Mặt cực tiểu trong không gian tích với một nhân tử có mật độ Gauss

Xuất phát từ nhu cầu tìm hiểu và giải quyết một phầncác vấn đề trên, tôi chọn đề tài: "Mặt cực tiểu trong không gian tíchvới một nhân tử có mật độ Gauss" làm khoá luận tốt nghiệp.. Khoá

Lời cảm ơn

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS

TS ĐOÀN THẾ HIẾU Tôi xin gửi đến Thầy sự kính trọng, lòng biết ơn sâusắc cũng như nguyện vọng được tiếp tục nghiên cứu Toán dưới sự hướng dẫncủa Thầy

Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy cô giáo đã giảngdạy lớp Toán B khóa 2005-2009 của Trường ĐHSP Huế cũng như toàn thểcác thầy cô trong Khoa Toán Trường ĐHSP Huế vì sự giảng dạy tận tình và

sự quan tâm, động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thựchiện đề tài

Cuối cùng, tôi gửi sự trân trọng và biết ơn đến tất cả người thân, bạn

bè vì sự quan tâm, động viên, giúp đỡ cho tôi trong suốt quá trình học tậpvừa qua

Huế, tháng 5 năm 2009TRƯƠNG THỊ THÙY TRANG

2 Mặt cực tiểu trong không gian tích với một nhân tử có mật

2.1 Mặt cực tiểu trong không gian Gauss G3 82.2 Mặt cực tiểu trong không gian G2× R 222.3 Mặt cực tiểu trong không gian G × R2 31

Mở đầuTrong các đối tượng hình học, mặt cực tiểu có lẽ là mặt được nghiên cứunhiều nhất trong hình học vi phân Trong hình học vi phân cổ điển ta đã biếtmột số mặt cực tiểu trong không gian R3 như là: mặt catenoid, mặt helicoid,mặt Enneper, mặt Heneberg, mặt Catalan, mặt Scherk Bây giờ ta không xéttrong không gian R3 mà xét trong không gian với mật độ thì có những mặtcực tiểu nào?

Đa tạp với mật độ là đa tạp Riemann cùng với một hàm mật độ trơn, xácđịnh dương được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi Người ta đãchỉ ra được rằng nhiều kết quả của hình học vi phân cổ điển không còn đúngcho đa tạp với mật độ Chẳng hạn, đường thẳng trên mặt phẳng với mật độtổng quát không có độ cong hằng; tồn tại các đường cong có ϕ-độ cong hằngtrên mặt phẳng Gauss không phải là đường tròn

Với những lý do nêu trên, một vấn đề đặt ra là: Liệu có mặt cực tiểu nàotrong không gian R3 cũng là mặt cực tiểu trong không gian mật độ? Nhữngmặt nào là mặt có ϕ-độ cong hằng, những mặt nào là mặt cực tiểu trongkhông gian mật độ? Xuất phát từ nhu cầu tìm hiểu và giải quyết một phầncác vấn đề trên, tôi chọn đề tài: "Mặt cực tiểu trong không gian tíchvới một nhân tử có mật độ Gauss" làm khoá luận tốt nghiệp

Khoá luận này tập trung nghiên cứu và tìm các mặt có độ cong hằng, cácmặt cực tiểu trong không gian Gauss, không gian tích với một nhân tử cómật độ Gauss Nghiên cứu các mặt tròn xoay, mặt translation, mặt đa thức,tìm điều kiện để các mặt này trở thành mặt cực tiểu và tìm các mặt cực tiểuđó

Khóa luận gồm có hai chương Trong chương I trình bày các kiến thức vềmặt trong R3, các mặt cực tiểu cổ điển và các kiến thức về không gian mật

độ Chương II là nội dung chính của khóa luận Trong chương này chia thành

ba phần, trong ba phần này tập trung nghiên cứu tìm ra các mặt cực tiểu

và mặt có độ cong hằng trong ba không gian: không gian Gauss, không gian

G2× R và không gian G × R2

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Mặt trong không gian R3

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đếnmặt trong không gian R3, đó là khái niệm độ cong chính, phương chính, độcong Gauss G và độ cong trung bình H

