Các bài toán về dãy số số học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN ANH TUYẾN CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ SỐ HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng d

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN ANH TUYẾN

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ SỐ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN ANH TUYẾN

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ SỐ HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN - 2013

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU Trang 1 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trang 3

1.1 Dãy số số học Trang 3

1.2 Các kiến thức cơ bản của Số học có liên quan Trang 4

CHƯƠNG 2 VỀ MỘT VÀI DÃY SỐ SỐ HỌC ĐẶC BIỆT Trang 10

2.1 Dãy nguyên tố Trang 10

2.2 Dãy chính phương Trang 15

MỞ ĐẦU

Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp, mỗi dãy trên tập hợp X là một ánh

xạ f I: → X trong đó I là một tập hợp con của tập hợp các số tự nhiên `

Lý thuyết dãy có mối liên hệ gần gũi với nhiều ngành toán học khác nhau như Đại số và Lý thuyết số, Toán Giải tích, Xác suất và Thống kê toán học, Hình học và Tôpô Chính vì vậy, lời giải các bài toán về dãy số thường dựa trên nhiều ý tưởng và phương pháp khác nhau

Trong khoa học máy tính, khái niệm dãy (hữu hạn) thể hiện cụ thể thành các danh sách (tuyến tính), mảng, ngăn xếp, hàng đợi là những cấu trúc dữ liệu quan trọng Các khái niệm về giải thuật, máy Turing cũng đều liên quan đến các dãy số

Các bài toán về số học trên dãy số thường xuất hiện khá nhiều trong đề thi tại các kỳ thi học sinh giỏi vô địch toán quốc gia (VMO) hoặc các kỳ thi vô địch toán quốc tế (IMO) Mô hình chung của các bài toán này như sau: Cho một dãy

số các số nguyên nào đó (gọi là dãy số số học hay dãy nguyên) được thiết lập theo các cách truyền thống của lý thuyết dãy số, hãy nghiên cứu các bài toán cơ bản của Số học (bài toán chia hết, bài toán về số chính phương, bài toán về số nguyên tố, bài toán về biểu diễn số,…) trên dãy số đã cho Để giải những bài toán này, người ta kết hợp khéo léo các phương pháp cơ bản của lý thuyết dãy

số với các nguyên lý của Số học

Với những lý do như đã trình bày, luận văn đề cập đến các nội dung sau:

1 Dãy số số học đặc biệt (dãy nguyên tố, dãy tựa nguyên tố, dãy chính phương, dãy số Fibonacci và tỉ số vàng)

2 Bài toán số học trong dãy các số số học

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luân văn gồm ba chương

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Một số dãy số học đặc biệt

Chương 3 Một số bài toán trên các dãy số số học

Nhân dịp hoàn thành luận văn này, tác giả xin cảm ơn sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của người hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thành Quang

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại

số và Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh, những người đã tận tình giảng dạy và tổ chức thành công cho khóa học

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu

Tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Trung học Phổ thông Võ Trường Toản - Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai, các đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 8 năm 2013

Tác giả

Dãy số { }u n được gọi là:

- Dãy hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử

- Dãy vô hạn nếu nó có vô hạn phần tử

- Dãy đơn điệu tăng nếu u n+1>u n,∀ =n 1,2,

- Dãy đơn điệu không giảm nếu u n+1≥u n,∀ =n 1,2,

- Dãy đơn điệu giảm nếu u n+1<u n,∀ =n 1,2,

- Dãy đơn điệu không tăng nếu u n+1≤u n,∀ =n 1,2,

- Dãy bị chặn trên nếu tồn tại số thực K sao cho u n <K n,∀ =1,2,

- Dãy bị chặn dưới nếu tồn tại số thực M sao cho u n>M n,∀ =1,2,

- Dãy bị chặn nếu nó vừa là dãy bị chặn trên vừa là dãy bị chặn dưới

- Dãy dừng nếu tồn tại một số thực C và số tự nhiên n0 nào đó sao cho

0

,

n

u =C n∀ ≥n

Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp, mỗi dãy trên tập hợp X là một ánh

xạ f I: → X trong đó I là một tập hợp con của tập hợp các số tự nhiên `

1.1.2 Dãy số số học Dãy số { }u n được gọi là dãy số số học nếu mọi phần tử u n

đều là số nguyên

Như vậy, mỗi dãy số số học là một ánh xạ f I: → trong đó I là một tập hợp con của tập hợp các số tự nhiên `

