Cấu trúc Đại số dây (LV00415)

Xây dựng một lý thuyết thống nhất các tương tác sẽ cho phép ta hiểu sâu sắc hơn về bản chất các hiện tượng, các mối quan hệ động lực, từ đó tiên đoán được hàng loạt các hệ quả mới.. Đến

Mở Đầu

1 Lý do chọn đề tài:

Các đối tượng vật lí tác động lẫn nhau thông qua bốn loại tương tác cơ bản nhất tạo nên bức tranh vũ trụ của chúng ta đó là: tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác điện từ và tương tác hấp dẫn Xây dựng một lý thuyết thống nhất các tương tác sẽ cho phép ta hiểu sâu sắc hơn về bản chất các hiện tượng, các mối quan hệ động lực, từ đó tiên đoán được hàng loạt các hệ quả mới

Một phương hướng hiện nay được xem có nhiều triển vọng nhất để xây dựng lý thuyết đại thống nhất là Lý Thuyết Dây được hình thành vào những năm

1968 đến 1973 Sự ra đời của Lý Thuyết Dây là một phát minh có tầm quan trọng

đặc biệt trong vật lý các hạt cơ bản Đến đây các hạt cơ bản không được xem như các hạt điểm nữa mà được xem như các sợi dây chuyển động trong không - thời gian, khi ấy nó quét lên một mặt gọi là “ lá thế” Nền tảng của Lý Thuyết Dây chính là lý thuyết trường lượng tử mô tả động lực học của dây trên lá thế

Có thể nghiên cứu lí thuyết dây thông qua công cụ đại số dây Xây dựng

được mô hình cấu trúc đại số dây từ đó phát hiện được các tính chất xác lập phân loại mô hình lý thuyết dây Đề tài “ Cấu trúc đại số dây” nghiên cứu một cách có

hệ thống đại số dây và đại số dây biến dạng

2 Mục đích nghiên cứu

- Xây dựng được đại số dây và các biểu diễn của chúng

- Xây dựng được đại số dây biến dạng

- Đưa ra biểu diễn dao động -q và dao động Para-Boson của đại số dây

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu và viết tổng quan về lý thuyết dây

- Nghiên cứu đại số dây và các biểu diễn của chúng

- Xây dựng đại số dây biến dạng không dị thường, có dị thường và đại số dây biến dạng -R(q)

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu và tìm hiểu tổng quan về lý thuyết dây và đại số dây

- Nghiên cứu đại số dây biến dạng và đại số dây biến dạng -R(q)

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tự đọc và tìm hiểu tài liệu theo hướng dẫn của giáo viên

- Tham dự các sêmina và các hội nghị khoa học vật lý

6 Những đóng góp mới về khoa học thực tiễn của đề tài

- Xây dựng được mô hình đại số dây, đại số dây biến dạng

- Đưa ra được biểu diễn dao động -q và dao động Para-Boson của đại số Virasoro

- Xõy dựng được đại số Virasoro biến dạng -R(q)

Nội dung

Chương I: Các nguyên lí cơ bản về đại số dây

1.1 Khái niệm chung về lý thuyết dây:

Lý thuyết trường lượng tử tương ứng với quan niệm hạt là đối tượng không kích thước - điểm theo nghĩa toán học Để giúp hiểu sâu hơn về khái niệm hạt dây, ta hãy nhắc sơ qua về hạt điểm

Khi chuyển động trong không - thờigian từ vị trí 1 tới vị trí 2, hạt điểm vạch nên một đường gọi là đường thế (xem hình vẽ)

Vị trí của hạt có thể mô tả bởi hàm vector x () phụ thuộc vào thông số  nào đó dọc theo quỹ đạo, có thể hiểu là thời gian riêng của hạt,  là chỉ số Lorentz khái quát trong không - thời gian D chiều,  = 0,1,2,… D - 1

Chuyển động của hạt điểm trong không - thời gian Minkowski với metric

Trong đó (e() là một hàm nào đó, đóng vai trò như metric dọc theo quỹ

Phương trình Euler - Lagrange áp dụng với x

0 ) x (

L x

x d

có nghiệm tương ứng với đường thẳng trong không - thời gian Minkowski

Khi xem hạt là đối tượng có kích thước một chiều - dây, thì cách tiếp cận cũng tương tự Khi chuyển động trong không - thời gian từ vị trí 1 tới vị trí 2, hạt dây sẽ quét nên một mặt gọi là lá thế (xem hình vẽ)

