SILDE CƠ LƯU CHẤT CHƯƠNG 2

CHƯƠNG 2: TĨNH HỌC LƯU CHẤTI./ Khái niệm II./ Áp suất thủy tĩnh III./ Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất IV./ Lưu chất tĩnh trong trường trọng lực V./ Tĩnh tương đối... II

CHƯƠNG 2: TĨNH HỌC LƯU CHẤT

I./ Khái niệm

II./ Áp suất thủy tĩnh

III./ Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất IV./ Lưu chất tĩnh trong trường trọng lực

V./ Tĩnh tương đối

I./ Khái niệm:

II./ Áp suất thủy tĩnh

• 1) Định nghĩa:

• Áp suất thủy tĩnh là lực pháp tuyến tác dụng lên một đơn vị diện tích

• Áp suất thủy tĩnh tại một điểm:

• 2) Tính chất:

 Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc và hướng vào trong diện tích chịu lực

 Giá trị áp suất thủy tĩnh tại một điểm không phụ thuộc hướng đặt của diện tích chịu lực

*C/minh: Xét sự cân bằng của 1 vi

phân thể tích lưu chất hình lăng trụ

tam giác

Lực do px tác dụng lên mặt ABCD chiếu lên Ox: px δ y δ z

Lực do ps tác dụng lên mặt BCEF chiếu lên Ox:

x δ δ

δx

ρF 2 1

II./ Áp suất thủy tĩnh (tt)

Tương tự cho phương z: pz= ps

=> px = pz = ps

• 3) Thứ nguyên và đơn vị của áp suất:

• Thứ nguyên của áp suất :

Đơn vị của áp suất :

+ Hệ SI: N/m 2 = Pa

+ Hệ khác:1at=1kgf/cm 2 =10m n =10m n ướ ướ c=735mmHg=98100Pa(N/m c=735mmHg=98100Pa(N/m 2 )

2

]

[

] [ ]

A F p

II./ Áp suất thủy tĩnh (tt)

• 4) Áp suất tuyệt đối, áp suất dư, áp suất chân không:

a./ Áp suất tuyệt đối (ptđ):

Là giá trị đo áp suất so với chuẩn là chân không tuyệt đối.

b./ Áp suất dư (pdư):

Là giá trị đo áp suất so với chuẩn là áp suất khí trời (pa) tại vị

trí đo.

pdư dư = ptđ– pa

⇒ptđ >pa : áp suất dư dương

⇒ptđ <pa : áp suất dư âm

hay gọi là áp suất chân không pck

c./ Áp suất chân không (pck):

⇒ pck =pa – ptđ = -pdư

III./ Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất:

Xét phần tử lưu chất, tổng ngoại lực tác dụng chiếu lên phương Ox:

d F

z y x F

F

d Bx = x ρδ δ δ

z y x

z y x

z y

δ δ δ

δ δ δ

δ δ x

p -

x

p p

p F

y x F

F

) ,

, ( F x F y F z

x

δ x

p p

∂

∂ +

III./ Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt):

Vậy phương trình cơ bản tĩnh học lưu chất là:

hay

Nếu lực khối tác dụng chỉ là trọng lực, phương trình cơ bản tĩnh

học lưu chất trở thành:

- vector gia tốc trọng trường

0 1

0 1

z

p F

y

p F

x

p F

z y x

ρ ρ ρ

(

1

=

− grad p F

ρ

III./ Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt):

• + Lưu chất tĩnh so với hệ trục gắn liền với trái đất.

• + Lực khối tác dụng chỉ là trọng lực

• + Hệ trục tọa độ với trục z hướng thẳng đứng lên trời

Lực khối theo từng phương sẽ là:

Fx = Fy = 0; Fz = -g Thay vào:

1) Lưu chất được xem là không nén: ρ = const

Phân bố áp suất thủy tĩnh:

• dp =-ρgdz ⇒ p + ρgz = const

• hay

0 )

const

p

z + =

γ

• - gọi là cột áp tĩnh

• * Hệ quả:

• - Mặt đẳng áp là mặt nằm ngang

• - Nhiều lưu chất khác nhau, khối lượng riêng khác nhau, không

trộn lẫn vào nhau thì mặt phân chia là các mặt đẳng áp.

