Giới Thiệu Phép Tính Vi Tích Phân Trong Mặt Phẳng Và Trong Không Gian Thông Qua Cuốn Sách Calculus Của Mr. Paul Allan Foerster

Bạn sẽ sử dụng đạo hàm để tìm cực đại, cực tiểu vàquan tâm đến đường hình dáng hình học bằng 4 cách:  Bằng đồ thị: Biểu tượng ở đỉnh của mỗi trang số chẵn của chương này biểu diễn một đ

LỜI NÓI ĐẦU

Ở chương 8, bạn sẽ hiểu thuộc tính tích phân xác định giúp bạn tìm chính xácdiện tích, thể tích và độ dài bằng cách tách lớp đối tượng thành những phần nhỏ,rồi cộng lại và lấy giới hạn Bạn sẽ sử dụng đạo hàm để tìm cực đại, cực tiểu vàquan tâm đến đường hình dáng hình học bằng 4 cách:

 Bằng đồ thị: Biểu tượng ở đỉnh của mỗi trang số chẵn

của chương này biểu diễn một đối tượng mà bạn có thể tìm độ

dài, diện tích, thể tích và điểm của sự uốn

 Bằng lời nói: Tôi nghĩ điều quan trọng nhất tôi học được là tôi có thể sửdụng các phương pháp giống nhau để tìm độ dài và diện tích bề mặt và tôi cũngtìm được thể tích và diện tích mặt phẳng Cách làm là tôi vẽ hình vẽ biểu diễntừng phần của đối tượng, rồi chọn ra một điểm mẫu của từng phần, tìm vi phâncủa chúng Tôi cố gắng tìm rồi cộng các kết quả đó lại và lấy giới hạn, đây làphương pháp làm tròn

8.1 Hàm số bậc ba và đạo hàm của chúng.

- Nhớ lại đồ thị của hàm số bậc 2, f(x) = ax2+ bx + c , luôn luôn là một

parabola Đồ thị của một hàm số bậc 3, f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , được gọi làmột đường parabola bậc 3 Để bắt đầu ứng dụng của bạn cho việc tính toán biểu

đồ hình học, bạn sẽ học về đạo hàm cấp 2, ở đây nói về tỉ lệ đạo hàm đầu tiênthay đổi Từ đạo hàm cấp 2 bạn có thể tìm hiểu về độ cong của một đồ thị vàđường cong đồ thị đó đi lên hoặc đi xuống

- Phương trình 8.1a biểu diễn đồ thị của các parabola bậc 3 Chúng có hình dạngkhác nhau phụ thuộc vào mối quan hệ của các hệ số a, b và c ( Hệ số d chỉ ảnhhưởng vị trí thẳng đứng của đồ thị ) một số đồ thị có 2 đỉnh phân biệt, một số lạikhông Khám phá vấn đề phần 8.1, bạn sẽ hình thành các mục tiêu của phần này

Khám phá phần 8.1

2 Mối liên hệ bạn có thể tìm thấy giữa đồ thị đạo hàm của một hàm số và hàm

số có 2 điểm đỉnh phân biệt ( điểm trên hoặc điểm dưới) là gì ?

3 Đạo hàm cấp 2 của một hàm số là đạo hàm của đạo hàm cấp 1

Ví dụ: f ”(x)= 6x - 12 Tìm phương trình cho đạo hàm cấp 2 của g”(x) và h”(x).Bạn phải chú ý điều gì ?

4 Hình 8.1a minh hoạ đường cong có bề lõm hướng lên và bề lõm hướng

xuống Bạn có chú ý gì về dấu hiệu của đạo hàm cấp 2 và hướng lõm của đồ thị

?

5 Một đồ thị có một điểm uốn thì tại đó nó sẽ thay đổi từ lõm xuống đến lõmlên hoặc ngược lại Đó là 2 cách bạn có thể sử dụng đạo hàm để xác định đúngđiểm uốn

8.2 Điểm tới hạn và điểm uốn

Nếu một đối tượng di chuyển đến một điểm dừng, một vài thứ có thể xảy ra

Nó có thể vẫn còn dừng, bắt đầu lần nữa với hướng đó, hoặc bắt đầu lần nữa vớihướng khác Khi một chiếc xe dừng lại hoặc đi hướng ngược lại, tốc độ đi bằng

0 Khi một quả bóng chày được đánh bởi một vận động viên, tốc độ của nó đượcthay đổi một cách đột ngột và không xác định được ngay lập tức của sự tiếpxúc Hình 8.2a biểu diễn sự đổi chỗ d, và tốc độ v ( đạo hàm), thay đổi với thờigian x

Hình 8-2aMột điểm tại đó đạo hàm bằng 0 không xác định thì được gọi là một điểm tớihạn, một giới hạn đến từ “ khủng hoảng” ( Khi đạt được một khủng hoảng, mọithứ dừng lại và có thể đi theo các hướng khác nhau) Điểm tới hạn thường được

sử dụng cho điểm trên trục x và thường cho điểm trên đồ thị của nó Bạn phảiquyết định ngữ cảnh mà ở đó là giá trị trung bình

