽ phân giác trong BI, vẽ A CˆH = 30 0
về phía trong tam giác (H∈AB) Tính C ˆ H I
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho z ≥ y ≥ x > 0 Chứng minh rằng:
+ +
≤ + +
+
z x z x z x y y x
Chú ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2ỜI GIẢI Bài 1 :
1- Ta có:
2
2
c b a
+ +
Suy ra: 12 12 12 1 1 1
a +b +c = + +a b c
2- Xét k N k∈ , ≥ 2 Ta có:
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
1
Cho k = 3, 4, 5, , 2012, 2013 Ta có:
M = + − + + − + + + − + + −
Bài 2 :
1- Ta thấy (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm M trong mặt phẳng tọa độ.Khi đó tọa độ điểm M phải thỏa mãn đồng thời 2 phương trình:
y = 2x+5 và y = -2x+1
Suy ra: 2x+5 = -2x+1⇔x = -1 ⇒y = 3 ⇒M(-1;3)
Để (d1), (d2) và (d3) cùng đi qua một điểm , phải có M∈(d3) Do đó:
(2k-1).(-1) + (k+4) = 3 ⇒ k = 2
Vậy k = 2
2-
a) Gọi phương trình đường thẳng AB là: (d): y=ax+b
Vì (d) đi qua A(5;2) và B(3;-4) nên: 53a b a b+ =+ = −24⇒a b= −=313
Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = 3x-13
b) Gọi M(xM;0) là điểm nằm trên trục hoành sao cho tam giác MAB cân tại M
Ta có: MA2 = (xM-5)2 + (0-2)2 = xM2 -10xM +29
Trang 3MB2 = (xM-3)2 + (0+4)2 = xM2 -6xM +25
Vì MA = MB nên xM2 -10xM +29 = xM2 -6xM +25 ⇒xM = 1 ⇒M(1;0)
thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy M = (1;0)
Bài 3 :
1- Gọi P1, P2, P3 lần lượt là chu vi các tam giác AHB, CHA, CAB
Dễ thấy: ∆AHB ∆CHA nên:
1
2
AB AC BC
+
+
Mà ∆AHB ∆CHA ∆CAB , suy ra:
P1 : P2 : P3 = AB: AC: BC = 3: 4: 5
Mà : P1 = 30cm; P2 = 40cm nên P3 = 50cm
Vậy chu vi tam giác ABC bằng 50cm
2- ĐKXĐ: a, b, c≥ 0 mà abc = 4 nên a, b, c >0 và abc = 2 Ta có:
2
2
2
2
2
2
N
ab a
N
ab a
(vì N>0) Vậy N = 1
Bài 4 :
Dễ thấy BCH· = 40 0
Kẻ phân giác CK của ·BCH⇒BCK· =·KCH = 20 0
Tam giác vuông ACH có
(tính chất đường phân giác của ·BCH ) (1)
Kẻ KM ⊥BC tại M, dễ thấy tam giác BMK và tam giác BAC đồng dạng
2
do
BC = BK ⇒BC = BK = HK
Mặt khác do BI là phân giác của ·ABC nên: IA AB ( )3
IC = BC
B
A
_B
_A
_C _I
_H _
K
_M
Trang 4Từ (2) và (3) suy ra: · · 0
IA AH
Vậy : CHI· = 20 0
Bài 5 : Bài này đề sai vì cho z =2, x=y=1 thì VT = 5 > 4,5 = VP
⇒Đpcm