TÌM LỜI GIẢI CHO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN: Năm 1996 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề: Về một bài toán tìm giới hạn của dãy số trong kì thi chọn đội tuyển Việt

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

5 Đồng tác giả: Không

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định

Địa chỉ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định

Điện thoại: 0350.3640297

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN:

Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2005(bảng A) có bài toán sau

Bài toán T1: Xét dãy số thực (x n) (n= 1 , 2 , ) được xác định bởi x1 =a và

n n n

Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2011có hai bài toán sau:

Bài toán T2: Cho dãy số thực(x n)được xác định bởi x1 = 1 và ∑−

=

−

1 2

) 1 (

i i

Bài toán T3: Cho dãy số ( )a được xác định bởi n a0=1,a1= −1 và a n =6a n−1+5a n−2

với mọi n≥2 Chứng minh rằng a2012−2010 chia hết cho 2011.

Trong tạp chí toán học và tuổi trẻ số 410 (tháng 8 năm 2011) có bài toán sau:

Bài toán T4 (Bài toán T11/406): Cho dãy số (xn) được xác định như sau:

x + =  với mọi n∈N* Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Trong kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2012 có bài toán sau:

Bài toán T5: Cho dãy số ( )(u n n∈ ¥∗)thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

0 <u n < ∀ ∈ 1, n ¥∗ và 1

1 ) , 4

Bài toán T6: Cho dãy số ( )x n được xác định bởi x1 = 3 và 2( 1

n≥ Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn khi n→ +∞ Tìm giới hạn đó

Bài toán T7: Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập số thực ¡ , lấy giá trị trong ¡ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

bởi v1=v2 =1, v n = 4v n−1−v n−2 với mọi n≥3

Trong kì thi chọn đội tuyển Việt nam dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 2012 có bài toán sau:

Bài toán T9: Cho dãy số ( )x được xác định bởi n x1=1,x2=2011

và x n+2 =4022x n+1−x n,∀ ∈n ¥ Chứng minh rằng ∗ 2012 1

2012

x + là số chính phương

Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2013 có bài toán sau:

Bài toán T10: Cho dãy số thực ( )a n được xác định bởi a1=1 và 1 3 2

2 n

n

a + = − + với

mọi n≥ 1 Chứng minh rằng dãy ( )a n có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn đó

Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2014 có bài toán sau:

Bài toán T11: Cho hai dãy số dương ( ),( )x n y được xác định bởi n x1=1,y1= 3và

2

1

0 2

với mọi n= 1, 2, Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN:

Năm 1996 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề:

Về một bài toán tìm giới hạn của dãy số trong kì thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 1993

Năm 2010 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề:

Về một bài toán tìm giới hạn của dãy số trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2005

Năm 2011 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề:

Về lời giải của một bài toán tìm giới hạn của một dãy số trong tạp chí

“Toán học và tuổi trẻ”

Năm 2012 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề:

Về một bài toán phương trình hàm trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán

Năm 2012 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề:

Về một bài toán số học trong kì thi Olympic Toán củaViệt Nam năm 2012

Năm 2013 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề:

Về sự hội tụ của một dãy số

III CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM:

Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này gồm 5 phần:

- Phần thứ nhất:Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số.

- Phần thứ hai: Một số phương pháp chứng minh sự hội tụ của dãy số.

- Phần thứ ba: Dãy số trong số học.

- Phần thứ tư: Ứng dụng của dãy số.

- Phần thứ năm: Một số chuyên đề về dãy số được viết bởi tác giả bản báo cáo sáng

kiến kinh nghiệm này

1) Phần thứ nhất: Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số

Bài toán 1: Cho dãy số ( )(x n N n ∈ ∗)được xác định bởi x1=5 và x n+1= −x n2 2 với mọi

1 1.1

n n

+ +

x x

Phương trình đặc trưng của dãy số

Cho dãy số ( )(x n n ∈¥ thỏa mãn ) x n=ax n−1+bx n−2,∀ ≥n 2 trong đóx x , ,1, 2 a b là các số

thực cho trước (b≠0) Phương trình λ2−aλ− =b 0(1) được gọi là phương trình đặc trưng của dãy số ( )x n