Cho ánh xạ Gauss N : S −→ S2 của mặt định hướng S và v ∈ TpS Chọn

α: (−ε, ε) −→ R sao cho α(0) = p và α0(0) =v

Khi đó đạo hàm của ánh xạ N tại điểm p là ánh xạ tuyến tính

dNp : TpS −→ TN (p)S2

v 7−→ (N ◦ α)0(0).Ánh xạ dNp là liên hợp nên tồn tại cơ sở trực chuẩn {e1, e2} sao cho

dNp (e1 ) =−k1e1,

dNp(e2) =−k2e2.Tức là −k1, −k2 là các giá trị riêng và e1, e2 là các vectơ riêng đơn vị lầnlượt ứng với các giá trị riêng −k1, −k2 của dNp Ta luôn giả thiết (k1 ≤ k2).Khi đó các giá trị k1, k2 được gọi là độ cong chính còn e1, e2 xác định cácphương gọi là phương chính

Cho S là mặt chính quy định hướng, p ∈ S và dNp là đạo hàm ánh xạGauss tại điểm p, ta gọi

1) Định thức của dNp là độ cong Gauss của S tại p, kí hiệu K(p)

2) Một nửa vết của −dNp, −1

2tr(dNp) là độ cong trung bình của S tại p,

kí hiệu H(p)

Từ đó ta có K =k1k2 và H = 12(k1+k2)

1.2 Mặt cực tiểu trong không gian R3

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm mặt kẻ, mặt tham số

đồ thị, mặt tịnh tiến và mặt cực tiểu trong không gian R3 Ngoài ra chúngtôi giới thiệu các mặt cực tiểu cổ điển trong không gian này

Cho α, ω : I → R3 là hai hàm khả vi với I là một khoảng mở trong R và

ω(u)6= 0, ∀u ∈ I Chúng ta sẽ xem α(u), u ∈ I là các điểm còn ω(u), u ∈ I làcác vector trong R3

Mặt tham số X(u, v) = α(u) +vω(u), u ∈ I, v ∈ R được gọi là mặt kẻ sinhbởi α và ω

Mặt tham số kiểu đồ thị là mặt tham số được cho bởi công thức X(u, v) = (u, v, f(u, v))

Một mặt M được gọi là mặt translation nếu được cho bởi công thức

Định lý 1.2.1 [1, tr 11] Mặt Catenoid xác định bởi tham số

X(u, v) = (coshvcosu,coshvsinu, v)

là mặt cực tiểu tròn xoay duy nhất khác mặt phẳng

Định lý 1.2.2 [1, tr 11] Mặt Helicoid xác định bởi tham số

X(u, v) = (sinhvcosu,sinhvsinu, cu), c 6= 0

Trên đa tạp Riemann m-chiều với mật độ eϕ, độ cong trung bình theo mật

độ hay ϕ-độ cong trung bình, kí hiệu Hϕ, của một siêu mặt với pháp vectorđơn vị N được cho bởi công thức

Hϕ =H − 1

m −1

dϕ

dN,

trong đó H là độ cong trung bình Riemann Ta cũng có thể viết

với k1, k2, , km−1 là các độ cong chính của siêu mặt trong Rm

Cũng như khái niệm mặt cực tiểu trong không gian R3, siêu mặt S trongkhông gian Rn với mật độ eϕ được gọi là mặt siêu cực tiểu nếu độ cong trungbình theo mật độ của S triệt tiêu tại mọi điểm

CHƯƠNG 2

MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN TÍCH VỚI MỘT NHÂN TỬ

CÓ MẬT ĐỘ GAUSS

2.1 Mặt cực tiểu trong không gian Gauss G3

Trong mục này, chúng tôi trình bày ý nghĩa hình học của đại lượng(∇ϕ, N),

từ đó chỉ ra rằng các mặt phẳng qua gốc tọa độ là mặt cực tiểu Chúng tôi

đã chứng minh các mặt trụ có trục quay qua O và các mặt cầu tâm O có độcong trung bình theo mật độ là hằng số Từ đó đã chỉ ra rằng mặt cầu tâm Ovới bán kính √

2và mặt trụ tròn xoay có trục quay qua O và bán kính đườngchuẩn bằng 1là các mặt cực tiểu tròn xoay Ngoài ra, chúng tôi còn trình bàyđiều kiện để mặt tròn xoay, mặt tham số kiểu đồ thị, mặt translation và mặt

kẻ trở thành mặt cực tiểu

Định lý 2.1.1 Trong không gian R3 với mật độ e−ar2+c, 1

2a|(∇ϕ, N)| làkhoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng tiếp xúc tại một điểm của mặt S

Chứng minh Với mọi điểm M(x, y, z) thuộc mặt S Giả sử N(a1, b1, c1) làpháp vector đơn vị của S tại M Khi đó, phương trình mặt phẳng tiếp xúc

Vì mặt phẳng có độ cong trung bình H = 0 và mặt phẳng qua gốc tọa độ

có (∇ϕ, N) = 0 nên Hϕ = 0 Vậy các mặt phẳng qua gốc tọa độ là mặt cựctiểu

Định lý 2.1.3 [3, tr 13] Trong không gian R3 với mật độ eϕ =e−ar2+c, mặttrụ có trục qua gốc tọa độ O và có bán kính đường chuẩn bằng d có độ congtrung bình theo mật độ là hằng số

Hϕ =ad − 1

2d.Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử trục quay của mặttrụ đi qua gốc tạo độ O là trục Oz

Ta đã biết trong không gian R3 mặt trụ có hai độ cong chính là: k1 = 0 và

k2 =−1

d.

