Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng P.. Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn.. Cho hình chóp
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
-
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2015
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x33 x
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4
x
trên đoạn 1;3 Câu 3 (1,0 điểm)
a) Cho số phức thỏa 1i z 1 5i0 Tìm phần thực và phần ảo của z
b) Giải phương trình 2
2
log x x 2 3
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
1 0
3 x
I x e dx
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm A1; 2;1 , B2;1;3 và mặt phẳng
P :x y2z 3 0 Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB
với mặt phẳng P
Câu 6 (1,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức P1 3cos 2 23cos 2 biết sin 2
3
b) Trong đợt phòng chống dịch MERS-CoV Sở y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch
cơ động trong số 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng TPHCM và 20 đội của Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳmg ACBD, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ACBD bằng 450 Tính theo a thể tích của khối
chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB AC,
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu của vuông góc C trên đường thẳng
AD Giả sử H 5; 5 , K9; 3 và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng xy100 Tìm tọa
độ điểm A
Câu 9 (1,0 điểm) Giải phương trình 22
2 8
2 3
Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực a b c, , thuộc đoạn 1;3 và thỏa mãn điều kiện abc6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
a b b c c a abc
abc
ab bc a
P
c
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng bất kì loại tài liệu nào, giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2ĐÁP ÁN (tham khảo nha các em… chống trị định với các cháu yếu tim ) Câu 1 Thí sinh tự làm
Câu 2
1;3 1;3
x
Câu 3
a) z 3 2i phần thực 3, phần ảo 2
3
x
x
Câu 4 I 43e
Câu 6
a) 14
9
P
b) 209
30
P
5
;
V a d AC a
Câu 8 A 15;5
Câu 9
2
2
x
x
Câu 10 166
11
P Dấu “=” xảy ra a1;b2;c3 và các hoán vị
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1
Tập xác định D
Sự biến thiên
' 3 3, ' 0
1
x
x
Hàm số đồng biến trên 2 khoảng ; 1 và 1; Hàm số nghịch biến trên 1;1
- Cực trị: hàm số đạt cực đại tại x 1 y cđ 2 ; hàm số đạt cực tiểu x 1 y ct 2
- Giới hạn tại vô cực lim
x
y
và lim
x
y
Hàm số không có tiệm cận
- Bảng biến thiên
x 1 1
'
y 0 0
y 2
2
Trang 3 Đồ thị
Câu 2 Ta có
2
f
x
x
1
2
;
4
3
0
2
x
f
x
Tính 1 5; 2 4 13
3
; 3
So sánh các giá trị này ta thấy
[1;3]
min f x ; 4
[1;3]
max f x 5
Chú ý: Có thể lập bảng biến thiên hoặc sử dụng BĐT để tìm min và max Câu 3
a) Cách 1: Coi đây là phương trình bậc nhất đối với z
1i z 1 5i01 –iz1 – 5i
2
1 5 1
3 2
Vậy phần thực của z là 3; phần ảo của z là 2
Cách 2: Đặt zabi,a b, sau đó đồng nhất hai vế theo i được a và b
Ta có 1iabi 1 5i0a b 1 ba5i000i
b) Phương trình
Trang 42 2
2
2
6 0
3
x x
x x x
x x
x
Vậy phương trình có hai nghiệm là x 2 hoặc x 3
Câu 4 Dấu hiệu nhận biết tích phân từng phần là tích của hai loại hàm và đặt u theo quy tắc “nhất lô, nhì
đa, tam lượng, tứ mũ”
Đặt u x– 3x x
dv e dx
du
v e
dx
1
0
I x e e dx e e e
Câu 5
- Đường thẳng AB đi qua A và có vtcp AB 1;3; 2
nên có phương trình chính tắc là
x y z
- Tọa độ giao điểm M của AB và (P) là nghiệm hệ phương trình:
Chú ý: Đề không yêu cầu viết phương trình đường thẳng AB ở dạng nào nên ta có thế viết ở dạng chính
tắc hoặc tham số Nếu để ở dạng tham số thì khi tìm tọa độ điểm M ta thay vào mặt phẳng P sẽ được
một phương trình bậc nhất theo t và sẽ tìm được giao điểm
Câu 6
a) Dựa vào công thức cos 1 2 sin2 ta sẽ tính được P
P P
b) Từ giả thiết ta có tất cả 25 đội tham gia phòng chống dịch
- Số cách chọn 3 đội từ 25 đội là 3
25
C nên số phần tử của không gian mẫu là C253 2300