Chứng minh rằng phương trình x2+ +(x 1)2 =a nvà phương trình(x+1)3− =x3 a n2có

nghiệm tự nhiên với mọi n∈¥

Lời giải: Phương trình đặc trưng của dãy ( )a là n λ2−14λ+ =1 0 Phương trình này có hai nghiệm là λ1= +7 48 ,λ2= −7 48 Tồn tại các hằng số ,α β sao cho

Cũng bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta dễ dàng chứng minh được d là số n

nguyên lẻ với mọi n∈¥

Vì b và n d là các số tự nhiên lẻ nên n b d n n2−1 là số tự nhiên

Vậy phương trình (x+1)3− =x3 a n2 có nghiệm tự nhiên với mọi n∈¥

Bài toán T3: Cho dãy số ( )a được xác định bởi n a0=1,a1= −1 và a n =6a n−1+5a n−2

với mọi n≥2 Chứng minh rằng a2012−2010 chia hết cho 2011

(Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2011 )

Lời giải1: Phương trình đặc trưng của dãy ( )a là n λ2−6λ− =5 0

Phương trình này có hai nghiệm là λ1= +3 14,λ2= −3 14

Tồn tại các hằng số ,α β sao cho a n=αλ1n+βλ2n,∀ ∈n ¥

Suy ra a2012+2010 chia hết cho 2011

Lời giải 2: Xét dãy số ( )(b n n ∈¥ được xác định bởi ) b0 =1,b1= −1

Và b n+1=6b n+2016b n−1,∀ ≥n 1 Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được a n∈ ∀ ∈¢, n ¥ và b n∈ ∀ ∈¢, n ¥

Ta cũng chứng minh được a n ≡b n(mod 2011),∀ ∈n ¥ Phương trình đặc trưng của dãy

Bài toán T9: Cho dãy số ( )x được xác định bởi n x1=1,x2=2011

và x n+2 =4022x n+1−x n,∀ ∈n ¥ Chứng minh rằng ∗ 2012 1

2012

là số chính phương(Đề thi chọn đội tuyển Việt nam dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 2012)Lời giải: Phương trình đặc trưng của dãy ( )(x n n ∈¥∗)là t2−4022 1 0t+ =

Phương trình này có hai nghiệm là t1=2011+ 2010.2012

Và t2 =2011− 2010.2012 Tồn tại các hằng số ,α βsao cho 1 1

2011 2011 2012

Sử dụng lượng giác để tìm số hạng tổng quát của dãy số:

Bài toán 4: Cho các dãy số thực dương ( ),( )(x n y n N n ∈ ∗) được xác định bởi

12

− − với mọi số nguyên dương n

Tìm giới hạn của các dãy số ( )x ,( ) n y n

Sau đây là lời giải bài toán 4 của tác giả bản sáng kiến kinh nghiệm này:

Từ giả thiết suy ra 1 ,

2

n

y > ∀ ∈n N∗Trước hết ta chứng minh x n2+y n2= ∀ ∈1, n N∗ Thật vậy mệnh đề đúng vớin=1

n k= + Theo nguyên lí quy nạp toán học,mệnh đề đúng với mọi n N∈ ∗ Tức là

với mọi n= 1, 2, Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2014)

Lời giải: Ta có 1 3 2sin , 1 3 2cos

x = = π y = = π Chúng ta chứng minh rằng với mọi

số nguyên dương n thì 2sin

3.2 2sin

3.2

k k

Theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n Từ đó

suy ra lim lim (2sin ) 0

Sau đây là một số bài toán dành để luyện tập:

2) Phần thứ hai: Một số phương pháp chứng minh sự hội tụ của dãy số

Phương pháp 1: Chứng minh dãy đơn điệu và bị chặn

Bài toán 1: Cho dãy số ( )(x n n ≥1) thỏa mãn đồng thời các điều kiện 0< <x1 1 và

Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh được x n> ∀ ∈0, n ¥ ∗

Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh đượcx n <nx1,∀ ≥n 2(n N∈ ∗)

Vì vậy tồn tại số nguyên m≥2 sao cho x m < −m 1

Ta có 1 n22 0,

n n

x

n

∗ + − = > ∀ ∈¥ ⇒x n+1>x n,∀ ∈n ¥ ∗ ⇒ dãy( )x là dãy tăng n

) 1 (

i i

) 1 (

i i

1 (

2 1

n x

n

n

i i n

n

n x

1

2 1

) 1 (

x

n

n+ = + + )