Với mọi điểm M(x, y, z) thuộc mặt trụ ta có hình chiếu của M xuống mặtphẳng Oxy là điểm M0(x, y,0) Khi đó pháp vector đơn vị của M và M0 trùngnhau và bằng N( x

p

x2 +y2, p y)

x2 +y2,0)

Do đó

(∇ϕ, N) = ((−2ax, −2ay, −2az),p(x, y,0)

x2 +y2 ) = −2apx2 +y2 =−2ad.Theo phương trình (1.3.2) ta có

Chứng minh Mặt S là mặt cực tiểu khi và chỉ khi Hϕ = 0 Theo Định lý2.1.3 ta có mặt trụ S có trục quay qua O và có bán kính bằng d có độ congtrung bình theo mật độ là Hϕ =ad − 1

Chứng minh Ta đã biết trong không gian R3 mặt cầu có hai độ cong chính

là k1 =k2 =−1

d.Với mọi điểm M(x, y, z) thuộc mặt cầu, ta có pháp vectơ đơn vị của M là

Chứng minh Mặt cầu tâm tại gốc toạ độ O là mặt cực tiểu khi và chỉ khi

Hϕ = 0 Theo Định lý 2.1.6 ta có mặt cầu tâm O và có bán kính bằng d có

độ cong trung bình theo mật độ là Hϕ =ad − 1

Hệ quả 2.1.8 [2, tr 43] Trong không gian R3 với mật độ e 2 mặt cầu tâm

O có bán kính bằng √

2 là mặt cực tiểu

Mệnh đề 2.1.9 [2, tr 42] Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−a2r+c,nếu mặt tròn xoay S là mặt cực tiểu thì trục quay của S phải đi qua gốc tọađộ

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta giả sử trục quay của mặt trònxoay S trùng với phương của trục Oz

Gọi C là giao tuyến của S với mặt phẳng Oxy Khi đó ∀M(x, y, z)∈ C ta

khi xoay quanh trục Oz có vết trùng nhau Do đó, chúng ta chỉ cần khảo sátlớp các mặt có tham số X(u, v) : (f(u) sinv, f(u) cosv, u),(u, v) ∈ D ⊂ R2 với

f(u)>0, ∀u

Định lý 2.1.11 [2, tr 42](Điều kiện để mặt tròn xoay trở thành mặt cựctiểu)Trong không gian R3 với mật độ eϕ =e−ar2+c, mặt tròn xoay S được sinhbởi đường α(t) = (0, f(t), t) khi quay quanh trục Oz là mặt cực tiểu khi và chỉkhi hàm f(t) thỏa mãn phương trình

f f” + 2a(f02+ 1)(f2− tf f0−1) = 0 (2.1.1)

Chứng minh Phương trình tham số của mặt tròn xoay S là

X(u, v) = (f(u) sinv, f(u) cosv, u).Các tính toán cụ thể cho ta:

eG+Eg −2f F

EG − F2 = 1

2

f00f3− f2 (1 +f02) [f2 (1 +f02)]32

Vậy mặt tròn xoay S là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f(t)thoả mãn phươngtrình

f f” + 2a(f02+ 1)(f2− tf f0−1) = 0

Tập trung vào tìm hiểu tính chất nghiệm của phương trình (2.1.1) chúngtôi thu được kết quả ban đầu như sau

Định lý 2.1.12 [2, tr 45] Cho f(t) là hàm số thỏa mãn phương trình (2.1.1)

và t0 là số thực sao cho t0 = 0 hoặc f0(t0) = 0 thì ta có các khẳng định sau.1) f(t0) > 1 khi và chỉ khi điểm (0, f(t0), t0) là điểm lồi của đường cong

Định lý 2.1.13 [2, tr.45](Điều kiện để mặt tham số đồ thị trở thành mặt cựctiểu)Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−ar2+c, cho S là mặt có phươngtrình tham số X(u, v) = (u, v, f(u, v)) Khi đó, S là mặt cực tiểu khi và chỉkhi hàm f thỏa mãn phương trình

(1 +fu2)fvv+ (1 +fv2)fuu−2fufvfuv+ 2a(f − ufu− vfv)(1 +fu2+fv2) = 0 (2.1.4)Chứng minh Xét mặt S có phương trình tham số X(u, v) = (u, v, f(u, v)).Các tính toán cụ thể cho ta:

Độ cong trung bình theo mật độ là

Hϕ =

(1 +fu2)fvv+ (1 +fv2)fuu−2fufvfuv+ 2a(f − ufu− vfv)(1 +fu2+fv2) = 0.