Giá trị y của một điểm tới hạn có thể là cực đại địa phương hoặc cực tiểu địaphương ( Hình 8.2a, ở giữa và bên phải) Từ địa phương chỉ ra rằng f(c) là cựcđại hoặc cực tiểu của f(x) khi x được giữ trong một lân cận của c Cực đại tổngthể và cực tiểu tổng thể là lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng của cực đại địa

phương và cực tiểu địa phương ( Cực đại và cực tiểu có nhiều dạng) Một điểmtới hạn với đạo hàm bằng 0 nhưng không phải là cực đại hoặc cực tiểu ( Hình8.2a, trái) được gọi là một điểm bằng (Mối quan hệ và hình tuyệt đối thườngđược sử dụng thay thế cho địa phương và tổng thể khi biểu diễn cực đại và cựctiểu)

Có tính liên thông giữa một đạo hàm của một hàm số và dáng điệu của một đồthị tại một điểm tới hạn Cho ví dụ, nếu đạo hàm thay đổi từ dương sang âm (Hình 8.2a, ở giữa), có một điểm cực đại trong đồ thị của hàm số Bạn xem ởphần 8.1, đạo hàm cấp 2 của một hàm số cho ta biết hướng mặt lõm của đồ thị.Một điểm của sự uốn hoặc điểm uốn, xảy ra ở những chỗ mà mặt lõm thay đổihướng

Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số ở hình 8.2b, kéo dãn một đường đẳng số của đồ thịhàm

f ’ và một đường đẳng số của đồ thị hàm f ” biểu diễn dấu hiệu của mỗi đạo hàmtrong một lân cận của điểm tới hạn tại x = 2 Trên đồ thị đường đẳng số, chứng

tỏ rằng f(2) là một cực đại địa phương hoặc một cực tiểu địa phương và ở đó đồthị có một điểm uốn tại x = 2.

Hình 8-2b

Lời giải: Kéo dãn đường đẳng số đồ thị hàm f ’và một đường khác của f’’.Mỗi

đồ thị đường đẳng số cần 3 vùng: 1 cho x, 1 cho đạo hàm và 1 cho f(x) Hình8.2c chỉ ra một cách thích hợp để kéo dãn chúng Chữ viết tắt “ ep” có nghĩa làmột điểm đầu nút của định ngĩa

Đồ thị dọc đứng tại x=2, vì f’(2) là vô tận Chèn kí hiệu vô cùng, trong vùngf’(x), ở trên x=2,và vẽ một mũi tên thẳng đứng trên nó ở trong vùng f(x)

Đồ thị của f nghiêng cả hai phía tại x=2 Đạo

hàm dương khi hàm số tăng lên, đặt một dấu

cộng trong vùng f’(x) về hai phía đối với x=2

Biễu diễn mũi tên chỉ hướng nghiêng dưới lên ở

vùng ở vùng f(x) có biễu tượng dấu cộng

Không có giá trị cực đại và cực tiểu của f(x) tại

x=2, vì thế bạn không cần phải viết ở những

vùng đó

Đồ thị có bề lõm hướng lên ở vùng x<2 và bề

lõm hướng xuống ở vùng x>2 Vì thế một đạo hàm cấp 2 dương chứng tỏ rằng

bề lõm hướng lên và đạo hàm cấp hai âm chứng tỏ rằng bề lõm hướng xuống,đặt một dấu cộng ở vùng f’’(x), bên trái x=2 và một dấu trừ ở bên phải Vẽ cung

ở vùng f(x) chứng tỏ rằng hướng của mặt lõm đồ thị f Mặt lõm thay đổi (từ đilên đến đi xuống ) tại x=2, vì thế đồ thị có một điểm uốn tại đó Viết “p.i” ởvùng f(x) tại x=2

Chú ý về mặt lõm và độ cong

Từ mặt lõm đến từ Latin, nghĩa là “chỗ hõm vào” Nếu đạo hàm cấp hai dương,đạo hàm cấp một tăng.Hình 8-2d biễu diễn tại sao mặt lõm hướng xuống trong

trường này và ngược lạiHình 8-2d Hinh 8-2eNhư biễu diễn ở hình 8-2e, giá trịtuyệt đối của f’’(x), nhận thấy rõ ràng hơn độ cong của đồ thị Tuy nhiên bạn sẽhọc trong bài 10-6, độ cong cũng phụ thuộc vào độ nghiêng của đồ thị Đượccho bởi giá trị f’’(x), độ nghiêng càng dốc,độ cong càng ít.Ở ví dụ 2, bạn sẽ làmngược lại phương pháp của ví dụ 1 và dựng hình đồ thị của hàm số từ đườngđẳng số của đạo hàm cấp 1 và cấp 2.