Ví dụ 1) Dãy các số tự nhiên lẻ {1,3,5,7,9,11, } là một dãy số học

2) Dãy các số tự nhiên chẵn {0,2,4,6,8,10, } là một dãy số học

3) Dãy vô hạn các số nguyên tố {2,3,5,7,11,13, } là một dãy số học

1.1.3 Một số dãy số đặc biệt Dãy số { }u n được gọi là:

- Cấp số cộng với công sai d ( d ≠0) nếu u n =u n−1+ ∀ =d n, 2,3,

- Cấp số nhân với công bội q ( q ≠0) nếu u n =u q n n−1 ,∀ =2,3,

1.2 Các kiến thức cơ bản của Số học có liên quan

1.2.1 Số nguyên tố Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, không chia hết cho số

nguyên dương nào ngoài 1 và chính nó Số nguyên lớn hơn 1 không phải là số

nguyên tố được gọi là hợp số

Định lý sau đây của Số học là một cơ sở quan trọng của thuật toán tìm các

số nguyên tố không vượt quá một số tự nhiên cho trước

1.2.2 Định lí Mọi hợp số n đều có ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n

1.2.3 Hệ quả Mọi số tự nhiên n lớn 1 không có ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc

bằng n đều là số nguyên tố

Chẳng hạn, số 31 không có có ước nguyên tố là 2, 3, 5 (các số nguyên tố không vượt quá 31) nên 31 là số nguyên tố Như vậy, để kiểm tra tính nguyên

tố của số 31 thay vì cần phải kiểm tra cả thảy là 30 phép chia, ta chỉ cần kiểm tra

3 phép chia, tức số phép chia giảm đi 10 lần

Từ hệ quả trên, ta có thuật toán viết tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc

bằng một số nguyên dương n cho trước

1.2.4 Thuật toán sàng các số nguyên tố Eratosthenes Trước tiên, ta viết dãy

các số tự nhiên từ 1 đến n Trong dãy đó, ta gạch bỏ số 1 vì nó không phải là số

nguyên tố Số nguyên tố đầu tiên của dãy là số 2 Giữ lại số 2 và gạch khỏi dãy

số tất cả những số khác mà chia hết cho 2 Số đầu tiên không chia hết cho 2 là 3

và đó chính là số nguyên tố Giữ lại số 3 và lại gạch khỏi dãy số những số nào chia hết cho 3 mà khác 3 Số đầu tiên không chia hết cho 3 là 5 và đó chính là số nguyên tố Tiếp tục như thế đối với các số nguyên tố tiếp theo mà bé hơn hoặc bằng n

Sàng Eratosthenes mặc dù cho ta thuật toán xác định mọi số nguyên tố không vượt quá một số cho trước nhưng lại rất ít được sử dụng để xác định xem

một số đã cho có phải là số nguyên tố hay không Nguyên nhân là vì thuật toán

có độ phức tạp khá lớn: để kiểm tra n, ta phải thực hiện phép chia cho tất cả các

số nguyên tố không vượt quá n

1.2.5 Định lí cơ bản của Số học Mọi hợp số đều phân tích được một cách duy

nhất thành tích các số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết với thứ tự không giảm

1.2.6 Thuật toán Euclid Thuật toán cho phép xác định ước chung lớn nhất

(gcd) của hai số nguyên nguyên dương Với a,b là các số nguyên dương (giả thiết a > b) Ta xét 3 trường hợp sau:

a) Nếu b là ước của a thì (a, b) = b

Vì bất đẳng thức sau đây là xảy ra, nên quá trình chia nói trên là dừng lại

sau không quá a bước, hay quá trình này là một thuật toán:

1.2.7 Thuật toán Euclid mở rộng Thuật toán này sử dụng để giải phương

trình Diophantine ax + by = c, trong đó a,b,c là các số nguyên; x, y là các ẩn

nhận giá trị nguyên Điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm nguyên

là ước chung lớn nhất của a và b là ước của c Khẳng định này dựa trên mệnh đề sau: Nếu d là ước chung lớn nhất của a,b thì tồn tại các số nguyên x, y sao cho

ax + by = d

Thuật toán Euclid mở rộng kết hợp quá trình tìm ước chung lớn nhất của

a,b trong thuật toán Euclid với việc tìm một cặp số nguyên x, y thoả mãn

phương trình Diophantine nói trên bằng phương pháp truy hồi

1.2.8 Định nghĩa Hàm số Euler ( )ϕ m là hàm số học có giá trị tại mỗi số tự nhiên m≠0 bằng số các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng

nhau với m:

1 ( , ) 1

Hàm ( )ϕ m có nhiều ứng dụng vì nó là kích thước hay cấp của nhóm nhân

các số nguyên modulo m Hơn nữa, đối với hàm Euler ( )ϕ m ta có công thức

Gauss là công thức tổng trải trên các ước dương d của m:

Định lí Euler có thể dùng để tìm số nghịch đảo theo mod m Chẳng hạn,

nếu a và m là các số nguyên nguyên tố cùng nhau, ta có aaϕ( ) 1m − ≡1 (mod )m tức

là aϕ( ) 1m − là nghịch đảo của a theo mod m Từ đó cũng suy ra nghiệm của phương trình đồng dư tuyến tính ax b≡ (mod )m với (a m, )=1 là

Một cách độc lập các nhà toán học Trung quốc đã đưa ra một giả thuyết

(thường gọi là Giả thuyết Trung Quốc) nói rằng: p là một số nguyên tố khi và

chỉ khi 2p≡2 (mod )p Đúng là, nếu p là số nguyên tố, thì 2p≡2 (mod )p Đây

là trường hợp đặc biệt của Định lý bé Fermat Tuy thế, điều ngược lại (nếu 2p 2 (mod )

p

2 ≡2 (mod341), nhưng 341 = 11.31 là hợp số Như vậy, mệnh đề ngược lại của Định lí Fermat

bé không đúng Tuy nhiên, qua nhiều thống kê cho thấy rằng nếu một số nguyên thỏa mãn kết luận của Định lí Fermat bé thì "có nhiều khả năng" nó là số nguyên

tố Do đó, dẫn đến khái niệm sau

1.2.11 Số giả nguyên tố Nếu ta muốn kiểm tra số n có là số nguyên tố không,

ta lấy ngẫu nhiên các số nguyên a và kiểm tra xem đồng dư thức

(mod )

thì n là hợp số Nếu đồng dư thức đúng với một hoặc nhiều giá trị của a, thì ta nói rằng n là số nguyên tố với xác suất nào đó, hay n là một số giả nguyên

tố (pseudoprime)

a ≡a n ,

thì n được gọi là số giả nguyên tố cơ sở a

F Sarrus vào năm 1820 đã tìm thấy 341 = 11×31 là số giả nguyên tố cơ

sở 2 đầu tiên

Một số nguyên dương n là số giả nguyên tố cơ sở a với mọi số nguyên a

sao cho gcd( , ) 1a n = được gọi là số Carmichael (chẳng hạn số 561)

1.2.12 Định lí Trung Quốc (Chinese Remainder Theorem) Giả sử m 1 ,… , m r

là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau từng đôi một Khi đó, hệ phương trình đồng dư:

1 1

(mod )

)(mod

có nghiệm duy nhất theo môđun m=m m m1 2 r

1.2.13 Bậc của một số nguyên Cho ,a m là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau Khi đó, theo Định lý Euler ta có đồng dư thức

1.2.14 Căn nguyên thuỷ Cho các số nguyên dương ,p q nguyên tố cùng nhau

Khi đó, q được gọi là căn nguyên thủy của p theo mod q nếu

Nếu số nguyên tố p là một ước của F n( ) và p không là ước của F m( )

với m n< thì p được gọi là một ước số nguyên tố nguyên thuỷ của F n( )

Định lý Carmichael, được đặt tên sau khi nhà toán học Mỹ R D Carmichael, chỉ ra rằng với n lớn hơn 12, số hạng F n( ) có ít nhất một ước nguyên tố mà không phải là ước của bất kỳ số Fibonacci nào trước đó

Ngoại lệ duy nhất cho n lên đến 12 là:

F(1) = 1 và F(2) = 1 không có ước nguyên tố

F(6) = 8 chỉ có ước nguyên tố 2 (đó là F (3))

F(12) = 144 chỉ có ước nguyên tố 2 (đó là F(3)) và 3 (đó là F(4))

1.2.15 Định lý Carmichael Mỗi số Fibonacci, ngoài các trường hợp ngoại lệ được liệt kê ở trên, có ít nhất một ước số nguyên tố nguyên thủy