• - Độ chênh áp suất giữa 2 điểm A, B trong 1 môi trường lưu chất

chỉ phụ thuộc khỏang cách thẳng đứng giữa 2 điểm đó

III./ Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt):

AB B

A

B B

A A

h p

p

p z

p z

x

Định luật Pascal: Trong chất lỏng đứng yên, độ tăng áp suất được truyền đi nguyên vẹn đến mọi điểm trong chất lỏng

Vd: nguyên lý hoạt động của con đội

• 2) Lưu chất nén được (chất khí ): ρ ≠ const

Chất khí là khí lý tưởng, sử dụng phương trình khí lý tưởng

p =ρ RT

g dz

III./ Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt):

Trong tầng bình lưu (z≤11km): nhiệt độ thay đổi theo độ cao

T = T0-Lz, L> 0, T0 là nhiệt độ ứng với độ cao z = 0

Gọi p0 là áp suất ứng với z = 0 là áp suất ứng với z = 0

Trong tầng đối lưu: (z>11km)

T = T1= -56.5 0 C

C z

L

T LR

g p

dz z

L T

R

g dz

ln )

ln(

ln )

z T

L p

0 0

1

1 1

z z RT

g e p

=

⇒

3) Ứng dụng phương trình thủy tĩnh:

a Áp kế:

b Biểu đồ phân bố áp lực:

• Biểu đồ áp lực: là biểu đồ biểu diễn phân bố áp suất p/γ trên diện tích phẳng.

A

h A

Suy ra giá trị áp suất dư đọc được là:

pA =pE = γnhA-B + γHghB-C -γnhC-D + γHghD-E

=0 - γn(h1+h2)+ γHgh1 - γnh3+ γHgh4

= γn(-h1-h2+13,6h1-h3+13,6h4)

=17,732γn =17,732x9810Pa=173,95KPa

Ví dụ 2: Nước chảy trong ống từ A-B Để đo độ chênh cột áp tĩnh người ta dùng ống đo áp đo chênh như hình vẽ Xác định độ chênh cột áp tĩnh và độ chênh áp suất giữa 2 điểm A và B Biết chất lỏng (1) là nước ρnước = 1000kg/m 3 (2) là thủy ngân δHg = 13,6, h =0,7m, b-a = 0,3m Giải: Phương trình thủy tĩnh áp dụng cho các cặp điểm A-M, M-N, N-B:

Hay

Độ chênh cột áp tĩnh giữa 2 điểm A và B là

Hg

N N

Hg

M M

n

N N

n

B B

n

M M

n

A A

p z

p z

p z

p z

p z

p z

γ γ

γ γ

γ γ

+

= +

+

= +

+

= +

h p

AB

p z

p z

H

γ γ

Độ chênh áp suất giữa 2 điểm A và B là:

KPa m

N x

m m

x Z z

H

pAB AB A B n

467 , 89 /

9810 )

3 , 0 82

, 8 (

] [

3 = +

n

N M

N M

n

N N

n

M M

h h

p

p Z

Z

p z

p z

γ γ

γ

γ γ

m x

Bề mặt chất lỏng

Trọng lượng riêng = γ

VI./ Lưu chất tĩnh trong trường trọng lực:

1./ Áp lực thủy tĩnh trên một diện tích phẳng.

Cho 1 tấm phẳng, diện tích A nằm chìm trong chất lỏng và nghiêng một góc θ so với bề mặt chất lỏng.

*Độ lớn:

Xét một vi phân diện tích dA, áp lực tác

dụng thẳng góc vào diện tích và có giá trị:

Vậy: F = pCA = (p0 + γhC)A

pC là giá trị áp suất tại trọng tâm C của tấm phẳng

A p A h

y A

p

y A yd A

yd A

dA y

p dA

h p

pdA F

C C

C

C A

A

A

= +

=

+

=

= +

=

+

= +

θ γ

θ γ

γ

A p

A sin

A (

sin p

) sin (

) (

0 0 0

0 0

Ox) đ/v

A tĩnh moment là

: với

x

Bề mặt chất lỏng

Trọng lượng riêng = γ

dF

h

hCF

C D

*Điểm đặt lực D:

- Vi phân moment của áp lực đối với trục quay Ox:

dM0x =ydF

- Moment của áp lực trên tòan bộ diện tích A đối với trục quay Ox:

+ Xét trường hợp p0 =0

Ox) đ/v A của tính quán moment

là

I với ox y dA dA

y ydA

p

dA y

y p

dA h p

y

ypdA ydF

dM M

A

A A

A A

A

x x

0

2 0

0

0 0

( sin

) sin (

) (

θ γ

θ γ

γ

(*) )

( ) (

=>F = γhCA = γsinθyCA

Moment tính theo áp lực F:

Từ (*) và (**) Suy ra điểm đặt lực D

Độ lệch tâm:

Xét moment của áp lực trên tòan bộ diện tích A đối với trục quay Oy.