Ví dụ 2: Hình 8-2f biễu diễn đồ thị đường đẳng số cho đạo hàm cấp một và cấphai của một hàm liên tục Dùng thông tin này để kéo dãn đồ thị của f nếu f(4)=0

Mô tả dáng điệu của hàm số ở điểm tới hạn

Hình 8-2fLời giải: Kéo dãn đồ thị đường đẳng số Cộng mũi tên và cung ở vùng f(x), biễudiễn độ nghiêng và mặt lõm trong các khoảng giữa các điểm tới hạn (Hình 8-2g) Cộng với thông tin đã có mô tả chức năng của đồ thị sẽ có ở điểm tới hạncủa f và f’ Kéo dãn một hàm số liên tục (không phải là đường tiệm cận )cóđường bao đã cho và cắt trục x tại x=4 (Hình 8-2h)

Đồ thị mà bạn vẽ phải hơi khác, nhưng nó phải có chức năng biễu diễn trênđường đẳng số đồ thị ở hình 8-2g

dãn đồ thị của hàm f, điều kiện ban đầu là f(1)=5 Đặt dấu chấm ở phần vị trí của

Lời giải: Hình 8-2j cho ta thấy rằng

f(1)=5, điều kiện ban đầu là một cực đại địa phương vì f’(x) thay đổi từ dươngsang âm như x tăng từ 1

f(0) là một điểm cuối của cực tiểu địa phương vì f(x) tăng lên giữa 0 và 1 Bằng

cách tính bình phương, f(0)≈ 5 - 1.3=3.7 Nó xác định vì tập xác định la

[0,8].Hình 8-2j

f(2)≈ 5 - 0.7=4.3 là một điểm uốn vì f’(x)có một cực tiểu địa phương tại x=2

f(3)≈ 4.3 - 0.7 = 3.6 là một cực tiểu địa phương f’(x) thay đổi từ dương sang

âm tại x=3

f(4)≈ 3.6 + 1.3 = 4.9 tồn tại vì f là liên tục và là một cực đại địa phương vìf’(x) thay đổi từ dương sang âm tại x = 4 Tại x = 4 vì vì đạo hàm của đồ thị thayđổi gián đoạn (đạo hàm không liên tục )

f(6)≈ 4.9 - 2.0 = 2.9 là một cực tiểu địa phương vì f’(x) thay đổi từ âm sangdương tại x = 6

f(8)≈ 2.9 + 2.0 = 4.9 là một điểm cuối cực đại địa phương vì f(x) tăng từ x =

6 đến x = 8

Ở ví dụ 4 bạn được cho cả phương trình của hàm số và đồ thị chính xác Bạn sẽđược hỏi để tìm chức năng đại số, và có thể gặp một số khó khăn để nhận ra

Ví dụ 4: Hình 8-2k biểu diễn đồ thị của ( ) = ⁄ + 4 ⁄

a Kéo dãn đồ thị đường đẳng số của f’ và f’’ để biểu diễn chức năng xuấthiệ rõ trên đồ thị

b Tìm phương trình của f’(x) và f’’(x) Biểu diễn đại số điểm tới hạn bạn sẽ

vẽ ở phần a cho đúng

c Viết toạ độ x và y của tất cả các điểm cực đại, cực tiểu và điểm uốn.

Lời giải: a Hình 8-21 biểu diễn đồ thị hai đường đẳng số Chú ý rằng f’’(x) = 0

tại x = -1 và xác định tại x = 0 Đồ thị có bề lõm hướng lên đối với x < 0 và có

bề lõm hướng xuống đối với x > 0

′′( ) = 49 ⁄ − 89 ⁄ = 49 ⁄ ( − 2)Điểm tới hạn xảy ra tại f’(x)=0 hoặc f’(x) không xác định

f’(x)=0 ⁄ ( + 1) = 0 x-2/3

= 0 hoặc x +1 = 0Một tích số bằng không nếu và chỉ nếu một trong các thừa số của nó bằng

không

x-2/3= 1/x2/3 không thể bằng không, vì vậy thừa số khác phải bằng không

o-2/3= 1/02/3, giá trị này không vô hạn

x=-1

f’’(x) không xác định khi và chỉ khi x=0

Điểm tới hạn xảy ra tại x=0 và x=-1, được khảo sát ở phần a Điểm uốn có thểxảy ra mà tại đó f’ có điểm tới hạn;f’’(x)=0 hoặc không xác định

f’’(x)=0 ⁄ ( − 2) = 0 x-5/3

= 0 hoặc x - 2 = 0

∴ x=2

f’’(x) không xác định khi và chỉ khi x=0

Tại một điểm của sự uốn, f’’(x) phải thay đổi dấu Tại x=2, thừa số (x-2) trongf’’(x) phải thay đổi dấu Tại x=0, thừa số (4/9)x-5/3phải thay đổi dấu.(Luỹ thừacủa một số dương là dương Nếu x là âm thì x-5/3là âm Căn bậc ba của một số

âm là âm, luỹ thừa bậc 5 của số âm cũng là âm, và nghịch đảo của số âm cũng là

số âm.)

