thi thử đại học môn toán, năm 2013, đề số 2

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 7,0 điểm.. Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Trên mp P cho đường tr?n T đường kính AB bằng 2R.. Mặt phẳng Q đi qua A và vuông góc với SB c

SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Môn: Toán - Khối A, A1,B.

www.MATHVN.com Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/ 12/ 2012.

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm).

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=

− (C)

1 Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2 T?m các giá trị của mđể hệ phương trình sau có đúng 4 nghiệm nguyên:

− − − =



 − + − + − =



Câu II (2,0 điểm).

1 Giải phương tr?nh: 2 cos 3 cos + 3(1 sin 2 ) = 2 3 cos (22 )

4

2 Giải phương tr?nh: + = 2x − 5x − 1

Câu III (1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số mđể bất phương tr?nh: x(2− +x) m x( 2−2x+ + ≤2 1) 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn 0; 1+ 3.

Câu IV (1,0 điểm) Trên mp (P) cho đường tr?n (T) đường kính AB bằng 2R S là một điểm nằm trên đường thẳng

vuông góc với (P) tại A Đặt SA = h Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SB cắt SB tại K C là một điểm nằm trên đường tr?n (T) sao cho · , (0 )

2

BAC=α < <α π

SC cắt mp (Q) tại H Tính thể tích tứ diện SAHK theo

h, R và α .

Câu V (1,0 điểm) Cho các số dương x y z, , thoả m?n x y z+ + =3 T?m giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần( Phần A hoặc Phần B)

A.Theo chương tr?nh chuẩn.

Câu VIa (2,0 điểm).

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương tr?nh đường cao AH và trung tuyến AM lần lượt là:x−2y− =13 0 và 13x−6y− =9 0 Biết tâm đường tr?n ngoại tiếp tam giác ABC là I(-5; 1) T?m toạ độ các đỉnh A, B, C.

2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tr?n (C): (x−4)2+y2 =25 và M(1; - 1) Viết phương tr?nh đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho MA = 3MB.

Câu VIIa (1,0 điểm) Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ các chữ số thuộc tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên

có 5 chữ số và số đó chia hết cho 3

B.Theo chương tr?nh nâng cao.

Câu VIb (2,0 điểm).

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho h?nh chữ nhật ABCD có M là trung điểm của BC, đỉnh A thuộc đường thẳng d: x y+ + =2 0, phương tr?nh đường thẳng DM: x−3y− =6 0và đỉnh C(3; - 3) T?m toạ độ các đỉnh A, B, D biết D có hoành độ âm.

2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Elip (E) có phương tr?nh chính tắc là:

2 2

1

+ = và hai điểm A(4;-3), B(- 4; 3) T?m toạ độ điểm C thuộc (E) sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.

www.MATHVN.com Câu VIIb (1,0 điểm) Tính tổng S C C= 20 120 11+C C20 121 10+ + C C20 1210 1 +C C1120 120 .

……….Hết…………

( Đề thi gồm có 01 trang)

SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Môn: Toán - Khối A, A1,B.

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/ 12/ 2012.

Tập xác định D = R\{1}

Sự biến thiên:

3

( 1)

x

−

= < ∀ ∈

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞; 1) và ( 1 ; + ∞)

- Cực trị: Hàm số không có cực trị

0.25

- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang

Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng

0,25

-Bảng biến thiên:

y’

-y

2 +∞

- ∞ 2

0,25

Đồ thị:

- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểmhai tiệm cận I( 1; 2)

0,25

2 y

I

2 T?m các giá trị của m để hệ phương tr?nh sau có đúng 4 nghiệm nguyên

− − − =



 − + − + − =



1,0

Nhận thấy x = 1 không thỏa m?n phương tr?nh (1) dù y lấy bất k? giá trị nào

1

x

x

+

− Phương tr?nh (2)⇔ −(x 1)2 + −(y 2)2 =m2 là phương tr?nh đường tr?n (T) có tâm

I(1;2) bán kính m với mọi m khác 0

Vậy hệ phương tr?nh đ? cho có đúng 4 nghiệm nguyên khi và chỉ khi đồ thị (C) ở câu 1

và đường tr?n (T) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có tọa độ nguyên

0,25

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-1

5

4 1

3

-2

I y

x o

D C

B A

Đồ thị (C) chỉ đi qua đúng 4 điểm có tọa độ nguyên là A(1;5), B(4; 3), C(0,-1)và

D(-2; 1)