Chứng minh tương tự :

Nếu bề mặt phẳng có dạng đối xứng: =>IxyC = 0 => xD = xC

Nên chỉ cần xác định yD là đủ.

A y

I y

y

F

A y I

y

C

xC C

D

C xC

I e

C

xC

=

A y

I x

x

C

xyC C

VI./ Lưu chất tĩnh trong trường trọng lực (tt):

• + Xét trường hợp:

• Đưa về bài tóan tương đương để giải.

• Trong đó:

*Tính áp lực thủy tĩnh bằng phương pháp biểu đồ:

- Xét vi phân diện tích dA, tại trọng tâm:

VI./ Lưu chất tĩnh trong trường trọng lực (tt):

Bề mặt chất lỏng

x

γ

dF h

θ

O

p0p/ γ dA

Độ lớn của áp lực trên tòan bộ diện tích A:

F đi qua trong tâm CV của thể tích V

- Trong trường hợp A là hình chữ nhật có cạnh song song mặt thóang:

F = γΩb

F đi qua trong tâm CΩ của diện tích biểu đồ phân bố áp lực Ω:

V F

V d

dA p

pdA dF

F

A A

A A

γ γ

γ γ

Ví dụ 1: Cho 1 cửa van hình chữ nhật có bề rộng b = 5m Chịu áp lực nước thượng lưu như hình vẽ với H = 2m Hỏi áp lực thủy tĩnh F tác dụng lên van?

Giải Áp lực thủy tĩnh tác dụng lên van:

F = pCA = γhCA

hC = H/2 = 2/2 = 1 (m) => F = 9810 N/m3 x 1 m x 5 m x2 m

= 98100 (N )

Ví dụ 2: Cho 1 tấm phẳng hình tam giác chìm trong chất lỏng có tỷ trọng

δ = 1.2, có các kích thước như sau:

h = 3m, b = 2m

H = 1m, θ = 60 0

p0 = 0.06at = 600 kgf/m 2

O C H

Thay p0 bằng lớp chất lỏng có bề dày tương đương:

h

m C

C

m m

m C

73

2 60

sin

366

2 sin

366 2

60

sin 3

3 1

5 0

sin 3

0

0 0

= +

kgf x

m kgf p

/ 1000

2 1

/

600

2

20

γ

m x

y

h bh

y

bh A

y

I

e

C C

C

73 2 18

3 18

2 36

22

Ví dụ 3: Van phẳng hình tròn đặt trên

mặt phẳng nghiêng 1 góc 60 0 như hình

Vẽ Van có thể quay quanh trục nằm

Ngang qua tâm C Bỏ qua ma sát

Xác định:

a./ Áp lực tác dụng lên van

b./ Momen cần tác dụng để mở van

m x

m x

m N x

D

23

2

10

1230 4

) 4 ( )

10 ( ) /

10 81 , 9

x m

m x

m A

y

I y

y

C

xC C

) 4

( ) 60 sin / 10 (

) 2 ( ) 4 /

( 60

sin

10

2 0

4

= +

=

π π

2./ Áp lực thủy tĩnh trên một diện tích cong.

- Áp suất trên mặt thóang bằng áp suất khí trời

- Ba hình chiếu của A: Ax, Ay, Az

- Xét vi phân diện tích dA, tại trọng tâm:

- Áp lực trên toàn bộ diện tích A:

y y

x x

dF F

dF F

dF F

pdA dF

pdA n

pdA

dF

.

VI./ Lưu chất tĩnh trong trường trọng lực (tt):

Thành phần áp lực trên trục toạ độ x

⇒ thành phần áp lực trên trục x

chính bằng áp lực thủy tĩnh trên

diện tích phẳng Ax:

Tương tự cho thành phần áp lực trên trục toạ độ y:

Thành phần áp lực trên trục toạ độ z:

(W – thể tích vật áp lực)

x Cx

x x

dFx

y Cy

z z

VI./ Lưu chất tĩnh trong trường trọng lực (tt):

W_ Thể tích vật áp lực là thể tích hình lăng trụ thẳng đứng tạo bởi diện tích cong A , có đường sinh trượt trên chu vi của A, giới hạn bởi A và kéo dài cho đến khi gặp mặt tự do (p =pa), hay mặt thóang kéo dài của chất lỏng tác dụng lên diện tích cong đóù.

Xác định áp lực thủy tĩnh trên diện tích cong A là xác định 3 thành phần của nó trên 3 trục tọa độ Trong đó, 2 thành phần nằm ngang Fx, Fy được xác định trên các diện tích phẳng Ax, Ay là các hình chiếu đứng tương ứng của A theo các trục x, y Còn Fz được tính bằng thể tích vật áp lực.