1.2.16 Hàm số Carmichael. Giá trị của hàm số Carmichael tại một số nguyên dương n, ký hiệu bởi λ( )n , được định nghĩa là số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho a m≡1 (mod )n với mọi số nguyên a sao cho a nguyên tố cùng nhau với n

a − ≡ p Do đó, λ( )p = −p 1 với mọi số nguyên tố p

1.2.17 Phân tích Fermat Cho n là số nguyên dương lẻ Giả sử n = ab với a, b

là các số nguyên, do n lẻ nên a, b đều lẻ Vì vậy, chúng ta có thể viết n=x2−y2

n Thật vậy:

2 2

2

1 2

CHƯƠNG 2

VỀ MỘT VÀI DÃY SỐ SỐ HỌC ĐẶC BIỆT

2.1 Dãy nguyên tố

2.1.1 Dãy nguyên tố Dãy số số học {f n( )}n∈` ∗ được gọi là một dãy nguyên tố

nếu mỗi số hạng f n( ) là một số nguyên tố với mỗi số nguyên tố n

Dĩ nhiên dãy số {2,3,5,7,11,13,17,19, ,p p n, n+1, } gồm tất cả các số nguyên tố là một dãy số nguyên tố

2.1.2 Bài toán Hãy tìm một công thức tổng quát của dãy nguyên tố Chúng ta thử xét một dãy số số học có số hạng tổng quát như sau:

2.1.3 Định lý Dãy số số học {f n( )} chứa một dãy con vô hạn các hợp số

Chứng minh Giả sử c≥m là một số nguyên sao cho f c >( ) 1 và t là một số nguyên tuỳ ý Khi đó

trị nguyên của t Do đó, f n( )=n2−3n−41 là bội của 13 với n =9,22,35, hay dãy số {n2−3n−41} chứa một dãy con vô hạn các hợp số

2.1.4 Định lý Cho dãy số số học {f n( )}, với f n( )=a n−1,n≥2,a∈`,a>1

Khi đó, nếu dãy {f n( )} là dãy nguyên tố thì a =2

Chứng minh Vì dãy {f n( )} là dãy nguyên tố nên ta có f n( )=a n−1 là số nguyên tố với mỗi số nguyên tố n Nếu a >2 thì

( ) n 1 ( 1)( n n 1)

f n =a − = a− a − +a − + +"

có ước thực sự a −1, ta gặp một mâu thuẫn Vì vậy, a =2

Ngược lại, ta xét dãy số số học {2n−1} Ta có:

Do đó dãy số số học {2n−1} không phải là dãy nguyên tố

Như vậy, bài toán tìm một dãy nguyên tố tổng quát là chưa giải quyết được triệt để Chẳng hạn, hiện vẫn chưa ai tìm được một công thức f n( ) sao cho f n( )= p n, với p n là số nguyên tố thứ n

2.1.5 Giả thuyết Mersenne Giả sử n ≤257. Khi đó, 2n−1 là số nguyên tố chỉ khi

2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257

n =

2.1.6 Dãy tựa nguyên tố. Ta gọi dãy số số học {f n( )}n∈` ∗là một dãy tựa nguyên

tố nếu mỗi số hạng f p( ) hoặc là số nguyên tố, hoặc là bình phương của một số nguyên tố, với p là số nguyên tố tuỳ ý

Chúng ta chỉ ra một điều kiện đủ để dãy tổng quát {f n( )}n∈` ∗là dãy tựa nguyên tố hay mô tả các tính chất có thể có của dãy tựa nguyên tố

2.1.7 Định lý.Giả sử dãy số số học {f n( )}n∈` ∗ thoả mãn điều kiện :

f m f n( ( ) )=n f m2 ( )

Khi đó, số hạng f p( ) hoặc là số nguyên tố, hoặc là bình phương của một số nguyên tố, với p là số nguyên tố tuỳ ý Nói khác đi, dãy {f n( )}n∈` ∗là một dãy tựa nguyên tố

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh hàm f : * → là đơn ánh, tức là với

Như vậy f là một đơn ánh

Với ∀ ∈m *, ta có f m f( 1( ) )=1 2 f m( )= f m( ).Lại do f đơn ánh nên suy ra:

m f 1( )=m, hay f ( )1 =1 (1) Theo tính chất của hàm f ta chọn m = 1 thì :