Vì thế điểm uốn là tại x=0 và x=2

Điểm x=2 không biểu diễn điểm gốc cho đường đẳng số của đồ thị của f’’(x) ởphần a, vì thế cộng các dấu hiệu phác hoạ biểu diễn ở hình 8-2m

Cực tiểu địa phương và tổng thể của f(x) đều bằng -3 tại x= -1.

Điểm của sự uốn tại (0,0) và tại (2,7.599 )

Không có cực đại địa phương hoặc tổng thể vì f(x) xấp xỉ vô cùng như x xấp xỉcộng trừ vô cùng

Thỉnh thoảng bạn sẽ tìm điểm tới hạn từ phương trình của một hàm số Ví dụ 5cho thấy cách làm này bằng đồ thị và bằng số liệu và cách khẳng định kết quảbằng phương pháp đại số

Ví dụ 5: Cho f(x)= -x3+ 4x2+ 5x + 20, với miền xác định [-2.5, 5]

a Phác hoạ đồ thị Dự đoán toạ độ x và y của tất cả cực đại hoặc cực tiểu địaphương và tất cả điểm uốn, vị trí của cực đại và cực tiểu tổng thể

b Viết phương trình f’(x) và f’’(x) Sử dụng chúng để tìm cả về số liệu lãnphương pháp đại số, giá trị chính xác của toạ độ x ở phần a

c Biễu diễn đạo hàm cấp hai âm tại điểm cực đại địa phương và dương tạiđiểm cực tiểu địa phương Giải thích đồ hoạ trên cơ sở lập luận

d Giải thích tại sao không có điểm tới hạn khác hoặc điểm uốn khác

Lời giải:

a Hình 8-2n biểu diễn đồ thị trên miền xác định Sửdụng phác hoạ điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị đểtìm điểm trên và điểm dưới, và xác định để tìm điểmcủa sự uốn

Cực tiểu địa phương của 20 tại điểm cuối x=5, và về18.625 tại x xáp xỉ - 0.5

Hình 8-2n

Cưc tiểu tổng thể tại khoảng 18.625

Cực đại địa phương của 48.125 tại điểm cuối x = -2.5, và khoảng 44.192 tại xxấp xỉ 3.2

Cực đại tổng thể tại khoảng 48.125

Điểm của sự uốn xấp xỉ (1.3, 31)

b f’(x) = -3x2+ 8x +5

f’’(x) = -6x + 8

Đồ thị của f’ biểu diễn trên cùng một mặt như f ở hình 8-2n Đặt chính xác điểmtới hạn, sử dụng giải pháp là phác hoạ đồ thị để tìm số lượng tại đó f’(x)=0, hoặc

sử dụng phương trình bậc hai Vì vậy, = ± ( )( )( ) = -0.5225… hoặc3.1892…

Điều này khẳng định dự đoán ở phần a

Tìm chính xác điểm uốn, đặt f’’(x)=0 và giải quyết Vì thế, -6x + 8 = 0 khi x=4/3 tại đó khẳng định dự đoán của x xấp xỉ 1.3 ở phần a

Chú ý về đạo hàm cấp hai

Từ ví dụ 5, bạn thấy điểm uốn xảy ra ở đó đạo hàm ngừng tăng và bắt đầu

giảm, và ngược lại Bạn có thể kết luận rằngđiểm uốn xảy ra ở đó đạo hàm của hàm số

phương Vì thế đạo hàm của đạo hàm (đạohàm cấp hai), nếu nó được xác định, và sẽbằng không tại điểm uốn

Cũng từ ví dụ 5 bạn có thể tìm ra phươngpháp đại số bầng cách xác định điểm tới làmột điểm trên hoặc điểm dưới Nếu đồ thị có triệt tiêu đạo hàm cấp một (đườngthẳng nằm ngang), rồi có một điểm trên nếu đạo hàm cấp hai là âm(bề lõm

hướng xuống) hoặc một điểm dưới nếu đạo hàm cấp hai là dương( bề lõm hướnglên) Cơ sở này được gọi là kiểm tra đạo hàm cấp hai cho cực đại và cực tiểu Nóđược mimh hoạ trong hình 8-2o và tổng kết ở bảng trang 380 Hình dáng đượcbiểu diễn ở những phép thử cũng chưa đủ để phân biệt giữa cực đại, cực tiểu vàđiểm bằng nếu đạo hàm cấp hai bằng không thì tại đó đạo hàm cấp một cũngbằng không Hình 8-2p và các bảng đi kèm trình bày các định nghĩa và tính chấtcủa phần này

Hình 8-2pChú ý hình dáng biểu diễn cực đại và cực tiểu địa phương Tìm cực đại và cựctiểu tổng thể, bạn phải kiểm tra mỗi điểm địa phương đó và tìm ra điểm lớn nhất

và điểm nhỏ nhất

Chú ý về điểm lùi và điểm góc đỉnh

Điểm lùi tại x=5 ở hình 8-2p có tính chất rằng độ dốc trở nên vô hạn tại x xấp xỉbằng 5 từ các hướng, và vì thế đô thị có một tiếp tuyến thẳng đứng Tại x=3, cómột bước thay đổi trong đạo hàm cấp một (một hướng thay đổi đột ngột ở

hướng của đồ thị ) nhưng độ dốc xấp xỉ giá trị khác từ mặt dương và âm Cái tênđiểm góc đỉnh thường được sử dụng như một điểm