Vị trí của dây trong không - thời gian được xác định bởi hàm X (,) phụ thuộc 2 thông số  và ,  có thể hiểu như thời gian riêng của dây

-<<+ ,  có thể hiểu như độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây, với các giá trị được chọn trong khoảng 0

Kết hợp lại thành vector 2 chiều trên lá thế, ta viết:

§­a vµo c¸c metric tensor trªn l¸ thÕ h vµ h víi c¸c tÝnh chÊt

Như vậy, ở đây có ba đối xứng định xứ: đối xứng (1.4) với hai thông số và

đối xứng Weyl (1.6) Do đó ta có thể chọn 3 thành phần độc lập của metric tensor

h theo metric Minkowski  hai chiều:

h =  = diag (1, -1) Vậy chuyển động của hạt dây trong không - thời gian được mô tả bởi tác dụng

1.2 Phương trình chuyển động của dây:

áp dụng phương trình Euler - Lagrange

0 ) X (

L X

X            (1.9)

động trái” của dây

Cần phân biệt dây mở và dây đóng

) ( m n

n

1 2

i ) ( p 2

1 x 2

1 ) (

n

1 2

i ) ( p 2

1 x 2

1 ) ( X

1 i p x ) ( X

ở đây có thể xem x và p như toạ độ và xung lượng của khối tâm của hạt dây, 

n như các dao động tử quỹ đạo

Ta đòi hỏi X phải là thực, nên x và p cũng phải là thực

) ( in 2 n

n

1 2

i ) ( p 2

1 x 2

1 ) (

n

1 2

i ) ( p 2

1 x 2

1 ) ( X

e

~ e

e n

1 2

i p x ) ( X

Chú ý rằng trong trường hợp dây đóng ta phân biệt dao động tử quỹ đạo 

n

ứng với “chuyển động phải”, và 

~n ứng với “chuyển động trái”

Để tiện sử dụng về sau, ta viết ra các biểu thức khai triển của X  Xvà X’  X Trong trường hợp dây mở, từ (1.11) ta có:

cos

in n n

' X

Trong đú ta ký hiệu  



Trong trường hợp dõy đúng, từ (1.14) ta cú:

int 2

e

~e

int 2 '

e

~e

1.3 Phép biến đổi Lorentz bất thường trong lý thuyết dây

Xét các phép biến đổi Poincaré trong không - thời gian D chiều:

X  X’=AvXv+ a (1.17)

Đối với lá thế thì phép biến đổi này có tính toàn cục (các thông số Av và

a không phụ thuộc ), và tính bất biến Poincaré gắn liền với các dòng Noether trên lá thế Phương thức xây dựng các dòng Noether trên lá thế tổng có thể tóm tắt như sau:

Xét phép biến đổi trường  () dạng:

()  ’()= () + .() (1.18) trong đó  là một thông số cực vi

Tác dụng S được giả thiết là bất biến (S = 0) đối với phép biến đổi toàn cục ( không phụ thuộc ) Đối với phép biến đổi định xứ ( =  ()), một cách tổng quát ta có thể viết:

    

 S ~ d2 J().  ( ) (1.19)

trong đó J (  )

 là dòng Noether ứng với phép biến đổi (1.19)

Ta hãy chứng tỏ rằng khi tính đến phương trình chuyển động thì  

 

J ) = 0, tức ( )

J là dòng bảo toàn Quả vậy, phương trình chuyển động được rút ra từ điều kiện tác dụng S là dừng đối với mọi biến thiên (1.19) với  =  (), cụ thể là:

X’= X + aXem a như a (), ta có:

0 0

thay vào đây các biểu thức khai triển (1.11), (1.14) và chú ý rằng:

no 0

ncos

Xét sang phép biến đổi Lorentz đồng nhất

X  X’ = X + vXvxem v như v () ta có:

2

1'S

Xd

1X.Xd

21

1 M

1 M d

0 0

v 0

) (

2 m cos n cos d

n v n v n n v

v

n

1 i p x p x

n v n v n n n v n v n n v

v v

n

1 i p x p x

cho dây đóng

1.4 Lượng tử hoá dây boson

Tiến hành lượng tử hoá dây, ta thừa nhận các hệ thức giao hoán đồng  như sau:

