1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD.. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng SBC.. Câu 6:
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ ĐỀ XUẤT
KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề)
Họ và tên:……… Số báo danh:…… Phòng thi:………
Câu 1: ( 2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d: 5 2
3
y mx m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
Câu 2: (1.0 điểm)
2) Giải bất phương trình 2log (4 x 3) log (2 x 1) 3
Câu 3: (1.0 điểm) Tính tích phân: 1
0
x x
x e e dx
Câu 4: (1.0 điểm)
1) Cho số phức z 1 2 i Tìm môđun của số phức w z 2 z 1
2) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 14
n
x x
C C A
Câu 5: (1,0 điểm) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
SA ABCD AB a BC , a 2 , góc hợp bởi SC với mặt phẳng đáy bằng 600 Gọi G
là trọng tâm tam giác SAD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
từ điểm G đến mặt phẳng (SBC)
Câu 6: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm
của BC Biết AM có phương trình là: 3 x y , đỉnh B(4;1) Tìm toạ độ các đỉnh 7 0 của hình vuông, biết đỉnh A có tung độ dương, điểm M có tung độ âm
Câu 7: ( 1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (2; –1; –1) và mặt
phẳng ( ) : 2 P x 2 y z 3 0 Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm là điểm A và tiếp
xúc với mặt phẳng ( ) P và tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên ( ) P
Câu 8: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
3 4
1
Câu 9: (1,0 điểm) Xét các số thực dương x ; y thỏa mãn điều kiện 5 x 4 y 23 xy Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 9 3 7
2
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI
1) (1,0 điểm)
Sự biến thiên:
1
1
x
- Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1;
- Hàm số không có cực trị
- Giới hạn
( 1)
lim
x
y
và
( 1)
lim
x
y
x 1là tiệm cận đứng lim 2
và lim 2
y 2 là tiệm cận ngang
0,25
- Bảng biến thiên:
0,25
Đồ thị:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
x
y
1
0,25
2) (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :
1
x
x
x
0,25
Đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt 1 có hai nghiệm phân biệt khác
–1
1 2
9
0,25
2
Câu 1
(2,0 điểm)
1
9
m
x y’
y
2
+
-
2
Trang 3Vậy 1
9
m thì đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
1) (0,5 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với 2 cos 2 sin 2 1
sinx cosx1 2 cosx 0
0,25
4
3
0,25
2) (0,5 điểm)
Đk: x > 3 Khi đó phương trình tương đương log2(x-3)(x-1) 3 0,25
Câu 2
(1,0 điểm)
(x-3)(x-1) 8 x 1hoặc x 5 Kết luận : x 5 0,25
2
x e e dx xe dx e dx
1
0
x
Axe dx Đặt u x x du x dx
Khi đó:
1
1
0 0
Axe dxxe e
0,25
B =
1 1
0 0
Câu 3
(1,0 điểm)
1
0
x x
x e e dx
1) (0,5 điểm)
z iz i
2 2
z
2) (0,5 điểm)
C C A (3)
Điều kiện: n 2
9
n
n
0,25
Câu 4
(1,5 điểm)
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển
12 2
4
1
x
x
12
k
k
x
6k480k 8
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển
12 2
4
1
x x
8
12 495
C
0,25
(thỏa điều kiện) (không thỏa đk)
Trang 4
H
N O
D
C B
A S
+Ta có : S ABCD AB BC a2 2
+SA(ABCD)h/c vuông góc của SC lên (ABCD) là AC 0
60
SCA
+AC AB2BC2 a 3; +tan 600 SA SA 3a
AC
.
1
3
S ABCD
S NBC S NBC
+
3
.
a
0,25
Câu 5
(1,0 điểm)
SBC
S BC SB BC SA AB a Vậy ; ( ) 2
10
a
D C
+ Gọi H là hinh chiếu vuông góc của B trên AM ; 6
10
+Đặt cạnh hình vuông là x 0
+Xét tam giác ABM có 1 2 12 1 2 10 12 42 3 2
0,25
+A thuộc AM nên A t ; 7 3 t
1 1; 4
;
So với điều kiện đề ta có A1; 4
0,25
+ Làm tương tự cho điểm B, với 3 2 5; 1
x
BM M
+ M là trung điểm của BC C1; 2
0,25
Câu 6
(1,0 điểm)
+ Gọi I là tâm của hình vuông I 1;1 Từ đó D2;1 0,25
H
x
2
x
Trang 5Bán kính của mặt cầu ( ) S là:
2.2 2.( 1) ( 1) 3
R d A P
0,25
Vậy phương trình của mặt cầu ( ) S là:( x 2)2 ( y 1)2 ( z 1)2 4 0,25
Gọi H là hình chiếu của A trên ( ) P , d là đthẳng đi qua A và vuông góc (P)
( ) P có vectơ pháp tuyến là n (2; 2; 1)
Mà d ( ) P n
là một véctơ chỉ phương của d
Suy ra d có phương trình tham số là:
2 2
1 2 1
0,25
Câu 7
(1,0 điểm)
Ta có H là giao điểm của d và ( ) P
Xét phương trình ẩn t sau:
2
3
0,25
Điều kiện x ≥ 1; y ≥ 0 Hệ phương trình đã cho tương đương với
2 3
4
1 (2)
0,25
Xét hàm số f x( ) x 1 x12x3 với x ≥ 1 8
x
với mọi x > 1 nên f(x) đồng biến trên (1;+)
0,25
Mặt khác f(x) =f(2) nên x = 2 là nghiệm của phương trình (1) 0,25
Câu 8
(1,0 điểm)
Với x = 2 thì y = 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (x;y) = (2;1) 0,25
4 5
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương 4x và 1
x ta được: 4x 1 4 5
x
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương 9 y và 1
y ta được: 9y 1 6 6
y
0,25
Câu 9
(1,0 điểm)
Từ (4), (5) và (6) ta được 43
2
P
Hơn nữa với 1; 1
x y ta có 4 5 23
x y và
43 2
P
Vậy min 43
2
P
0,25
-HẾT -