Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông

Đa thức trực giao ngoài những tính chất chung của đa thức, nó còn có một số tính chất riêng, trong đó có những tính chất sơ cấp.. Danh sách ký hiệuTrong toàn luận văn, ta dùng những ký h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

GIAO THỨC TRỤC GIAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN PHỔ THÔNG

PHẠM VĂN CHINH

THÁI NGUYÊN 2015

Mục lục

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 2

1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn, không gian có tích vô hướng 2

1.3 Không gian các hàm liên tục 4

1.3.1 Trực giao hóa Gram-Schmidt 7

1.3.2 Đa thức với hệ số thực 7

1.4 Đa thức trực giao 8

1.4.1 Đa thức Legendre 9

1.4.2 Đa thức Chebyshev loại I 10

1.4.3 Đa thức Chebyshev loại II 10

1.4.4 Đa thức Hermite 12

1.4.5 Đa thức lượng giác 13

2 Giải một số bài toán 15 2.1 Giải một số bài toán cao cấp 15

2.2 Giải một số bài toán sơ cấp 27

Kết luận và đề nghị 34

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướngdẫn và giúp đỡ của TS.Nguyễn Văn Minh Thầy đã giành nhiều thờigian chỉ bảo rất tận tình hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôitrong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin chân thành bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến Thầy

Tôi cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô Khoa Toán-Tin và phòng Đàotạo của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, viện Toánhọc, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013

- 2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ mang đến cho tôinhiều kiến thức bổ ích không chỉ trong khoa học mà còn cả trong cuộcsống Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học toánK7Q và bạn bè đồng môn đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tậptại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và trong quátrình hoàn thiện luận văn thạc sĩ

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình Nhờ có gia đình là chỗ dựa vữngchắc về vật chất và tinh thần cho tôi trong suốt quá trình học cao học

và làm luận văn Thạc sĩ

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015

Học viên

Phạm Văn Chinh

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS NguyễnVăn Minh Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luậnvăn là do tôi tự làm, không sao chép các luận văn đã được công bốtrước đó

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015

Học viên

Phạm Văn Chinh

TÓM TẮT NỘI DUNG

Ứng dụng Toán Cao cấp để nghiên cứu Toán sơ cấp là vấn đề người

ta vẫn làm Vì Toán cao cấp ở mức độ khái quát cao hơn rất nhiều

so với Toán sơ cấp Đề tài này cũng theo tư tưởng như đã nói ở trên,nhưng ở phạm vi hẹp hơn Trong đề tài này chúng tôi xét một lớphàm tương đối đặc biệt, đó là Đa Thức Trực Giao Ngoài đa thức theonghĩa thông thường, trong luận văn này chúng ta xét cả các đa thứclượng giác, vì đa thức lượng giác cũng là hệ hàm trực giao đầy đủ

Đa thức trực giao là đa thức có tính chất trực giao Đa thức trực giao

là một hệ đầy đủ, theo nghĩa là mọi hàm liên tục đều có thể khaitriển thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao, còn gọi là khai triểnFourier mở rộng

Đa thức trực giao ngoài những tính chất chung của đa thức, nó còn

có một số tính chất riêng, trong đó có những tính chất sơ cấp Luậnvăn này của chúng tôi cố gắng khai thác tính sơ cấp trong hệ đa thứctrực giao Trình bày và giải một số bài toán sơ cấp có liên quan tới đathực trực giao

Danh sách ký hiệu

Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xácđịnh trong bảng dưới đây:

hu, vi Tích vô hướng của hai vector u và v

||.|| Chuẩn của vector

C[a; b] Tập hợp các hàm liên tục trên đoạn [a,b]

Pn(x); Qn(x) Đa thức có bậc n, biến x

Mở đầu

Lớp các hàm đa thức trực giao có một vị trí khá đặc biệt trong toánhọc, nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu của Đại số cao cấp, củaGiải tích mà còn được nghiên cứu trong Giải tích số Vì đa thức trựcgiao là hệ đầy đủ trong không gian các hàm liên tục, cho nên nó là cơ

sở trực chuẩn của không gian này Mọi hàm liên tục đều có thể khaitriển một cách duy nhất thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao

Các hệ đa thức trực giao có những tính chất khá thú vị, chẳng hạnnhư mỗi hệ đa thức trực giao đều là nghiệm của phương trình vi phântuyến tính cấp 2; ba đa thực trực giao liên tiếp trong một hệ thỏamãn phương trình sai phân tuyến tính cấp 2; đa thức trực giao cấp n

có đúng n nghiệm thực, các nghiệm của đa thức cấp n và cấp n − 1xen kẽ nhau

Bản thân hệ đa thức trực giao là đối tượng của Toán cao cấp, nhưngbên cạnh đó chúng cũng có một số tính chất có tính sơ cấp Luận vănnày chúng tôi có gắng khai thác những tính chất thuộc về toán caocấp nhưng có thể sơ cấp hóa được và khai thác một số tính chất sơcấp của chúng