Từng cặp AvaC, B và D đối xứng nhau qua I(1;2)

0,5

Hệ đ? cho có đúng 4 nghiệm nguyên khi và chỉ khi đường tr?n (T) phải đi qua 4 điểm

A, B, C, D khi và chỉ khi (T) đi qua A khi và chỉ khi R2 =m2 =10⇔ m = 10

0,25

Giải phương tr?nh: 2 cos3 cos + 3(1 sin 2 ) = 2 3 cos (22 )

4

2 2cos3 cos + 3(1 sin 2 ) = 2 3 cos (2 )

4

2

2cos3 cos 3(sin 4 sin 2 ) 0

2cos3 cos 2 3 sin 3 cos 0 2cos (cos3 3 sin 3 ) 0

x

π π

=

⇔

3

k Z

π π



=



x= +π k xπ = −π +kπ k Z∈

0,5

0,5

2 (1)⇔ x− − +2 1 4− − =x 1 2x −5x−3

3 0

2 1 (2)

x

x

− =





*x− = ⇔ =3 0 x 3

*Xét phương tr?nh (2)

ĐK 2≤ ≤x 4

VP 5≥

VT đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [2;4] bằng 1 1

2 1

− + khi x = 2 nên phương tr?nh (2)

vô nghiệm

Vậy phương tr?nh có nghiệm duy nhất x = 3

0,25 0,25 III T?m các giá trị của tham số m để bất phương tr?nh: 2

x − +x m x − x+ + ≤ 1.0 Đặt t= x2−2x+2 Lập BBT của hàm y x= 2−2x+2 với x thuôc 0;1 + 3ta có t thuộc đoạn [ ]1; 2

0,25

Bpt trở thành

2

1

t

t

− + ≤ − ⇔ ≤

+ (do t+1>0) Bpt đ? cho nghiệm đúng với mọi x thuôc 0;1 + 3 khi và chỉ Bpt (1) nghiệm đúng với moi t thuộc đoạn [ ]1;2

0,25

Xét ( ) 2 2 , [ ]1; 2

1

t

t

−

+

1

( 1)

t

= + > ∀

+

t 1 2

f’(t) +

f(t)

23 1

2

−

0,25

Từ BBT ta có Bpt (1) nghiệm đúng với moi t thuộc đoạn [ ]1; 2 khi 1

2

m≤− Vậy với 1

2

m≤−

IV Trên mp (P) cho đường tr?n (T) đường kính AB bằng 2R S là một điểm nằm trên

đường thẳng vuông góc với (P) tại A Đặt SA = h Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SB cắt SB tại K C là một điểm nằm trên đường tr?n (T) sao cho

2

BAC =α < <α π

SC cắt mp (Q) tại H Tính thể tích tứ diện SAHK theo h, R và

α

1.0

O α

H

K

C

B S

A

Chứng minh AH⊥SC

Ta có:

BC SA



Lại có:mp Q( )⊥SB⇒SB⊥ AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥(SBC)⇒AH ⊥SC

Suy ra SA2 =SH SC =SK SB

4

SAHK

SABC

V = SA SC SB = SC SB = SC SB = SC SB

0,25

0,25

2 2

2 2 2 2

2 2 2

4

SABC

R h

α

α α α

= +

2 5

sin 2

SAHK

R h V

α

α

=

V

T?m giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

1,0

P x y z

0,25

Ta có

2

2

2

2 2

;

z y

z y

+

0,25

Mặt khác

0,25

4

x y z xy yz xz

P x y z

+ + + + +

⇒ ≥ + + −

2 2 2 2

Dấu = xảy ra khi

2; 2; 2

1 1; 1; 1

1 1 3

x

y

z

x y z



 = = =

 + + =



Vậy GTNN của P là 3/2 khi x = y = z =1

0,25

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ

( 3; 8)

A

 − − =  = −

0,25

Ta có IM đi qua I(-5; 1) và song song với AH Phương tr?nh IM là x−2y+ =7 0

M

Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH Phương tr?nh BC là 2x y+ − =11 0

Gọi B(b;11-2b) Ta có IB = IA

4

b

b

=



0,25

Với b = 2 suy ra B(2;7), C(4;3)

Với b = 4 suy ra B(4;3), C(2,7)