Hệ quả 2.1.14 Trong không gian R3 với mật độ eϕ =e−ar2+c, cho S là mặttranslation có dạng tham số X(u, v) = (u, v, g(u) +h(v)) Khi đó, S là mặtcực tiểu khi và chỉ khi hàm f và hàm g thỏa mãn phương trình

(1 +g02)h” + (1 +h02)g” + 2a(g+h − ug0− vh0)(1 +g02+h02) = 0 (2.1.5)Chứng minh (Điều kiện để mặt translation trở thành mặt cực tiểu) Từphương trình (2.1.4) thay f(u, v) =g(u)+h(v)ta có điều phải chứng minh.Mệnh đề 2.1.15 Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−r22 , cho S là mặtcực tiểu tịnh tiến có dạng tham số X(u, v) = (u, v, g(u) +h(v)) với g(u) và

h(v) là các đa thức thì S là mặt phẳng qua gốc tọa độ

Chứng minh Giả sử g(u) = anun+· · ·+a0 và h(v) = bmvm+· · ·+b0, với

m, n ∈ N, an 6= 0, bm 6= 0 Do S là mặt cực tiểu nên g(u) và h(v) thỏa mãnphương trình (2.1.5)

Nếu n = m = 1 thì tham số hoá của mặt S là X(u, v) = (u, v, a1u+a0+

b1v+b0) Do đó S là mặt phẳng Theo Nhận xét 2.1.2, nếu mặt phẳng S làmặt cực tiểu thì phải đi qua gốc toạ độ

Nếu n ≥ 2 và m ≥ 2 thì ta được đồng nhất thức

n2an3(n −1)u3n−2+p(u) +q(v) = 0

với p(u), q(v) là các đa thức có bậc của u khác 3n −2 Điều này không thểxảy ra.

Định lý 2.1.16 Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−r22 , cho mặt kẻ S

có dạng tham số X(s, t) =α(s) +tβSlà mặt cực tiểu khi và chỉ khi

X(s, t) =α(s) +tβ(s)

với α(s) là đường cong trực giao với họ các đường thẳng của mặt S và β(s)

là trường vector đơn vị dọc α và là vector chỉ phương của các đường thẳngqua α(s) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử s là tham số hoá độ dàicung của α

Mặt khác

|Xs∧ Xt| =pEG − F2.Nên

N = Xs∧ Xt

|Xs∧ Xt| =

α0∧ β+tβ0∧ βq

hβ0∧ β, β”i+|β0|2hα0∧ β, αi+ 2hα0, β0ihβ ∧ β, αi= 0

hβ0∧ β, α”i+hα0∧ β, β”i+ 2hα0, β0ihα0∧ β, αi+hβ0∧ β, αi = 0

Hệ quả 2.1.17 Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−r22 , điều kiện cần

để mặt kẻ có tham số hóa X(s, t) =α(s) +tβ(s) là mặt cực tiểu là

< α0∧ β, α” +α >= 0.Vấn đề giải quyết hệ (I) và hệ (II) của Định lý 2.1.16 để tìm ra các mặt

kẻ cực tiểu gặp nhiều trở ngại nên chúng tôi chưa thể giải quyết triệt để Tuynhiên, chúng tôi xin trình bày định hướng để tiếp tục nghiên cứu

Mệnh đề 2.1.18 Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−r22 , mặt kẻ S códạng tham số X(s, t) = α(s) +tβ(s) là mặt cực tiểu khi α, β thỏa mãn hệ

trong đó λ là hàm nào đó theo biến s

Chứng minh Ta có α0 ⊥ β và α0 ⊥ α”suy ra ∃λ sao cho β ∧ α” = λα0 Do đó

hα0, β ∧ α”i=λ (∗)