ĐỊNH NGHĨA: Điểm tới hạn và mối liên hệ các chức năng

Một điểm tới hạn trên một đồ thị xảy ra tại x=c nếu và chỉ nếu f(c) xác định và

f’(c)=0 hoặc không xác định

f(c) là cực đại địa phương (hoặc cực đại tương đối) của f(x) nếu và chỉ nếu

f(c)>f(x) hoặc tất cả x là một lân cận của c (là một khoảng mở chứa c)

f(c) là một cực tiểu địa phương (hoặc cực tiểu tương đối ) của f(x) nếu và chỉ

nếu f(c)≤f(x) cho tất cả x là một lân cận của c

f(c) là một cực đại tổng thể (hoặc cực đại tuyệt đối )của f(x) nếu và chỉ nếu

f(c)≥f(x) cho tất cả x ở trong miền xác định của f

f(c) là một cực tiểu tổng thể (cực tiểu tuyệt đối) của f(x) nếu và chỉ nếu

f(c)≤f(x) cho tất cả x ở trong miền xác định của f

Đồ thị f có bề lõm hướng lên tại x=c nếu và chỉ nếu tất cả x ở trong lân cận của

c, đồ thị nằm trên đường tiếp tuyến tại điểm (c, f(c)) Đồ thị của f có bề lõmhướng xuống tại x=c nếu và chỉ nếu tất cả x ở trong lân cận của c, đồ thị nằm

dưới đường tiếp tuyến Điểm (c, f(c)) là điểm của sự uốn, nếu và chỉ nếu f’’(x)

thay đổi dấu tại x=c

tại x=c Giá trị của f’’(c) là mặt lõm của đồ thị f tại x=c

Điểm (c, f(c)) là một đỉnh nếu và chỉ nếu f không liên tục tại x=c Nếu mặt lõm

thay đổi tại x=c, đường cát tuyến trên phía c không phải là một đường tiếp tuyếnchung, nhiều góc đỉnh thường đươc sử dụng thay thế cho điểm lùi

Điểm (c, f(c)) là một điểm bằng nếu và chỉ nếu f’(c)=0, nhưng f’(x) không thay

đổi dấu tại x=0

TÍNH CHẤT: Cực đại, cực tiểu và điểm của sự uốn

Nếu f’(x) đi từ dương sang âm tại x=c và f liên tục tại x=c, f(c) là một cực đạiđịa phương

Nếu f’(x) đi từ âm sang dương tại x=c, và f liên tục tại x=c, và f(c) là một cựctiểu địa phương

Nếu f’’(c) là dương, và đồ thị của f có bề lõm hướng lên tại x = c

Nếu f’’(c) là âm, và đồ thị của f có bề lõm hướng xuống tại x = c

Nếu f’’(x) thay đổi dấu tại x = c và f liên tục tại x = c, và (c, f(c)) là một điểmcủa sự uốn

Phép thử đạo hàm cấp hai: nếu f’(c) = 0 và f’’(c) dương (đồ thị có bề lõmhướng lên) và f(c) là một cực tiểu

địa phương Nếu f’(c) =0 và

f’’(c) là âm (đồ thị có bề lõm

hướng xuống) và f(c) là một cực

đại địa phương Nếu f’(c) = 0 và

f’’(c) = 0 và phép thử đạo hàm

cấp hai không đủ đẻ phân biệt

điểm cực đại, cực tiểu và điểm

bằng

Một điểm cực đại và cực tiểu (

không phải là một điểm của sự

uốn ) có thể xảy ra tại điểm cuối

Phác họa: y = 1/x

Phác họa: x =2

Đối với vấn đề 1-10, vẽ đường đẳng số cho f’ và f’’ biểu diễn những gì xảy rađến giá trị và dấu của mỗi đạo hàm trong một lân cận của x =2

Vấn đề 11-16, vẽ lại đồ thị đường đẳng số, đánh dấu thông tin về dáng điệu của

đồ thị hàm f Vẽ một đồ thị của hàm số liên tục f phù hợp với thông tin về đạohàm

Vấn đề 17-20, đồ thị của y =f’(x), đạo hàm của một hàm số liên tục f, đã đượccho Trên một mặt đồ thị, vẽ đồ thị hàm số y =f(x) chứng tỏ rằng miền xác định,đối tượng là điều kiện cho ban đầu.