f (1.f n( ) )=n f2 1( ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

f f n( ( ) )=n2, với ∀ ∈n * (3) Mặt khác ta lại có với ∀m n, ∈ *, thì

Giả sử ngược lại rằng, f p( ) không phải là số nguyên tố và cũng không phải

là bình phương của một số nguyên tố Điều đó có nghĩa là tồn tại

Do f a( )∈ *, nên f a( )≥1, nhưng f a( )≠1, vì nếu f a( )=1 thì theo (1) ta

có f a( )= =1 f ( )1 mà f là đơn ánh nên a = 1 là vô lý Vậy f a( )≠1, từ đó suy

ra f a( )>1 Tượng tự ta cũng chứng minh được f b( )>1

Lại do f là đơn ánh nên ta có a=b, điều này mẫu thuận với giả thiết a≠b

Vậy mệnh đề được chứng minh …

2.1.8 Xây dựng một ví dụ về dãy số tựa nguyên tố thoả mãn Định lý 2.1.7 Dãy số số học {f n( )}n∈` ∗ có thể xây dựng như sau:

Xét dãy tất cả các số nguyên tố xếp theo thứ tự tăng dần:

{p1=2,p2=3,p3=5,p4=7, , ,p p n n+1, }

với p n là số nguyên tố thứ n n =, 1, 2,3

Ta định nghĩa:

f p( 2 1i+ )= p2 2i+ , i =0,1, 2,3,

( ) 2

2 2i 2 1i , 0,1, 2,3,

f p + = p + i= Chẳng hạn:

m= p pα α pα Khi đó ta đặt:

k k l l

f n = ⎣⎡f p ⎤ ⎡⎦ ⎣β f p ⎤⎦β ⎡⎣f p ⎤⎦β

Từ đó áp dụng các điều kiện trên ta suy ra điều cần phải chứng minh (*) …

2.2.2 Mệnh đề Tồn tại duy nhất một dãy số số học tăng {f n( )}n∈` ∗ thoả mãn hai điều kiện sau đây:

1) f ( )2n = +n f n( ),∀ ∈n *;

2) Nếu f n là số chính phương, thì n là số chính phương( )

Chứng minh • Giả sử {f n( )}n∈` ∗ là dãy số số học thoả mãn các yêu cầu của bài toán Khi đó, do {f n( )}n∈` ∗ là dãy tăng, nên với mọi n∈ ∗, ta có:

f n( )= + −a n 1 (2) Trong (2) thay n bởi a2 + +a 2, ta có :

• Đảo lại, dãy số { }n thoả mãn mọi yêu cầu bài toán

Vậy { }n là dãy duy nhất thoả mãn yêu cầu đặt ra của bài toán. …

2.2.3 Mệnh đề Cho dãy số u u1, , 2 được xác định như sau:

1, 3( 2) ( 1) , 2,3,

Khi đó, u n là số chính phương khi và chỉ khi n =1; 3.

Chứng minh Với mỗi n≥2, ta đặt:

v n =u n−u n−1 (1) Khi đó nếu n≥3 thì:

v n−1=u n−1−u n−2 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

v n −nv n−1=u n− ⎡ +⎣(n 1)u n−1−nu n−2⎤⎦ (3) Theo cách xác định của dãy số u n, thì ∀ ≥n 3, ta có

u k n

=

=∑ ∀ = (7)

u = + + + = không phải là số chính phương

Tóm lại, trong dãy số { }u n nói trên, chỉ có hai số hạng u1và u3là số chính phương

2.2.4 Bài toán. Cho dãy số { }u n xác định như trong Mệnh đề 2.2.3 và một số nguyên p≥2 Hãy tìm tất cả các giá trị của n để u n là lũy thừa p của một số

tự nhiên nào đó

Bài toán được giải như sau Ta xét hai trường hợp:

- Nếu p=2 Khi đó theo lời giải trên, suy ra n=1 hoặc n=3

- Nếu khi p>2 Với mọi n≥2, ta có:

u =a , thì trước hết u n phải chia hết cho 27

Với mọi n≥9 ta có:

8 9

!

n n

8 8 1

n

u =a với a là số tự nhiên

u = = Bằng cách thử trực tiếp ta thấy u k không chia hết cho 27 với mọi k=1, 8 Tóm lại trong dãy { }u n nói trên có duy nhất số hạng u1 có thể biểu diễn được dưới dạng a p với a là số tự nhiên Như vậy, lời giải của bài toán tổng quát là

- Khi p =2 thì n =1 hoặc n =3

- Khi p >2 thì n =1

2.2.5 Mệnh đề Cho dãy số số học {⎡⎣n 2⎤⎦}, trong đó [ ]α là phần nguyên của

số thực α Khi đó, có vô số hạng của dãy đã cho là số chính phương

Chứng minh Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

a b C a b −

=

+ =∑

Ta thấy khi m lẻ thì