Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC.. Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành.. Với điểm M lấy bất kỳ thuộc cung nhỏ BC , gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M
Trang 1GV: VÕ MỘNG TRÌNH – TRƯỜNG THCS CÁT MINH – HUYỆN PHÙ CÁT – TỈNH BÌNH ĐỊNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY : 18 – 3 – 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN
Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 18 /3/2014
-Bài 1 ( 6 ,0 điểm)
a Giải phương trình: x2− − x 6 + x2 – x – 18 = 0
b Tìm hai số nguyên dương khác nhau x , y thõa mãn :
x3 + 7y = y3 + 7x
Bài 2 ( 2,0 điểm)
Tính tổng sau :
S = 1 12 12
+ + + 1 12 12
+ + + … + 1 1 2 1 2
2013 2014
Bài 3 ( 3,0 điểm)
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:
2
4 1
x
−
− = 3x + m , trong đó m là tham số Tìm m
để biểu thức x1− x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4 ( 6 ,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở
B, tam giác ACE vuông cân ở C CD cắt AB tại M; BE cắt AC tại N
a Tính DM biết AM = 3 cm, AC = 4 cm.
b Chứng minh : AM = AN
2 Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và H là trực tâm của tam giác ABC Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC.
a Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành.
b Với điểm M lấy bất kỳ thuộc cung nhỏ BC , gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC Chứng minh rằng ba điểm N, H, E thẳng hàng.
Bài 5 ( 3, 0 điểm)
Chứng minh rằng : 2 ( ) 3 3
− +
− + , với 2 ≤ a, b, c, d ≤ 3
Trang 2-GV: VÕ MỘNG TRÌNH – TRƯỜNG THCS CÁT MINH – HUYỆN PHÙ CÁT – TỈNH BÌNH ĐỊNH
Bài: (TS Lê Hồng Phong TPHCM: 2001 – 2002 HSG Bình Đình: 2013 - 2014)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm là H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC.
a) Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Với M lấy bất kì thuộc cung nhỏ BC; gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp.
c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng.
d) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung nhỏ BC để cho NE có độ dài lớn nhất.
Giải
a) Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành.
Ta có: BH ⊥ AC; CH ⊥ AB (vì H là trực tâm tam giác ABC)
Tứ giác BHCM là hình bình hành
⇔ BH // MC và CH // MB
⇔ AC ⊥ MC và AB ⊥ MB
⇔ AM là đường kính của (O)
⇔ M là điểm đối xứng của A qua O.
b) Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp.
Ta có: ¶ M1= ¶ N1(T/c đối xứng trục)
¶ µ
M = C (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
¶ µ
AHB C + =
c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng.
Tứ giác NAHB nội tiếp ¶ µ
⇒ = , mà µ A1 = ¶ A2(T/c đối xứng trục) ⇒ H ¶ 1 = ¶ A2 Chứng minh tương tự, ta cũng có: ¶ µ
Ta có: · BAC BHC + · = 1800
180
d) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung nhỏ BC để cho NE có độ dài lớn nhất.
Ta có: · NAE = 2 · BAC Kẻ AK ⊥ NE tại K
Ta có: AM = AN; AM = AE (Tính chất đối xứng trục)
⇒ AE = AN ⇒ ∆ ANE cân Mà: AK là đường cao
⇒ AK là trung tuyến, là phân giác
⇒ · NAE = 2 · NAK NE ; = 2 NK
2
NE NK
Do đó: · BAC = NAK ·
Tam giác KAN vuông tại K ⇒ NK = AN.sin ·NAK
Do đó: NE = 2AN sin ·NAK = 2AM.sin ·BAC ≤ 2 sin R BAC · (vì AM ≤ 2 ; sin R BAC · : Không đổi)
Do đó: NE lớn nhất ⇔ AM lớn nhất
⇔ AM là đường kính của đường tròn (O)
⇔ M đối xứng với A qua O
Vậy khi M là điểm đối xứng của A qua O thì NE lớn nhất.
Trang 3GV: VÕ MỘNG TRÌNH – TRƯỜNG THCS CÁT MINH – HUYỆN PHÙ CÁT – TỈNH BÌNH ĐỊNH
Bài 5 ( 3, 0 điểm)
Chứng minh rằng : 2 ( ) 3 3
− +
− + , với 2 ≤ a, b, c, d ≤ 3
Lời giải :
Vì 2 ≤ a, b, c, d ≤ 3 nên :
( 3 – a)(d – 2) ≥ 0 ⇔ 2a + 3d – ad ≥ 6
⇒ tử : a(c – d) + 3d = ac + 3d – ad ≥ 2a + 3d – ad ≥ 6
Lại có : (b – 3)( c – 3) ≥ 0 ⇔ 3c – bc + 3b ≤ 9
⇒ mẫu : b(d – c) + 3c = 3c – bc + bd ≤ 3c – bc + 3b ≤ 9
Do đó M = a c d b d c ( ( − + ) 3 ) 3 d c
9 = 3
Tương tự : (3 – b)(c – 2 ) ≥ 0 ⇔ 3c – bc + 2b ≥ 6
⇒ mẫu : b(d – c) + 3c = 3c – bc + bd ≥ 3c – bc + 2b ≥ 6
Và ( a – 3)( d – 3) ≥ 0 ⇔ 3d – ad + 3a ≤ 9
⇒ tử : a(c – d) + 3d = ac + 3d – ad ≤ 3a + 3d – ad ≤ 9
Do đó M = a c d b d c ( ( − + ) 3 ) 3 d c
6 = 2