Đề thi THPT quốc gia môn toán 2015 và hướng dẫn giải chi tiết

Mà CH vuông góc AP.

H NG D N GI I CHI TI T THI THPT QU C GIA MÔN TOÁN

TEAM GI I :

L NG V N THI N – T NG H I TUÂN – NGUY N V N QU C TU N – NGUY N NG C ANH

NGUY N V N H NG – H V N DIÊN – BÙI V N C NG – TR N TRÍ KIÊN

Các em t làm

Câu 2 Tìm giá tr l n nh t, gt nh nh t c a f(x) = x +4

x trên [1; 3]

i Theo b t đ ng th c Co – si cho 2 s d ng x và 4

x ta có:

x +4

x 2 x.

4

x= 4

D u b ng x y ra x = 4

x x = 2 [1; 3]

V y GTNN c a f(x) = x +4

xlà 4 khi x = 2 l

Vì x [1; 3] nên ta có (x 1)(x 3) 0 x 4x + 3 0 x +3

x 4 f(x) = x +4

x= x +

3

x+

1

x 4 +

1

1= 5

D u b ng x y ra khi và ch khi = 1 nên giá tr l n nh t c a f(x) là 5 khi = 1

Tính tích phân I = (x 3)e dx

I = (x 3)e dx = (x 3)d(e ) = (x 3)e 1

0 e d(x 3)

(1 3)e (0 3)e e d(x) = 2e + 3 e 1

0= 2e + 3 (e 1) = 3e + 4

a) Cho s ph c z th a mãn(1 i)z 3 + 5i = 0 Tìm ph n th c và ph n o c a z

b) Gi i ph ng trình log (x + x + 2) = 3

i a) (1 i)z 1 + 5i = 0

(1 i)z = 1 5i z =1 5i

(1 5i)(1 + i) (1 i)(1 + i) z =

1 5i + i 5i

6 4i 2

V y ph n th c và ph n o c a z l n l t là 3 và -2

b)

log (x + x + 2) = 3 x + x + 2 > 0

x + x + 2 = 2

x +1

7

4> 0

x + x 6 = 0

x + x 6 = 0

(x 2)(x + 3) = 0 x = 2

x = 3

K t lu n: V y ph ng trình có nghi m x = 2 ho c x = 3

Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho các đi m A(1; 2; 1) và B(2; 1; 3) và m t ph ng (P): x y + 2z 3 = 0 Vi t ph ng trình đ ng th ng AB và tìm t a đ giao đi m đ ng th ng

AB v i m t ph ng (P)

Có AB = (1; 3; 2)

Ph ng trình đ ng th ng AB qua A(1; 2; 1) nh n AB = (1; 3; 2) là VTCP là

x 1

y + 2

z 1 2

T a đ giao đi m c a đ ng th ng AB và m t ph ng (P) là nghi m c a h

x 1

y + 2

z 1 2

x y + 2z 3 = 0

x = 0

y = 5

z = 1 a) Tính giá tr bi u th c P = (1 3 cos )(2 + 3cos2 ), bi t sin =

sin = 2

3 cos 2x = 1 2 sin =

1

3

9 2 +

3

9 =

14 9

b Trong đ t ng phó d ch MERS-COV, s Y t thành ph đã ch n ng u nhiên đ i phòng chóng dch c đ ng trong s 5 đ i c a trung tâm y t d phòng thành ph và đ i c a các trung tâm y t c s đ ki m tra công tác chu n b Tính xác xu t đ có ít nh t đ i c a các trung tâm y

t c s đ c ch n

i:

S cách ch n đ i trong s đ i là C = 2300

S cách ch n đ i đ u c a các trung tâm c s là: C = 1140

S cách ch n 1 đ i c a thành ph là: C

S cách ch n 2 đ i c a c s là: C

S cách ch n 3 đ i mà có 2 đ i đ n t c s là C C = 950

Suy ra:

S cách ch n đ i đ có ít nh t đ i đ n t c s là: 1140+950=2090

Xác xu t đ có ít nh t đ i đ n t c s là:

P =2090

2300=

209

230~0,986

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD), góc gi a đ ng th ng SC và m t ph ng (ABCD) b ng 45 Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SB, AC