Ngoài các mục Mở đầu, Kết luận và một vài mục có tính chất hànhchính, Luận văn có hai chương chính, đó là chương 1 và chương 2:

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị Chương này nhắclại một số phần căn bản của Đại số cao cấp, Đại số tuyến tính và Giảitích

Chương 2, tình bày một số ví dụ, bài toán có nội dung liên quan tới

đa thức trực giao

|xi|p1/p, với 1 ≤ p ≤ +∞

Gán p các số khác nhau, ta được các chuẩn Ba chuẩn thường dùnglà:

1 Với p=1, ta có chuẩn ||x||1 =

nPi=1

3 Với p = +∞, ta có chuẩn ||x||∞ = max |x1|, |x2|, , |xn|

Trong chương trình hình học ta đã biết về tích vô hướng của hai vector;

ở đây ta suy rộng khái niệm đó cho vector tổng quát:

Định nghĩa 1.2 Cho V là không gian vector, x, y là hai vector của

V Tích vô hướng của hai vector là một số thực, ký hiệu là hx, yi, thỏamãn các tính chất sau, gọi là các tiên đề về tích vô hướng:

1 hx, yi = hy, xi;

2 hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ V , hx, xi = 0 ⇐⇒ x = θ;

3 hax + by, z)i = hax, zi + hby, zi, ∀x, y ∈ V; ∀a, b ∈ R

Không gian vector có trang bị tích vô hướng gọi là không gian cótích vô hướng Không gian V hữu hạn chiều có tích vô hướng gọi làkhông gian Euclid, ký hiệu là Rn Không gian V vô hạn chiều có tích

vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert, không gian tiền Hilbert đầy

đủ gọi là không gian Hilbert, ký hiệu là H Mọi không gian có tích vôhướng là không gian định chuẩn, với chuẩn là ||x|| = phx, xi Khônggian có tích vô hướng có bất đẳng thức quan trọng, đó là bất đẳngthức Cauchy- Bunyakovsky:

|hx, yi| ≤ ||x||.||y||

|hx, yi| = ||x||.||y|| ⇐⇒ ∃t ∈ R sao cho x = ty hoặc y = tx

Hai vector x, y là trực giao, khi và chỉ khi tích vô hướng của chúngbằng 0:

x⊥y ⇐⇒ hx, yi = 0

Ví dụ 1.1 Trong không gian Rn, với x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn).Khi đó những biểu thức sau là tích vô hướng:

1 hx, yi = x1y1 + x2y2 + + xnyn

2 hx, yi = c1x1y1 + c2x2y2 + + cnxnyn,

với c1 > 0, c2 > 0, , cn > 0 là những hằng số

1.3 Không gian các hàm liên tục

Như ta đã biết, tập hợp các hàm liên tục C[a; b] là không gian vectorHilbert Ở đây ta sử dụng tích vô hướng tích phân

hf (x), g(x)i =

bZ

bZ

a

f (x)g(x)dx| ≤

vuuut

bZ

a

f2(x)

vuuut

bZ

a

f (x).g(x)dx = 0

Định nghĩa 1.4 Hệ hàm S = {ϕ0(x), ϕ1(x), , ϕn(x), } được gọi

là hệ trực giao, nếu hai hàm bất kỳ trong hệ đó trực giao

hϕi(x), ϕj(x)i = 0 với i 6= j

Hệ S được gọi là trực chuẩn nếu hệ S là hệ trực giao và chuẩn củamỗi vector hàm bằng 1

hϕi(x), ϕj(x)i = δij

Hệ hàm trực giao đặc biệt thuận lợi khi khai triển hàm f (x) theo

họ S, tức là ta phải tìm các hệ số c0, c1, cn, sao cho hàm f (x) viếtđược dưới dạng

f (x) = c0ϕ0(x) + c1ϕ1(x) + + cnϕn(x) + (1.1)

Để xác định các hệ số cn, ta nhân cả hai vế đẳng thức (1.1) với ϕn(x),

do tính trực giao của hệ S, vế phải chỉ còn 1 số hạng

a

Biểu diễn hàm f (x) dưới dạng (1.1) với các hệ số được tính theo (1.2)gọi là khai triển Fouriers hàm f (x) theo hệ trực giao S Ngoài kháiniệm trực giao như đã nói ở trên, chúng ta còn sử dụng khái niệm trựcgiao với trọng số ρ(x) , nếu với hai hàm bất kỳ ϕm(x), ϕn(x) của hệ