1 1 )(

1 1

1

n n

=

1

1 1 ) 1 (

1

1

n n

+

2 2

2 2

3

2

2

1 1

2

1 1 1

1 1 2

1 1

) 2 (

1 1 ) 1 (

1 1

1

x n

n n

n n

n n

2

1 1

) 2 (

1 1 ) 1 (

1 1 ) 1 (

2

n n

n

n n

, (n≥ 3 )Xét dãy (z n) (n∈N* ) được xác định bởi :

1 1

3

1 1 2

1 1

1 1

1 1 ) (

+

= +

−

=

x

x x x

x 0 + ∞ )

(

/ x

f +)

(x

f

0

) 0 ( ) (x f

2 (

1

3 2

1 2 1

1 ) 1 (

1

3

1 2

1

−

− + + +

<

− + + +

<

n n n

Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2011-2012 có bài toán sau

Bài toán T6: Cho dãy số ( )x n được xác định bởi

Sau đây là lời giải bài toán T10 của tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được a n <a n+1,∀ ∈n ¥ ∗

Suy ra dãy (a n) là dãy tăng Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh

− .Mặt khác g(2) 0 = Vậy phương trình g x( ) 0 =

có một nghiệm duy nhất x= 2 Vậy b=2 Tóm lại dãy ( )a n có giới hạn hữu hạn khi

n→ +∞ và lim n 2

n→+∞a =

Phương pháp 2:Xét sự hội tụ của các dãy con

Bài toán 1:Cho dãy số ( )(x n n ∈¥∗) thỏa mãn 0< <x1 1 và x n+1= −1 x n với mọi n≥1Chứng minh rằng dãy ( )x có giới hạn hữu hạn khi n n → +∞ Tìm limn→+∞x n

Lời giải :Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được 0< <x n 1 với mọi n∈¥∗

Xét hàm số ( )f x = −1 x(0< <x 1) Khi đó ( )f x nghịch biến trên ( )0;1 và

Lời giải:Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh được

1 x n 0, n 1

− < < ∀ ≥ Do đó nếu lim n ( )

n→+∞x =a a∈¡ thì a là nghiệm âm của phương trình

Vì limn→+∞n n−1=1 nên limn→+∞x n =1

Sau đây là một bài toán dành để luyện tập:

Bài 1:Cho dãy số ( )(x n n ≥1) được xác định bởi

2 2

( 1)

n n

Phương pháp 5:Phương pháp “min,max”

Bài toán 1:Cho dãy số ( )(x n n ≥0) thỏa mãn đồng thời các điều kiện x0>0,x1>0

và x n+1= x n+x n−1(n≥1) Chứng minh rằng dãy ( )x hội tụ và tìm lim n n→+∞x n

Lời giải :Chúng ta xây dựng các dãy ( )a và ( ) n b như sau: n

Giả sử mệnh đề đúng với n k k= ( ∈¥ tức là ) a k ≤min(x2k,x2 1k+ ) ⇒a k ≤x a2k, k ≤x2 1k+

⇒ x2k+2 = x2 1k+ + x2k ≥2 a k =a k+1 ,x2k+3= x2k+2 + x2 1k+ ≥ a k+1+ a k ≥2 a k =a k+1

Vậy mệnh đề cũng đúng với n k= +1 Theo nguyên lí quy nạp toán học ,mệnh đề đúng

với mọi n∈¥ Tương tự ta có b n≥max(x ,2n x2 1n+ ),∀ ∈n ¥

Suy ra a n≤x2n≤b n,∀ ∈n ¥ và a n≤x2 1n+ ≤b n,∀ ∈n ¥ Dễ dàng chứng minh được

lim n lim n 4

n→+∞a =n→+∞b = Từ đó suy ra lim 2n lim 2 1n 4 lim n 4

n→+∞x =n→+∞x + = ⇒n→+∞x =

Phương pháp 6:Sử dụng định lí Stolz

Định lí Stolz về giới hạn của dãy số:

Cho hai dãy số ( )(x n n ∈¥∗) và ( )(y n n ∈¥∗) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