) ' ( i )]

' , ( ), , ( X [    v    v    (1.26)

0 )]

' , ( X ), , ( X [    v   

0 )]

' , ( ), , ( [       

Trong đó X(  ,  )được xem là toạ độ chính tắc, (   , )là xung lượng chính tắc tương ứng được định nghĩa bởi:

L X

' 0 ), ' ( ) ' ( ) ( d

e 2

1 ) '

Từ các hệ thức giao hoán chính tắc trên đây ta có thể tìm được các hệ thức giao hoán giữa các dao động tử quỹ đạo 

n như sau:

- Với dây mở:

0 , n m v v

~ , [ m vn 

Ngoài ra, các hệ thức giao hoán với x, p là:

v v

] x , p [     , [ x, xv]  [ p, pv]  0 (1.34)

0 ]

~ , p [ ] , p [ ]

~ , x [ ] , x [  vn   mv   vm   vm  (1.35) Xét tensor trên lá thế:

Chú ý đến các tính chất sau đây của T



T = T , T  0 , T  0 (1.38)

Từ tensor T ta lập vector trên lá thế:

0 0

Do có các hệ thức (1.38) - (1.40) cho nên tensor T định nghĩa ở (1.36) được xem là tensor năng - xung lượng trên lá thế và vector P định nghĩa ở (1.39) là vector năng - xung lượng trên lá thế

Chương Ii: đại số dây

2.1 Xây dựng đại số dây

Từ tensor năng - xung lượng T(1.37) ta lập các toán tử

1 2

Viết (2.2), (2.3) dưới dạng tích normal, trong đó toán sử sinh đứng trước toán tử huỷ (tính từ trái), tức là

: :

2

1 L

k

k n , k

1 L

~

k

k n , k

Ta hãy tính giao hoán tử [Ln, Lm]

Trước hết nhận xét rằng vì giao hoán tử giữa hai dao động tử quỹ đạo chỉ là một số, cho nên với bất kỳ toán tử F nào ta đều có:

] F , [ ] F :, [: mvn  mvn

Và do đó có thể viết:

[Ln, Lm] = [ , ]

4

1

1 m , v v 1 k

k n ,

Số hạng dị thường A(n) có thể tính theo cách như sau:

Giả sử 0 là trạng thái nền - chân không thoả mãn điều kiện

0 0

~

0   

Lúc này, từ định nghĩa của Ln ta có:

k

k n , k n

0 2

1 k

0 n k n , k 0

n ,

p 2 2

1 k

k n , k n

Các số hạng ở vế phải (2.14) tính như sau:

2 v

v n

v n n

v n

n

n k n k k

1 k

2

) 1 n ( Dn 3

1 ) k n ( k D 2

Trong quá trình tính ta đã sử dụng tính chất (2.10), đồng nhất thức (2.6) và

) 1 n ( n 2

2

) 1 n 2 )(

1 n ( n 6

1 k

Như vậy, ta tính được:

)1n(n12

Dpc

n0

LL

1





(2.16)

Thay (2.15) và (2.16) vào (2.12), ta có:

) 1 n ( n 12

D ) n (

m n m

12

D L

) m n ( ] L , L

Với L~n cũng hoàn toàn như vậy:

0 , m n 2 m

n m

12

D L

~ ) m n ( ] L

~ , L

~

Đại số tạo nên bởi các hệ thức giao hoán dạng (2.12), (2.19) được gọi là

đại số Virasoro dị thường

vật lý  cũng phải thoả mãn các phương trình suy ra từ phương trình chuyển

đối với dây đóng

trong đó a0 là một thông số, được gọi là thông số Regge

Các phương trình (2.20) và (2.21) cho phép xác định được phổ khối lượng của các trạng thái kích thích

k k 2

8 k

k k

2

1 : :