17.Điều kiện ban đầu f(2)= -2

Tập xác định: x∈ [1, 5]

18.Điều kiện ban đầu f(1)= 3

Tập xác định: x∈ [1,9]

19.Điều kiện ban đầu f(2)= 4

Tập xác định: x∈ [0,8]

20 Điều kiện ban đầu:Tập xác định: x∈ [-2,4]

Hàm số 21-26, biểu diễn điểm tới hạn xảy ra tại x=2 và sử dụng phép thử đạohàm cấp hai để xác định phương pháp đại số, ở đó điểm tới hạn này là cực đạitương đối hoặc cực tiểu tương đối Nếu phép thử không đủ, sử dụng dấu của đạohàm cấp một để quyết định Phác thảo đồ thị và vẽ nó trong một lân cận củax=2, vì thế xác nhận sự kết luận của bạn

21.f(x) =3 −

22.f(x) =− sin

a Sử dụng đạo hàm để tìm toạ độ x cho tất cả điểm tới hạn của f và f’.

b Giải thích tại sao điểm tới hạn trong phần a không xuất hiện trong đồ thị này

c Giải thích tại sao không có điểm cực đại và cực tiểu tại x=0, vì f’(0)=0

28.Đặt f(x) = 0.1x4– 3.2x + 7

Hình 8-2r

a Sử dụng đạo hàm để tìm toạ độ x của tất cả điểm tới hạn của f và f’

b Giải thích tại sao không có điểm của sự uốn tại x=0 vì f’’(0)=0

c Dưới điều kiện đã cho, f’(x) và f’’(x) có thể là một đồ thị ‘’thẳng đứng’’ hoặcđường nằm ngang?

29 Lấy f(x) = x

Hình 8-2s

a Dùng đạo hàm để tìm tọa độ x của tất cả các điểm tới hạn của f và f’.

b Làm thế nào bạn có thể nói rằng có một điểm uốn, mặc dù nó không biểuthị trên đồ thị ?

c Có đồ thị cắt trục x tại bất kỳ điểm nào khác hơn (0, 0 )không ? Biện minhcho câu trả lời của bạn.

31 cho f(x)= x

Hình 8-2u

a Dùng đạo hàm để tìm tọa độ x của tất cả các điểm tới hạn của f và f’.

b Giải thích tại sao có một đường tiếp tuyến tại đỉnh, mặc dù f’(x) khôngxác định ở đó

c Có một điểm uốn ở đỉnh phải không? Có 1 điểm uốn ở đỉnh hay ngược lại

ở bất cứ nơi nào khác?

32 cho f(x)=

Hình 8-2v

a Dùng đạo hàm để tìm tọa độ x của tất cả các điểm tới hạn của f và f’.

b Tiếp tuyến là đường thẳng tại x=0 Làm thế nào để bạn biết không cónhiều giá trị khác nhau của y tại x=0?

c Khi x < -2, đồ thị cong hay thẳng? nếu cong, mặt lõm sẽ hướng theo

hướng nào?

Đối với vấn đề 33-36

a Vẽ đồ thị Sử dụng TRACE, và tính năng tối đa và tối thiểu của graphercủa bạn, tìm đồ họa gần đúng tọa độ x và y của tất cả các cực đại địa phương,cực tiểu, và các điểm uốn tìm tối đa và tối thiểu toàn cầu

b Viết phương trình cho f’(x) và f”(x) sử dụng chúng để tìm số lượng hoặcgiá trị đại số chính xác của tọa độ x trong phần a

c Trình bày đạo hàm bậc hai áp dụng

38 giá trị cực đaị và cực tiểu của hàm bậc ba: những điểm cực đại và cực tiểucủa một hàm bậc ba được đặt đối xứng ở hai bên điểm uốn chứng minh rằngđiều này là đúng nói chung cho các hàm bậc ba f(x)= + + + Đối

với điều kiện các hệ số a, b, c, d, hai bên điểm uốn và điểm cực đại cực tiểu cách

xa bao nhiêu?

Đối với vấn đề 39-40, tìm phương trình đặc biệt của hàm bậc ba được mô tả sửdụng grapher của bạn để xác nhận kết quả của bạn

39 cực đại địa phương tai điểm (5, 10) và điểm uốn tại (3, 2)

40 cực đại địa phương tai điểm (-1, 61) và điêm uốn tại (2, 7)

41 khái niệm lõm: hình 8-2w biểu diễn đồ thị hàm f(x)= Tiếp tuyến được vẽtại x= -0.8, -0.5, 0.5, 0.8

Hình 8-2wTính độ dốc cho mỗi tiếp điểm

a Điều gì sẽ xảy ra với độ dốc nếu x tăng từ -0.8 đến -0.5? tương tự khi xtăng từ 0.5 đến 0.8? làm thế nào để xác định được giá trị đạo hàm bậc hai củanhững phát hiện này?

b Về phía nào của tiếp tuyến thì đồ thị của hàm ảo là đồ thị của hàm lõm tạitiếp điểm?