Sau đây là một bài toán dành để luyện tập:

Bài 1:Cho dãy số (x n n)( ∈¥ được xác định bởi ) 1 1 , 1 2, 1

x = x + = −x x ∀ ≥n

Chứng minh rằng lim (n→+∞ nx n) 1=

Phương pháp 7:Sử dụng định lí Lagrăng

Định lí Lagrăng:Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn ;a b và có đạo hàm trên khoảng

( )a b Khi đó tồn tại , c∈( , )a b sao cho ( )f b − f a( ) (= −b a f c) ( )′

Bài toán 1:Cho dãy số ( )(x n n ∈¥∗) thỏa mãn đồng thời các điều kiện 1 1 3

x + − ≤ x − ∀ ∈n ¥∗ Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng

3)Phần thứ ba: Dãy số trong số học

Bài toán 1:Cho dãy số ( )a được xác định bởi n a0= =a1 1,a n+1=14a n−a n−1− ∀ ≥4, n 1Chứng minh mọi số hạng của dãy ( )a đều là bình phương của các số nguyên n

Lời giải: Xét dãy số ( )(b n n ∈¥ được xác định bởi ) 1 ,

3

b = − ∀ ∈a n ¥Khi đó ta có b n+1=14b n−b n−1,∀ ∈n ¥ Phương trình đặc trưng của dãy ( )b là n

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được c n+1=4c n−c n−1,∀ ∈n ¥ Mặt

khác c0= =c1 1 Suy ra c là số nguyên với mọi n n ∈¥ Mặt khác a n=c n2 Vậy a là số n

chính phương với mọi n∈¥

Bài toán 2: Chứng minh tồn tại vô số cặp số nguyên dương (m, n) sao cho

m

1n

n

1

là một số nguyên dương

(Đề thi Olympic Toán của Anh năm 2007)

Lời giải: Ta chứng minh rằng phương trình

x

1yy

1

= 4 (1) có vô số nghiệm

⇔

(x1 = 1, y1 = 1) là một nghiệm nguyên dương của (2)

Xét dãy (tk) (k ≥ 1) sao cho t1 = t2 = 1, tk + 2 = 4tk+1 - tk - 1 (k ≥ 1)

Dễ dàng chứng minh được tk+1 > tk > 0, ∀ k ≥ 2 Ta có (t1, t2) là một nghiệm nguyên dương của phương trình (2) Giả sử (tk , tk+1) là một nghiệm nguyên dương của phương trình (2) tức là tk2 + (1 - 4tk+1) tk + 2

1 k

t + + tk+1 = 0

Xét 2

2 k

t + + (1 - 4tk+1) tk+2 + 2

1 k

t + + tk+1 - [ 2

k

t + (1 - 4tk+1)tk + 2

1 k

t + + tk+1] =

= 2

2 k

t + + (1 - 4tk+1) tk+2 + 2

1 k

t + + tk + 1 = 0

⇒ (x, y) = (tk + 1, tk +2) cũng là nghiệm nguyên dương của phương trình (2)

Vì tk+1 > tk ∀ k ≥ 2 nên phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên dương

Vậy tồn tại vô số cặp số nguyên dương (m, n) sao cho

m

1nn

1

là một số nguyên dương

Bài toán 3: Cho dãy số ( )(x n N n ∈ ∗) được xác định bởi x1=3,x2 =11 và

x x − x − ∀ ≥n Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n tồn

tại các số nguyên ,a b sao cho 2 2

x x − x − ∀ ≥n Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n tồn

tại các số nguyên ,a b sao cho 2 2

x a b

Lời giải:Xét các dãy số ( )(u n n ∈¥∗)và ( )(v n n ∈¥∗)được xác định bởi u1=1,v1=0,

Vậy với mỗi số nguyên dương n tồn tại các số nguyên , a b sao cho 2 2

4) Phần thứ tư:Ứng dụng của dãy số

Trong kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2012 có bài toán sau :

Bài toán T5: Cho dãy số ( )(u n n∈ ¥∗)thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau

0 <u n < ∀ ∈ 1, n ¥∗ và 1

1 ) , 4

k

Theo nguyên lí quy nạp toán học thì (1) đúng với mọi n∈ ¥∗

Lời giải: Với 0 1

u =x u + = + ∀ ∈u n ¥∗ Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được

≤ ≤ ∀ ∈¥ Mặt khác ta có u n+1≥u n với mọi n∈¥∗ Vậy dãy( )(u n n ∈¥∗) có

giới hạn hữn hạn khi n→ +∞ và lim 1

Bài toán 2: Cho hàm số g x( )=12x x2

+ Hãy tìm tất cả các hàm số ( )f x xác định ,liên

tục trên khoảng ( 1;1) − và thỏa mãn hệ thức (1−x f g x2) ( ( )) (1= +x2 2) f x( ) với mọi

( 1;1)

x∈ −

(Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2001-Bảng A)

Sau đây là lời giải bài toán 2 của tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này (lời giải này khác với đáp án của Ban chấm thi):

cách tiếp cận lời giải : Hàm ( )f x thỏa mãn ( ) 1 2 (0;1)

là limn u n 1

→+∞ = , nhưng 1không thuộc tập xác định của hàm số ( )g x

Chúng ta xét dãy ( )(u n n ∈¥∗)được xác định bởi 1 (0;1), 1 1 1 n2 ,

f x ≥ f f x +x với mọi số thực dương x Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với

mọi hàm số f thuộc tập hợp F ta đều có ( )f x ≥αx với mọi số thực dương x

(Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2003-Bảng A)

Lời giải: Giả sử f ∈F Với y>0,chọn x=3y Khi đó ( )f y > 3y Đặt 1

mọi số thực dương x

Xét hàm f : ¡ ∗ → ¡ ∗ sao cho f x( )=1x x,∀ >0 Khi đó f ∈F

Suy ra 1 , 0

2x≥αx x∀ > ⇒α ≤12 Vậy giá trị lớn nhất của αlà 1

2.

Sau đây là một số bài toán dành để luyện tập:

Bài1:Tìm tất cả các hàm liên tục :f ¡ →¡ sao cho f x( 2− =6) f x( ),∀ ∈x ¡

Bài 2:Tìm tất cả các hàm liên tục :f ¡ →¡ sao cho ( 2 1 1) ( ),

f x + x+ = f x ∀ ∈x ¡ (Đề thi chọn đội tuyển Việt nam dự thi toán Quốc tế năm 2007)

5) Phần thứ năm: Một số chuyên đề về dãy số được viết bởi tác giả bản báo cáo sáng

kiến kinh nghiệm này

Chuyên đề 1: Về một bài toán phương trình hàm trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc

gia môn Toán năm 2012

Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2012 có bài toán sau:

Bài toánT7: Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập số thực ¡ , lấy giá trị trong ¡ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

Sau đây là lời giải của bài toán T7a:

Giả sử hàm f : ¡ → ¡ là hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn f f x( ( )) = f x( ) +x với mọi số

thực x Trước hết ta chứng minh f đơn ánh Thật vậy, giả sử x x1 , 2 ∈ ¡ sao cho

Vậy mệnh đề cũng đúng với n k= + 1

Theo nguyên lý quy nạp toán học thì mệnh đề đúng với mọi n N∈ *

Vậy f x n( ) =F x F f x n−1 + n ( ) với mọi n N∈ *

Vì f liên tục và đơn ánh trên ¡ nên f đồng biến hoặc f nghịch biến trên ¡ Phương trình đặc trưng của dãy ( )F n là:

Trong cả 2 trường hợp ta đều có f x( ) < x với mọi x≠ 0 Suy ra f x( ) ≤ x với mọi

x∈ ¡ Vậy nếu x là một số thực bất kỳ và n là một số nguyên dương thì

→+∞

Mặt khác

1 2

Mặt khác f liên tục trên ¡ Vậy Im f = ¡

Mặt khác f đơn ánh nên tồn tại hàm g: ¡ → ¡ sao cho g f x( ( )) = ∀ ∈x x ¡ và

( ( ))

f g x = ∀ ∈x x ¡ (g là hàm ngược của f ), g đồng biến trên ¡

Với x∈ ¡ ta có x g g x= ( ( ))+g x( )

Thật vậy, đặt g x( ) = y g y, ( ) =t ta có g g x( ( ))=g y( ) = ⇒ =t y f t( )