S thỏa mãn điều kiện

bZ

a

ϕm(x)ϕn(x)ρ(x)dx = 0

ở đây ρ(x) là hàm cố định, liên tục trong khoảng (a, b) Khi ρ(x) ≡ 1

ta nhận được định nghĩa trực giao thông thường Vấn đề khai triểnFouriers hàm f (x) theo hệ trực giao có trọng số, cũng tương tự như

trên, hàm f (x) khai triển dưới dạng

f (x) = c00ϕ0(x) + c01ϕ1(x) + + c0nϕn(x) + (1.3)

với các hệ số Fouriers được tính theo công thức

c0n = 1

d2 n

bZ

bZ

3 hp, qi =Rabp(x)q(x)dx, với a, b là hai hằng số cho trước a<b

Hệ vector S = {f1, f2, fk, } là hệ trực giao nếu hfi, fji = 0, i 6= j

Hệ S là trực chuẩn nếu hf1, fji = δij Hệ S là đầy đủ nếu:

∀ε > 0, ∀x ∈ H, ∃n, sao cho ||

nXi=0

cifi − x|| < ε

Trong không gian Hilbert, các mệnh đề sau tương đương:

Ví dụ 1.3 1 x =

∞Pi=1

hxi, fiifi, ∀x ∈ H

2 ||x|| =

s

∞Pi=1

|hxi, fii|

3 Hệ S là đầy đủ

4 Nếu x trực giao với mọi fi ∈ S thì x = θ

1.3.1 Trực giao hóa Gram-Schmidt

Định lý 1.1 Giả sử V là không gian có tích vô hướng, S = {u1, u2, , um}

là một họ vector độc lập tuyến tính của V Ta có thể thay S bằng họtrực chuẩn S0 = {v1, v2, vm} sao cho spanSk = spanSk0, k = 1, m

Bước 3 Giả sử ta đã xây được họ trực chuẩn Sk−10 = {v1, v2, , vk−1}

ta xây dựng vector vk, muốn vậy, ta đặt:

wk = uk + t1v1+ t2v2 + + tk−1vk−1, ta cần xác định t1, t2, tk−1 saocho hwk, vji = 0, j = 1, 2, , k − 1 Từ đó suy ra: tj = −huk, vj, j =

là đa thức; tích của đa thức với một số là đa thức; thay biến x bởi

x = at + b ta được đa thức với biến t cùng bậc với đa thức biến x

Định nghĩa 1.5 Giả sử pn(x) là đa thức bậc n; số x0 được gọi lànghiệm của pn(x0) = 0

Định lý 1.2 (Định lý Bezou) Điều kiện cần và đủ đế số x0 là nghiệmcủa đa thức pn(x) là pn(x) chia hết cho đa thức (x − x0), hay nói khác

đi là đa thức pn(x) viết được dưới dạng pn(x) = (x − x0)qn−1(x)

Định lý 1.3 Giả sử pn(x) là đa thức bậc n, khi đó các mệnh đề sauđây là tương đương:

1 x0 là nghiệm bội cấp m của pn(x)

2 Đa thức pn(x) viết được dưới dạng pn(x) = (x − x0)m.qn−m(x),trong đó x0 không là nghiệm của đa thức qn−m(x)

Người ta cũng đã chứng minh được các tính chất chung nhất của đathức trực giao trên đoạn [a, b] với trọng số ρ(x)

1 Mỗi đa thức trực giao bậc n có đúng n nghiệm thực trên đoạn[a, b]

2 Nghiệm của đa thức trực giao Qn−1(x) và Qn(x) xen kẽ nhau,nghĩa là trong (n − 1) khoảng nghiệm của đa thức Qn(x), mỗikhoảng có đúng 1 nghiệm của đa thức Qn−1(x)

3 Mỗi đa thức trực giao Qn(x) thỏa mãn công thức truy hồi

an,n+1Qn+1(x) + an,n(1 − x)Qn(x) + an−1,nQn−1(x) = 0

3 L3(x) = 5x

3 − 3x2

4 L4(x) = 35x

4 − 30x2 + 38

5 L5(x) = 63x

5 − 70x3 + 15x8

−1

L2n(x)dx
1/2 =

r22n + 1

Ln(1) = 1; Ln(−1) = (−1)n; L2n+1(0) = 0; L0n(1) = n(n + 1)

2

1 Biểu thức dạng lượng giác

Tn(x) = cos (n.arccosx); Tn(cos (α)) = cos (n.α);