Vì SA (ABCD)nên góc gi a SC và m t ph ng

(ABCD) chính là góc SCA SCA = 45

SAC là hình tam giác vuông cân t i A (1)

Ta có ABCD là hình vuông AC = AB 2 = a 2

(1) SA = AC = a 2

3 SA S =

1

3 a 2 a =

a 2 3

G i D là đi m đ i x ng v i D qua A

AD = AD = CB ACBD là hình bình hành

AC BD

Suy ra: Kho ng cách gi a đ ng th ng SB và AC b ng kho ng cách t A đ n mp (SBD') Ta s tính d(A; SBD )) theo công th c:

1

3d(A; (SBD ) S = V .

- Tính S

Vì AD BC là hình bình hành S = S V . = V . =1

2 V. =

a 2 6

- Tính S

Vì AS AD, AB AD AD (SAB) Dđ i x ng v i D qua (SAB)

G i BD AC = {O}

Ta có:

Vì ABCD là hình vuông BD AC BD (SAC) BD SO

L i có tam giác SAO vuông t i A SO = SA + AO = 2a +a

2 =

a 10 2

2SO BD =

1

2.

a 10

2 a 2 = a 5

d A; (SBD ) =3V .

3.a62

a 5 2

= a 10 5

5

S

D D

O

B

A

C

a

Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC vuông t i A G i H là hình chi u vuông góc c a A trên c nh BC D là đi m đ i x ng c a B qua H, K là hình chi u vuông góc c a C trên đ ng th ng AD

Gi s H(-5;-5), K(9;- và trung đi m c a c nh AC thu c đ ng th ng x – y + 10 = 0 Tìm t a đ đi m A

i

Do AHC∠ ∠ = AKC nên AHCK là t giác n i ti p G i M là

trung đi m c a AC thì M là tâm đ ng tròn ngo i ti p t giác

AHCK

Do đó M thu c đ ng trung tr c c a HK

D dàng tìm đ c ph ng trình đ ng trung tr c c a HK là:

7x + y – 10 = 0

M t khác M thu c : x – y + 10 = 0 n ên ta tính đ c M (0;10)

G i CK c t AH t i P

Suy ra:

(do AHKC la tu giac noi tiep) (do B doi xung voi D qua H)

(cung phu ABC)

PCH KCD HAD BAH

BCA

= ∠

Suy ra CH là phân giác góc ACP Mà CH vuông góc AP Suy ra CH v a là phân giác v a là đ ng cao Suy ra ACP là tam giác cân t i C

Suy ra H là trung đi m AP L i có M là trung đi m AC, suy ra HM//PC

Mà AK ⊥ CK suy ra AK ⊥ HM

D vi t đ c ph ng trình AK x y AK đi qua K và có véc t pháp tuy n HO)

Khi đó A ∈ AK, MA = MH = 5 10

G i A ∈ AK có d ng (-3a ; a)

=

V y ( 15;5)A −

2

Đi u ki n: x ≥ −2

( )

2

2

x

*

=



=



A

M

D

p

K

H

Gi i (*):

2

Đ t: x+ =2 y (y≥0) Khi đó tr thành:

2

2 2

2

2

y x

+

f t = +t t + +t v i t R∈

f ' t = t + + > ∀ ∈t t R

Khi đó ta suy ra hàm f t đ ng bi n trên R

Hay f y( ) (=f x− ⇔ = −1) y x 1 suy ra:

2

T đây k t lu n nghi m c a ph ng trình đã cho là

3 13 2 2

x x

=





=



Cho các s th c a, b, c thu c đo n [1 3] và th a mãn đi u ki n a + b + c = 6 Tìm giá tr l n nh t

c a bi u th c

ab + bc + ac

1

2abc

i

12

a b +b c +c a + abc= ab bc ca+ +

12 3

a b c

Ta có: a, b, c∈[ ]1 3; Do đó ( )( )( )





Khi đó ta suy ra 3x−27≥abc x≥ − ⇒ ≥5 x 11

Có:

2

2

x

x

+

Mà

2

5

x

f t

x

= + + là hàm ngh ch bi n trên [11 12; ]

Khi đó 72 5 11 72 5

x

x

8

D u b ng x y ra khi a=1, b=2, c=3 cùng các hoán v

Đ t