Vậy:

Trị số áp lực dư được tính bằng :

Trong trường hợp diện tích cong phức tạp (có hình chiếu chồng chập) => chia nó thành các phần đơn giản và tính từng phần rồi cộng lại

2 2

2

z y

Ví dụ 4: Xác định áp lực do dầu tác dụng lên một van cung dạng ¼ hình trụ có bán kính 0,5m, dài 2m nằm dưới độ sâu h

d

R Rh

F F

3./ Lực đẩy Archimedè:

Xét vật có thể tích V chìm trong chất lỏng

Xét vi phân thể tích dV hình lăng trụ thẳng

Xét vi phân thể tích dV hình lăng trụ thẳng

đứng Nó có 2 bề mặt trên và dưới tiếp xúc

với chất lỏng và thành phần áp lực trên

phương trục z tác dụng trên 2 bề mặt này

là: dFz1 và dFz2.

Áp lực tổng cộng tác dụng lên dV theo trục z:

Thành phần áp lực trên trục z tác dụng lên toàn bộ bề mặt bao bọc

dFz = z2 − z1 = γ 2 − 1 = γ

VI./ Lưu chất tĩnh trong trường trọng lực (tt):

1./ Chất lỏng tĩnh trong thùng chuyển động thẳng với gia tốc không

Mặt đẳng áp:

*Chuyển động thẳng ngang: p + ρ ax + ρ gz = const;

Trên mặt phẳng x=const:

*Chuyển động thẳng đứng: p + ρ (g+a)z = const; z =C

a g

0 p

1 - )

p

a x

p

ρ

ρ ρ





C

x a g

a z

a 

x z

2./ Chất lỏng tĩnh trong thùng chuyển động quay tròn đều.

Vector cường độ lực khối:

dp = ρr ω2 dr - ρgdz

=> Phương trình của áp suất thủy tĩnh:

Mặt đẳng áp:

-> Họ các mặt cong paraboloid tròn xoay

Trên mặt trụ r = const:

F  =  + ω2

C

r g

2

ω

const gz

g

x z

p

r r

p

ρ

ω ρ ρ

ω

2

2r ) - 1 p 0 g

V./ Tĩnh tương đối (tt):

Ví dụ 5: Một bình kín rộng 2m, chứa đấy nước chuyển động nhanh dần đều theo phương ngang, chiều như hình vẽ (gia tốc a = 2m/s) Nếu tại E có 1 lỗ nhỏ Xác định áp suất tại A và B và áp lực tác dụng lên mặt đứng AB.

x ab

Ví dụ 6: Ba ống nhỏ cùng đường kính cao H = 1m nối với nhau như hình vẽ, ch a nước đến độ cao h = 0,5m Biết a ứ

Ví dụ 6: Ba ống nhỏ cùng đường kính cao H = 1m nối với nhau như hình vẽ, ch a nước đến độ cao h = 0,5m Biết a ứ

=0,4m Xác định chiều cao nước trong 3 ống nếu 3 ống quay đều quanh trục z với vận tốc ω = 2rad/s

Thể tích chất lỏng không đổi:

=

C g

a h

C h

C g

a h

g

r z

2

) 3 ( 0

2

C

3 2

2 2 1

2 2

ω

ω ω

g

2

a

10 - 3h

h

22

r

• Ví dụ 7: Cho một xe có kích thước H = 3m

• , L = 5m, b = 2m, chứa nước đến chiều cao

• h = 2,5m, chuyển động nhanh dần đều theo

• phương ngang với gia tốc a như hình vẽ Hỏi:

• 1) amax để nước không tràn ra ngoài ?

• 2) Tính áp lực nước lên thành sau xe

• Giải:

• Từ phương trình mặt thoáng:

• Áp lực lên thành sau của xe:

• Psau = γΩb = 9810N/m 3 x(0,5x3mx3m)x2m = 88290 N

C

x g

2max 1 , 962 /

5

1

s m g

⇒

H

H

• Ví dụ 8: Cho một bình hở có kích thước

• R = 3m, H = 4m, chứa nước đến chiều

• cao h = 3,1m, chuyển động quay tròn

• xung quanh truc của bình với vận tốc ϖ

• như hình vẽ Hỏi:

• 1) ϖmax để nước không tràn ra ngoài ?

• 2) Tính áp lực nước lên ½ thành bình

R

2

2 2 max

ω

g  r

g

x z

m

x g

R H

2

2 2 max

s rad /

19 ,

2

max =

H