Tn00(−1) = (−1)nn

4 − n23

4 Chuẩn

||Hn|| =

vuuut

1.4.5 Đa thức lượng giác

Ở trên ta đã xét hệ các đa thức B1 = {1, x, x2, , xn, } Trực giaohóa hệ B1 bằng các tích vô hướng với trọng số khác nhau trên nhữngđoạn khác nhau, ta được các hệ đa thức trực giao khác nhau, như

hệ hàm trực giao Legendre, hệ hàm trực giao Chebyshev, Các hệ đathức này gọi chung là các đa thức đại số Ngoài các hệ đa thức đại

số nói trên, còn một hệ hàm trực giao đầy đủ khác, đóng vai trò rấtquan trọng trong toán học, đó là hệ đa thức lượng giác:

S = {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, , cos nx, sin nx, }

là hệ hàm trực giao và đầy đủ trên đoạn [−π, π] Một số tính chất của

hệ đa thức lượng giác

1 Tính trực giao Hệ S là hệ trực giao trên đoạn [−π, π], thật vậy:

πZ

−πsin (mx) cos (nx)dx = 0, ∀m, n ∈ N

πZ

−πsin mx sin nxdx = 0, ∀m, n ∈ N, m 6= n

−πcos mx cos nxdx = 0, ∀m, n ∈ N, m 6= n

2 Chuẩn

||1||2 =

πZ

−π

12dx = 2π

|| cos kx||2 =

πZ

−πcos2kxdx = π; k ≥ 1

|| sin kx||2 =

πZ

−πsin2kxdx = π; k ≥ 1

3 Chuẩn hóa Hệ trực giao S ở trên, có thể chuẩn hóa để nhậnđược hệ trực chuẩn

f (x) = a0

2 +

∞Xm=1(amcos mx + bmsin mx)

Với

am = 1

π

πZ

−π

f (t) sin mtdt; m = 1, 2, 3,

Chương 2

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

2.1 Giải một số bài toán cao cấp

Bài tập 2.1 ([5] Chứng minh rằng đa thức Chebyshev

Tn(x) = 1

2n−1 cos (n.arccosx); n = 1, 2, (2.1)thỏa mãn phương trình

được (x2 − 1)u0 = 2nxu.

Lấy đạo hàm hai vế (m + 1) lần đồng nhất thức trên, ta được

(x2− 1)u(n+2)+ 2(n + 1)xu(n+1)+ (n + 1)nu(n) = 2nxu(n+1)+ 2n(n + 1),

Từ đó

(1 − x2)u(n+2)− 2xu(n+1)+ (n + 1)nu(n) = 0 (2.3)

Thay vào (2.3) các biểu tức

u(n+2) = 2nn!L00n(x); u(n+1) = 2nn!L0n(x); u(n) = 2nn!Ln(x);

Ta được điều phải chứng minh

Bài tập 2.3 ([5]) Chứng minh rằng đa thức Chebyshev-Lagerr Qn(x) =

ex(xne−x)(n), n = 0, 1, 2, thỏa mãn phương trình vi phân

xQ00n(x) + (1 − x)Q0n(x) + nQn(x) = 0 (2.4)

Lời giải 2.3 Áp dụng công thức Leibnitz về tính đạo hàm cấp caocủa tích hai hàm u = xn, v = e−x, ta được biểu thức dưới dạng hiểncủa hàm Chebyshev-Lagerr

Qn(x) =

nXk=0(−1)n−kCnkn(n − 1) (n − k + 1)xn−k

Lấy đạo hàm hai vế n + 1 lần đồng nhất thức xu0+ (x − n)u = 0, với

có đủ n nghiệm thực trong khoảng (−1, 1)

Lời giải 2.5 Bổ đề Nếu đa thức Pn(x) có đủ n nghiệm thực (kể cả

bội), thì mỗi đa thức trong dẫy các đa thức đạo hàm Pn0(x), Pn00(x), , Pn(n−1)(x)cũng chỉ có nghiệm trực

Chứng minh bổ đề Nếu đa thức Pn(x) có n nghiệm đơn x1 < x2 <

< xn, theo định lý Roll, trong mỗi khoảng nghiệm [xi, xi+1] có ít

nhất một nghiệm của Pn0(x), có n − 1 khoảng nghiệm, do đó đa thức

Pn0(x) có n − 1 nghiệm thực Nếu đa thức Pn(x) có nghiệm xi bội kthì đa thức Pn0(x) cũng có nghiệm xi với bội k − 1 Vậy là ta đã chứngminh được mệnh đề: nếu đa thức cấp n có n nghiệm thực, thì đa thức