42 vấn đề gốc tọa độ: Ima Evian vẽ đồ thị của hàm = , dung x= -1, 0, và 1(hình 8-2x) từ ba điểm đó bà kết luận đồ thị là 1 đường thẳng giải thích choIma biết làm thế nào bà có thể dùng đạo hàm để tránh đưa ra những kết luận sailầm này

Hình 8-2x

43 Mối quan hệ giữa đạo hàm không đầu tiên và đồ thị: nếu ′( ) = 0, điềuđầu tiên bạn biết chắc chắn về đồ thị của f là có 1 tiếp tuyến nằm ngang tại x= c.phác thảo 1 đồ thị biểu diễn những hoạt động này trong lân cận của x= c

a f(x) ngừng tăng và bắt đầu giảm khi x tăng thông qua c.

b f(x) ngừng giảm và bắt đầu tăng khi x tăng thông qua c

c f(x) ngừng tăng nhưng bắt đầu giảm 1 lần nữa khi x tăng thông qua c

d b f(x) ngừng giảm nhưng bắt đầu tăng 1 lần nữa khi x tăng thông qua c

e f(x) vẫn liên tục tại địa phương khi x tăng qua c

44 vấn đề độ cong vô hạn: biểu diễn đồ thị hàm f(x)= 10( − 1) ⁄ + 2 được

xác định và khả vi tại x= 1, nhưng đạo hàm cấp hai là không xác định Khámphá những hoạt động của f(x) gần x= 1 bằng cách phóng to điểm đó trên đồ thịbằng cách xây dựng một bảng giá trị Mô tả những gì bạn khám phá

45 vấn đề hàm mũ và hàm đa thức tương tự nhau: hình 8-2y biểu diễn đồ thịhàm f(x)= . và g(x)= 1 + 0.06x + 0.0018 + 0.000036

Hình 8-2yThấy rằng mặc dù các đồ thị trông giống như f và g có giá trị hàm bằng nhau vàđạo hàm cấp một, cấp hai và đạp hàm cấp ba tại x= 0, nhưng chúng không phải

là những hàm đồng nhất

46 một hàm không khống chế được: xem xét các hàm piecewise:

Vẽ đồ thị của hàm f dùng 1 cửa sổ với [0, 2] cho x và [1.99, 2.01] cho y cho fxác định và lien tục và có đạo hàm cấp không tại x= 1, mặc dù đồ thị làm chomột số vô hạn chu kì như x gần đến 1 từ hai phía

47 vấn đề ghi chép hằng ngày: cập nhật ghi chép của bạn với những gì bạn đãhọc được từ mục cuối cùng Bao gồm những điều như:

- một trong những điều quan trọng nhất mà bạn đã học được từ mục cuối cùngcủa bạn

- các mối quan hệ giữa các dấu hiệu của đạo hàm cấp một và cấp hai và hoạtđộng của đồ thị hàm số

- làm thế nào các đạo hàm cấp một và hai được sử dụng để xác định vị trí cựcđại, cực tiểu, và các điểm uốn đại số

- làm thế nào để trau dồi các kiến thức về đạo hàm của bạn

- bất cứ kĩ năng hay ý tưởng gì về hoạt động của đồ thị vẫn chưa rõ ràng.

………

………

8.3 Những trị số cực đại và cực tiểu trong mặt phẳng và hình khối.

Trong mục 8-2, bạn đã tìm được giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số đã cho.Vấn đề của phần này yêu cầu bạn đầu tiên tìm phương trình tính diện tích, thểtích, hoặc chu vi của một hình hình học, sau đó sử dụng các phương pháp quenthuộc để tìm giá trị cực trị Kết quả là bạn có thể điều tra các tình huống thực tếnhư thế nào ngành công nghiệp đóng hộp tiết kiệm tiền bằng cách đóng gói khốilượng tối đa của sản phẩm với mức tối thiểu lượng kim loại

Mục tiêu: cho một mặt phẳng hoặc một hình khối, tìm giá trị cực đại và cực tiểucủa chu vi, diện tích, khối lượng ( thể tích )

Ví dụ 1:

Giả sử bạn cần phải xây dựng một bãi quây súc vật hình chữ

nhật dọc bờ sông Ba mặt của bãi quây súc vật sẽ được rào

chắn với dây thép gai Sông hình thành bên thứ tư bãi quây

súc vật (hình 8 - 3a) Tổng chiều dài của hàng rào có sẵn là

1000 ft diện tích tối đa bãi quay súc vật có thể có? Làm thế

nào các hàng rào được xây dựng để kèm theo diện tích tối đa

điều này? Biện minh cho câu trả lời của bạn

Giải pháp:

Hình 8-3a

Điều đầu tiên cần lưu ý là vấn đề yêu cầu bạn để tối đa hóa khu vực Vì vậy, bạncần một phương trình cho khu vực như một chức năng của một hay nhiều biến.cho A ứng với diện tích và x, y ứng với độ dài của hàng rào song song với vàvuông góc sông, tương ứng, bạn có thể viết A = xy

Tiếp theo bạn phải tìm thấy một trong các điều kiện của một biến Bởi vì cótổng cộng 1000 ft

hàng rào , bạn có thể viết một phương trình liên quan x và y

x + 2n = 1000 x = 1000 - 2n , trong đó y [ 0 , 500 ] Nếu x = 0, sau đó

Phép cộng dễ hơn phép lấy vi phân hơn phép nhân.