- Gọi A là “biến cố có ít nhất 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn”
Số cách chọn ít nhất 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn là 2 hoặc 3
TH 1: Có 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn và 1 đội của Trung tâm y tế dự phòng TPHCM
Vậy tất cả có C C 202 51 950 cách
TH 2: Có 3 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn
Vậy tất cả có 3
20 1140
C cách
Nên số kết quả thuận lợi cho biến cố A là A C C202 51C203 2090
Khi đó xác suất để có ít nhất 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn 209
230
A
Trang 5
Câu 7 Xu hướng ra câu hình không gian thường là giải
bằng hai cách khác nhau để thuận lợi cho học sinh giải
được
Cách 1: Phương pháp Hình học cổ điển
- Tính thể tích
Vì SAABCDSA ACAC là hình chiếu của SC
trên mặt phẳng ABCD hay SCA 450 hay tam giác SAC
vuông cân tại A hay AS ACa 2
+ Diện tích hình vuông ABCD là S a2
+ Thể tích hình chóp S ABCD là
3 2
a
- Tính khoảng cách
+ Qua B kẻ đường thẳng Bx song song với AC cắt CA tại M
khi đó tứ giác ABMC là hình bình hành
+ Vẽ AH vuông góc với BM tại H, AK vuông góc SH tại K
Suy ra AK vuông góc SBM
Vì AC song song SBM suy ra d AC SB , d A SBM , AK
.sin 45
2
a
Trong tam giác vuông SAH ta có 12 12 1 2 12 42 52 10
5
a AK
AK SA AH a a a
5
d AC SB d A SBM AK a (đvđd)
Cách 2: Phương pháp tọa độ hóa
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
Từ đó sẽ tính được thể tích và khoảng cách Học sinh tự tính nha
Câu 8 Xu hướng ra đề thường là kết hợp giữa hình học phẳng và hình giải tích trong mặt phẳng Do đó ta
cần vẽ hình chính xác để từ đó dựa vào hình vẽ “mò mẫn, dự đoán” tìm ra điểm mấu chốt của bài toán
- Từ hình vẽ ta có thể dự đoán tứ giác AHKC là hình thang nội
tiếp đường tròn tâm M (M là trung điểm của AC), các tam giác
HMN và AHK là các tam giác cân tại M và H Do đó mấu chốt
bài toán là tìm tọa độ điểm M sau đó mới tìm tọa độ điểm A
dựa vào mối quan hệ giữa ba điểm M, H, K và A, M, H khi biết
tọa độ điểm H và K
- Gọi M là trung điểm của AC để tìm tọa độ điểm M là có hai
hướng sau
Hướng 1: Giải hệ M
Thật vậy ta có AHC AKC 900 tứ giác AHKC nội tiếp đường tròn tâm M bán kính
2
AC
R MH MK MAMC
A
D
H
K
S
M
Trang 6Giả sử M m m ; 10 Khi đó MH MK m0M0;10
Hướng 2: Giải hệ M
Với d chính là đường trung trực của đoạn HK
- Để tìm tọa độ điểm A ta cũng có hai hướng là ta giải hệ HA HK
hoặc chứng minh A là điểm đối xứng với K qua đường thẳng MH (đường thẳng MH viết được khi biết tọa độ điểm M)
Ta sẽ chứng minh tam giác AHK cân tại H
Thật vậy từ giả thiết ta có tam giác ABD cân tại A nên BAH DAH
Ta có
0 0
90 90
DAH ACB ACB ABH
Mặt khác ACH AKH (góc nội tiếp cùng chắn cung AH)
Từ đó ta có DAH DKH HAK cân tại H hay HAHK
Giả sử A x y ta giải hệ ;
2 2
HA HK
Vậy tọa độ điểm A cần tìm là A 15;5
Câu 9 Xu hướng ra đề các năm gần đây thường là kết hợp các phương pháp lại với nhau như liên hợp, đặt
ẩn phụ, đạo hàm và phương pháp hàm số
Điều kiện x Vì 2 2 2
x x x x
Phương trình
2
1
x
vì x220, x 2
2
2
*
x
Giải * : 2
* x4 x22 x1 x 2x3
Xét hàm số f t t2 t22t3 2t22t4 với t R
Ta có f' t 3t2 4t20, nên t f t đồng biến trên
2
x
Vậy phương trình có hai nghiệm là x 2 hoặc 3 13
2
x
Chú ý: Phương trình ** cũng có thể giải bằng liên hợp hoặc biến đổi tương đương
Câu 10 Xu hướng ra đề thường kết hợp các đẳng thức, bất đẳng thức phụ, bất đẳng thức cổ điển và
phương pháp hàm số
Dựa vào hằng đẳng thức
6
ab bc ca a b b c c a abc a b c a b b c c a abc
a b c
Trang 7Mặt khác theo giả thiết
, , 1;3
5
a b c
abc ab bc ac
abc ab bc ac
Mặt khác ta có bất đẳng thức phụ 2
12 3
a
abb cca b c
Do đó nếu ta đặt tabb cca ta sẽ thu được
5
Xét hàm số 72 5, 11;12
t
t
2
t
là hàm nghịch biến trên đoạn 11;12
Do đó
max 11;12
11 72 5 160
2 11 2 11
P f t f
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 11 1; 2; 3
6
t ab bc ca
a b c
và các hoán vị