Giải quyết hệ (I) của Định lý 2.1.16 Từ (1) ta có

Mệnh đề 2.1.19 Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e 2 , mặt kẻ S códạng tham số X(s, t) = (x(s), y(s), z(s) +t) là mặt cực tiểu nếu

y” +y

y0 = x” +x

x0

với mọi zS

Chứng minh Từ điều kiện (II) Định lý 2.1.16 ta có β0 = 0 suy ra β=const

Vì không gian G3 bảo toàn qua phép quay nên ta giả sử β = (0,0,1)

Giả sử α(s) = (x(s), y(s), z(s)) thì α0(s) = (x0(s), y0(s), z0(s)) và α”(s) = (x”(s), y”(s), z”(s))

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Ở mệnh đề trên ta thấy x = y hoặc x = sins, y = coss thỏa mãn phươngtrình (2.1.6), do đó mặt phẳng hoặc mặt trụ bán kính bằng 1 là các mặt kẻcực tiểu

Việc tìm các nghiệm còn lại của phương trình (2.1.6) hiện tại chúng tôivẫn chưa thể giải quyết được

2.2 Mặt cực tiểu trong không gian G2 × R

Không gian G2× R là không gian R3 với mật độ e−r22 với r =px2 +y2

Từ việc đánh giá đại lượng (∇ϕ, N), chúng tôi tìm được các mặt phẳng

có độ cong hằng và các mặt phẳng cực tiểu Chúng tôi đã chứng minh đượccác mặt trụ có trục quay Oz có độ cong trung bình theo mật độ là hằng số

Từ đó đã chỉ ra rằng mặt trụ tròn xoay có trục quay Oz và bán kính đườngchuẩn bằng 1 là các mặt cực tiểu tròn xoay Hơn nữa, chúng tôi đã chứngminh được rằng trong không gian này không có mặt cầu nào là mặt cực tiểu.Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày điều kiện để mặt tròn xoay, mặt tham sốkiểu đồ thị, mặt translation và mặt kẻ trở thành mặt cực tiểu Từ các điềukiện đó, chúng tôi đã tìm thêm được một số mặt cực tiểu trong không giannày

Định lý 2.2.1 Trong không gian G2× R, |(∇ϕ, N)| là khoảng cách từ hìnhchiếu của điểm M ∈ S lên trục Oz đến mặt phẳng tiếp xúc của mặt S tạiđiểm M

Chứng minh Với mọi điểm M(x, y, z) thuộc mặt S Giả sử N(a1, b1, c1) làpháp vector đơn vị của S tại M Khi đó, phương trình mặt phẳng tiếp xúccủa S tại M là α:a1x+b1y+c1z+d1 = 0

Ta có, khoảng cách từ M0(0,0, z)là hình chiếu của điểm M(x, y, z)lên trục

Định lý 2.2.2 Trong không gian G2× R, các mặt phẳng song song với trục

Oz có giá trị tuyệt đối của độ cong theo mật độ là hằng số

Chứng minh Theo phương trình (1.3.1) ta có Hϕ = H − 1

2(∇ϕ, N) Vì mặtphẳng có độ cong trung bình H = 0 nên Hϕ = 1

2(∇ϕ, N).Mặt khác S là mặt phẳng song song với trục Oz nên ∀M ∈ S ta luôn có

d(M0, S) =const với M0 là hình chiếu của M lên trục Oz

Ta đã biết trong không gian R3 mặt trụ có hai độ cong chính là k1 = 0 và

Hệ quả 2.2.5 Trong không gian G2 × R, mặt trụ có trục quay Oz và bánkính 1 là mặt cực tiểu.

Định lý 2.2.6 Trong không gian G2 × R, mặt tròn xoay S được sinh bởiđường α(t) = (0, f(t), t) khi quay quanh trục Oz là mặt cực tiểu khi và chỉ khihàm f thỏa mãn phương trình

f f” + (f02+ 1)(f2−1) = 0 (2.2.1)Chứng minh Phương trình tham số của mặt tròn xoay S là

f00f3− f2 (1 +f02) [f2 (1 +f02)]32

f f” + (f02+ 1)(f2−1) = 0

Mệnh đề 2.2.7 Trong không gian G2 × R mặt tròn xoay S được sinh bởiđường α(t) = (0, f(t), t) khi quay quanh trục Oz là mặt cực tiểu, trong đó

f(t) =g−1(t) với

g(f) =

Z

vuut

ef 22

f − ef 22

df Khi đó f(t) = g−1(t).Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.2.8 Trong không gian G2 × R không có mặt cầu nào là mặt cựctiểu

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta giả sử mặt cầu S được sinh ra bởinửa đường tròn C :α(t) = (0,pr2− t − a2, t) khi quay quanh trục Oz Theo