Vậy A( -3; -8), B(2;7), C(4;3) hoặc A( -3; -8), B(4;3), C(2;7)

0,25

A

I

Đường tr?n (C ) có tâm I(4;0), bán kính R=5

Do IM <5 nên M nằm trong đường tr?n (C)

Gọi H là h?nh chiếu của I trên AB, H là trung điểm của AB

Do MA= 3MB nên M là trung điểm của HB

Xét hai tam giác vuông IHM và IHB ta có



0,5

Đường thẳng (d) đi qua M(1; - 1) có phương tr?nh

a x− +b y+ = a + ≠b

2 2

2 3

2

a b

a b

a b

=

Với b=2a chon a=1;b=2 Phương tr?nh (d): x + 2y +1 = 0

Với a= −2b chon b= −1;a=2 Phương tr?nh (d): 2x - y -3 = 0

Vậy phương tr?nh đường thẳng (d) là x + 2y +1 = 0 hoặc 2x - y -3 = 0

0,5

Gọi số có 5 chữ số là abcde a( ≠0) Do abcde M nên (3 a b c d e+ + + + ) 3M

Nếu a b c d+ + + M th? e = 0 hoặc e = 33

Nếu a b c d+ + + chia 3 dư 1 th? e = 2 hoặc e = 5

Nếu a b c d+ + + chia 3 dư 2 th? e = 1 hoặc e = 4

Như vậy từ một số có 4 chữ sô abcd (các chữ số được lấy từ tập A) sẽ tạo được 2 số tự

nhiên có 5 chữ số thoả m?n yêu cầu bài toán

Từ các chữ số của tập A lập được: 5.6.6.6 = 1080 số tự nhiên có 4 chữ số

Nên từ các chữ số của tập A lập được: 2.1080 = 2160 sô chia hết cho 3 có 5 chữ số

VII

b

Do A thuộc d: x y+ + =2 0, gọi A( ;a a− −2) Ta có

I

A

M B

I

3

a a

a

=



Với a= ⇒3 A(3; 5)− , trường hợp này không thoả m?n v? A, C nằm cùng phía với đường thẳng DM

Với a= − ⇒ −3 A( 3;1) Gọi I là tâm của h?nh chữ nhật, I là trung điểm của AC suy ra I(0;-1)

0,5

Điểm D thuộc DM: x−3y− =6 0, gọi D(3d+6;d) (d < -2)

3

5

d

d

= −





 = −

 Suy ra D(-3;-3), B(3;1)

Vậy A(-3;1), D(-3;-3), B(3;1)

0,5

Gọi C x y ta có ( ; )o 0 2 02 2 2

o

Phương tr?nh AB là: 3x +4y = 0

0,25

0 0

Do AB không đổi nên diện tích tam giác ABC lớn nhất khi d(C,AB) lớn nhất 0,25

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số ta có

0 0

12 2

5

o

(Dấu = xảy ra khi 3x0 =4y0)

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi 3x0 =4y0

0,25

Kết hợp với (1) ta có

0 0

3

2 2;

3

2







Vậy toạ độ điểm C là (2 2;3 2)

2 hoặc

3 2

2

0,25

VII

0 11 1 10 10 1 11 0

20 12 20 12 20 12 20 12

(1+x) = +(1 x) (x+1) (1)

32 0 1 2 2 32 32

32 32 32 32

Hệ số của x11trong khai triển vế trái là 11

32

C (2)

0 1 2 2 20 20 0 1 2 2 12 12

Hệ số của x11trong khai triển vế phải là C C20 120 11+C C120 1210+ + C C1020 121 +C C1120 120 (3)

Từ (1),(2),(3) ta có S C C= 20 120 11+C C20 121 10+ + C C2010 121 +C C1120 120 =C3211

0,25 0,25

0,25 0,25

www.MATHVN.com Chú ?: Đối với ? 2 câu 1 thí sinh có thể giải không sử dụng đồ thị mà viết phương tr?nh (1) tương đương

x

y

+

− − (sau khi nhận xét x = 1 không thỏa m?n phương tr?nh với mọi y)

Nhận xét y nguyên khi x nguyên th? 3

1

x− phải nguyên

Suy ra x – 1 phải là ước của 3 hay x∈ −{ 2;0;2; 4} thay vào t?m y tương ứng

Thay 4 cặp (x; y) nguyên vào phương tr?nh (2) t?m được m2= 10