k k 0

2

a 2

phương trình (29.4) cho thấy rằng toán tử

k k 0

2

a 2

có ý nghĩa là toán tử bình phương khối lượng của dây

dùng hệ thức giao hoán (1.30) dễ dàng thấy rằng trạng thái kích thích

k k 2

0

~

~ p

8

1 L

k k 0

~

~ a

k k 0

1 k

k k 0

p

1 i i

1 i i

1 i i

 p

1 i i

Từ (2.26) và (2.32) ta chú ý rằng các trạng thái nền không kích thích (p=0, q=0)

có bình phương khối lượng thấp nhất, m2=2a0 trong trường hợp dây mở và m2=8a0trong trường hợp dây đóng Như vậy khi a0>1 (chẳng hạn a0=1 với dây boson) thì

các trạng thái này có m2<0 và các hạt tương ứng được gọi là tachyon Tìm một cơ

chế để loại từ các techyon về mặt lý thuyết là một trong những vấn đề trọng tâm

được nhiều người quan tâm

2.3 Lượng tử hoá dây bosson mở

Sự lượng tử hoá dây trình bày ở các chương I mới chỉ ở mức độ biến các

toạ độ X, ,… thành các toán tử tuân theo các quy tắc giao hoán nhất định Có

thể xem đó như lượng tử hoá lần thứ nhất - lượng tử hoá dây đơn lẻ Đến đây vẫn

chưa có khả năng mô tả các quá trình sinh và huỷ dây, và do đó các quá trình

chuyển hoá giữa các dây Để có thể mô tả các quá trình chuyển hoá giữa các dây,

cần phải xây dựng lý thuyết trường dây lượng tử Điều này cũng tương tự như cần

thiết xây dựng lý thuyết trường lượng tử để mô tả các quá trình chuyển hoá giữa

các hạt

Để chuyển từ lượng tử hoá dây đơn lẻ sang lý thuyết trường dây lượng tử, ta

chuyển từ hàm sóng mô tả trạng thái của dây sang phiếm hàm dưới đây

 [X(,), (,)…]

Đây không phải là phiếm hàm thông thường với các giá trị số thông thường, mà

là phiếm hàm với các giá trị là các trường trong không - thời gian x Trong mục

này chúng ta nói đến phiếm hàm trường dây cho trường hợp dây boson mở

Phiếm hàm trường dây boson mở [X(,)] có biểu thức khai triển tổng quát

số khai triển này có thể xem là đối xứng theo các cặp chỉ số 

Ta hãy viết biểu thức (2.34) cho một số trường thành phần ứng với các mode kích thích thấp nhất

[X(,)]  {  ( x )  iA( x ) 1 iv( x ) 2   1 ( ) 1 1 } 0

2

v v

l x     (2.35)

trong đó ký hiệu:

v 11 v 2

1

l , v ,

L1 = 0 , L2 = 0 (2.38) Xuất phát từ (2.36), (2.38) ta hãy viết ra phương trình cho các trường thành phần trong (2.35)

Sử dụng biểu thức tường minh của L0,

kv v

…………

Như vậy (x) là tachyon với m2 = -2, A(x) không khối lượng, v(x)

và l v(x) có m2 = 2, …

Một cách tổng quát, trường 1 r ( x )

r 1

n

n m m

 thoả mãn phươg trình Klein-Gordon với

Cũng tiến hành hoàn toàn tương tự, ta sẽ thấy rằng phương trình L2  0

và các hệ thức giữa các trường thành phần tương ứng với các mode kích thích cấp cao hơn

Đáng chú ý là trường A(x) là trường vector không khối lượng, thoả mãn

điều kiện tương tự như gauge Lorentz A  0 và do đó có thể đoán nhận là trường gauge Như vậy, phương trình (2.35) tương ứng với phương trình Maxwell trong lý thuyết trường điện tử, phương trình (2.36) tương ứng với điều kiện gauge Lorentz và do đó được gọi là điều kiện gauge của trường dây

2.4 Lượng tử hoá dây bosson đóng

Phiếm hàm trường dây boson đóng có biểu thức khai triển tổng quát như sau:

Phiếm hàm  thoả mãn các phương trình tương tự (2.21)

(L0 - 1)  = 0 , (L~ - 1)  = 0 (2.46)

X(  ,  ) ( x )  tv( x ) 1~10

trong đó ký hiệu 1 , 1 v

v , t

 



Cũng bằng các tính toán tương tự như đã làm ở (2.36), (2.37), (2.38), (2.39) phương trình (2.46) cho:

Như vậy (x) là tachyon với m2 = -8, trường t v(x) không khối lượng

Một cách tổng quát, trường 1 r 1 r ( x )

r 1 r 1

m m , n

n v

v , 



 thoả mãn phươg trình Klein-Gordon với

m2 = 8[-1+(n1+…+nr)] = 8[-1+(m1+…+ms)] (2.54) Xét sang các phương trình (2.47) Ta có:

k l k 1

k l k 1

1 1 1 v

từ đây suy ra: tv( x ) = 0 (2.55)

Và các hệ thức giữa các trường thành phần tương ứng với các mode kích thích cao hơn

Cũng tiến hành hoàn toàn tương tự, phương trình L~1  0 cho:

0 ) x (

t v 

và các hệ thức giữa các trường thành phần cao hơn

2.5 Các biểu diễn của đại số dây

2.5.1 Biểu diễn vi phân của đại số dây

Đại số Virasoro bao gồm những vi tử Ln, nZ thoả món những hệ thức giao hoỏn:

Thay thế cho biểu diễn (2.58) có thể sử dụng biểu thức tổng quát hơn cho các vi

tử Ln mà chúng vẫn thoả mãn đại số (2.57) Dạng tổng quát của biểu thức đó là:

2

cx

1 m n

2 1 1

n

xcmcxx

.xcncx

= n 1 m  x

xx)1m(

x



+c1n + c2)x-n (x)}

Siêu đại số Virasoro bao gồm những vi tử Ln và Gr thoả mãn những hệ thức giao hoán:

[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m

[Ln, Gr] =

r n

Grn2

Gọi  là biến số Grassmann với

2

1nx

Gr = r

xx

rxx

thực hiện siờu đại số(2.60)

2.5.2 Biểu diễn dao động tử điều hoà của đại số dây

Biểu diễn dao động của đại số virasoro cho dao động a và liên hợp héc mít của chúng a+ tuân theo hệ thức giao hoán

[ a, a+] = 1 Xét toán tử Ln sau:

Thực hiện đại số Virasoro (2.57)

thật vậy ta có:

[Ln,Lm] = LnLm - LmLn = (a+)-n+1 a(a+)-m+1a - (a+)-m+1a(a+)-n+1a

= (a+)-n+1 {(-m +1)(a+)-m +(a+)-m+1a}a -

- (a+)-m+1{(-n +1)(a+)-n +(a+)-n+1a }a = {(-m+1) - (n+1)} (a+)-(n+m)+1a

= (n-m)Ln+m

Để tổng quát hoá ta có thể dùng dạng:

Ln = (a+)-n(a+a + c1n + c2) (2.64) trong đó c1, c2 là các hằng số tuỳ ý Nếu c1 = c2 = 0 thì (2.64) trở về (2.63)

Thực hiện đại số Virasoro (2.57)

thật vậy ta có:

[Ln, Lm] = [(a+)-n (a+a + c1n + c2), (a+)-m (a+a + c1m + c2)]

[Ln, Lm] = [{(a+)-n+1a + (a+)-n(c1n + c2)},{(a+)-m+1a + (a+)-m(c1m + c2)}] = [(a+)-n+1a, (a+)-m+1a] + [(a+)-n+1a, (a+)-m(c1m + c2)]

+ [(a+)-n(c1n + c2), (a+)-m+1a]+ [(a+)-n(c1n + c2), (a+)-m(c1m + c2)] = (n-m) (a+)-(n+m)+1 a + [(a+)-n+1a, (a+)-m] (c1m+c2)

+ [(a+)-n, (a+)-m+1a] (c1n + c2) = (n-m) (a+)-(n+m)+1 a + {(a+)-n+1a(a+)-m - (a+)-(n+m)+1 a}]( c1m +c2)

+ {(a+)-(n+m)+1a - (a+)-m+1 a(a+)-n}( c1n +c2) = (n-m) (a+)-(n+m)+1 a - m(a+)-(n+m) (c1m + c2) + n(a+)-(n+m) (c1n+c2) = (n-m) (a+)-(n+m)+1 a - (n2-m2)c1(a+)-(n+m) + (n-m)c2(a+)-(n+m)

= (n-m) (a+)-(n+m) {a+a + c1(n+m) + c2}