Pn0(x) có n − 1 nghiệm thực Tương tự, đa thức Pn00(x) có n − 2 nghiệmthực

Áp dụng bổ đề trên, đa thức Ln(x) là đa thức cấp n, nó là đạo hàm nlần của đa thức Un(x) = (x2 − 1)n, mà đa thức Un(x) = (x2 − 1)n có2n nghiệm thực trong đoạn [−1, 1], đó là các nghiệm x1 = x2 = =

ϕ(j)(+∞) = 0; j = 0, 1, , n − 1 áp dụng định lý Rolle n-3 lần ta nhậnđược ϕ(n−1)(x) nhận giá trị 0 tại n+1 điểm trên nửa trục dương, trong

đó có điểm x = 0 Lại áp dụng định lý Rolle cho hàm ϕ(n−1)(x) trên nkhoảng, ta nhận đượcn điểm ηk > 0 sao cho ϕ(n)(ηk) = 0 Hiển nhiên

ϕ(n)(0) = n! 6= 0 Do đó Qn(x) = ex(ϕ(x))(n), n = 0, 1, 2, là đa thứccấp n có đủ n nghiệm thực

Bài tập 2.7 ([5]) Chứng minh rằng, đa thức Chebyshev-Hermite

triệt tiêu tại ít nhất tại hai điểm, ; hàm u(n)(x) triệt tiêu tại ít nhất

n điểm Do đó đa thức Hn(x) = (−1)nex2(u(x))(n) có n nghiệm trùngvới các nghiệm của hàm u(x)(n)

Bài tập 2.8 ([6]) Khai triển thành chuỗi Fourier hàm

f (x) = x3, x ∈ (−1, 1)

theo hệ đa thức Chebyshev

Lời giải 2.8 Viết hàm f (x) dưới dạng chuỗi Fourier suy rộng

x3 =

∞Xn=0

Họ đa thức Chebyshev là họ trực giao với trọng số √ 1

1 − x2 Nhân cảhai vế (2.13) với trọng số, rồi tính tích phân từ -1 đến 1, ta được

1Z

−1

x3√ 1

1 − x2dx =

1Z

−1



∞Xn=0

πZ

0cos3t cos mtdx =







0, nếu m 6= 1, m 6= 33

Lời giải 2.9 Viết hàm f (x) dưới dạng chuỗi Fourier suy rộng

|x| =

∞Xn=0

anTn(x) = a0 +

∞Xn=1

anTn(x) (2.14)

Họ đa thức Chebyshev là họ trực giao với trọng số √ 1

1 − x2 Nhân cảhai vế (2.17) với trọng số, rồi tính tích phân từ -1 đến 1, ta được

a0 = 1π

1Z

1Z

πZ

0

|cost|arccosmt.dt

= 2

mπ

π/2Z

0costarccosmt.dt − 2

mπ

πZ

π/2costarccosmt.dt

|x| = 2

π − 2π

∞Xm=1(−1)m 4

m4m2 − 1T2k(x)

Bài tập 2.10 ([6]) Khai triển thành chuỗi Fourier hàm

f (x) =

(

0 nếu − 1 < x < 0

1 nếu 0 < x < 1

theo hệ đa thức Legendre

Lời giải 2.10 Viết hàm f (x) dưới dạng chuỗi Fourier suy rộng

f (x) =

∞Xn=0

anLn(x) = a0 +

∞Xn=1

anLn(x) (2.15)

Do đó

a0 = 12

+1Z

−1

f (x)Lk(x)dx = 2k + 1

2

+1Z

((x2 − 1)k)(k−1) = (

kXl=0

(−1)m (4m + 3)(2m)!

22m+2m!(m + 1)!L2m+1(x)

Bài tập 2.11 ([6]) Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f (x) =

|x|, x ∈ (−1, 1) theo hệ đa thức Legendre

Lời giải 2.11 Viết hàm f (x) dưới dạng chuỗi Fourier suy rộng

|x| =

∞Xn=1

anLn(x); an = 2n + 1

2

+1Z

− d

2m−2(x2 − 1)2m

dx2m−2

1 0

(−1)m (4m + 1)(2m − 2)!

22m(m − 1)!(m + 1)!L2m(x)

Bài tập 2.12 ([6]) Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f (x) =

e−ax, x ∈ R theo hệ đa thức Lagerr

Lời giải 2.12 Viết hàm f (x) dưới dạng chuỗi Fourier suy rộng

e−ax =

∞Xn=0

e−ax, x ∈ R theo hệ đa thức Lagerr

Lời giải 2.12 Viết hàm f (x) dạng chuỗi Fourier suy rộng

e−ax