Phép nhân dễ hơn đặt phương trình bằng không hơn phép cộng

-−√2 không thuộc miền xác định

Hình 8-3dHình 8-3d biểu diễn giá trị lớn nhất tại x≈ 1.4 tại điểm uốn x= 0 Thể tích lànhỏ nhất tại các điểm dừng khác, thể tích cũng đạt giá trị nhỏ nhất

Thể tích lớn nhất tại x=√2 Thể tích tại điểm này là

V = (2)(4- 2) = 4 3 = 4.18879…

Có những bước quan trọng trong ví dụ 1 và 2 sẽ giúp bạn thành công trong vấn

đề max- min Các bước được liệt kê trong bảng này:

Phương pháp: phân tích các vấn đề của giá trị cực đại- cực tiểu

1 Làm 1 bản phác thảo nếu không có hình sẵn

2 Viết phương trình cho biến bạn đang cố tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất

3 Đưa phương trình về theo điều kiện của một biến và tìm miền xác định

4 Tìm gần đúng giá trị cực đại hay cực tiểu bằng đồ thị

5 Tìm giá trị cực đại hay cực tiểu chính xác tại những nơi thấy đạo hàmbằng không hoặc không xác định Kiểm tra bất cứ điểm dừng nào của miền xácđịnh

6 Trả lời câu hỏi bằng cách viết những yêu cầu cho câu hỏi

Đặt vấn đề 8-3:

Q1 đạo hàm : y =(3 + 5)

đồ ) Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó, đưa ra tổng diện tíchlớn nhất Biện minh cho câu trả lời của bạn

Hình 8 - 3F

2 bài toán nhà nghỉ: một nhà trọ sáu phòng sẽ được xây dựng với sàn nhàđược thể hiện trong hình 8 -3g mỗi phòng sẽ có 350 không gian sàn

Hình 8-3g

a Những kích thước nào nên được sử dụng cho các phòng để giảm thiểutổng chiều dài các bức tường ? Biện minh cho câu trả lời của bạn

b Câu trả lời sẽ thay đổi như thế nào nếu khách sạn bên đường có mườiphòng ? Nếu nó chỉ có ba phòng ?

3 bài toán 2 cánh đồng: Ella Mentary có 600 ft hang rào cho 2 cánh đồng.cánh đồng thứ nhất là hình chữ nhật có chiều dài rộng gấp đôi chiều rộng, và cáicòn lại hình vuông (hình 98-3h) cánh đồng hình vuông phải có ít nhất 100 Cái hình chữ nhật có ít nhất 800

Hình 8-3hNếu x là chiều rộng mảnh hình chữ nhật, thì giới hạn của x là gì?

a Vẽ đồ thị của tổng diện tích chứa trong 2 cánh đồng như 1 hàm của x

b Diện tích lớn nhất có thể đạt được trong 2 cánh đồng?

4 bài toán hai đảo san hô: bạn làm việc trên trang trại của Bill Spender Billnói với bạn xây dựng một hang rào tròn xung quanh hồ và sử dụng phần còn lạicủa 1000 yards của bạn để xây hàng rào quanh hồ hình vuông (hình 8-3i) để giữcho hang rào ra khỏi nước, đường kính của vòng tròn bao vây phải có ít nhất 50yards

Hình 8-3iNếu bạn sử dụng tất cả 1000 yards rào, làm thế nào bạn có thể xây dựng hàngrào để có thể có tổng diện tích nhỏ nhất? biện minh cho câu trả lời của bạn/

a Bạn sẽ nói với Bill những gì nếu anh ấy yêu cầu bạn xây hang rào đểdựng xung quanh với tổng diện tích tối đa?

5 mở hộp I: 1 hộp hình chữ nhật với một đáy hình vuông và không có mặt trên (hình 8-3j) được dựng và sử dụng tổng cộng 120 bìa các- tong

hình 8-3k

a Mỗi nhóm phải chọn 1 giá trị x khác nhau như 1, 2, 3, 4,… Sau đó cắt rahình vuông từ giấy biểu đồ, và gấp và buộc lại tạo thành hình dáng chiếc hộp.giá trị lớn nhất có thể của x là bao nhiêu?

b Tính thể tích của mỗi hộp với giá trị nguyên nào của x thì hộp có thể tíchlớn nhất?

c Tìm giá trị của x để hộp có thể tích lớn nhất? thể tích đó là bao nhiêu?

8 Mở hộp IV ( dự án): hình 8-3l cho thấy 1 hộp hở đầu có đáy là hình chữnhật cạnh x*y đơn vị và hai mặt bên là hình chữ nhật

cơ sở hình học, đưa ra lý do bạn có câu trả lời đó?

9 Bài toán khoảng cách ngắn nhất: trong hình 8-3m, điểm nào trên đồ thị y=gần với gốc nhất? biện minh cho câu trả lời của bạn?

Hình 8-3m

10 Bài toán đường rãnh và cánh đồng: 1 đường rãnh có chu vi 400m đượcđặt ra ngoài 1 cánh đồng thực hành (hình 8-3n) mỗi đầu có hình bán nguyệt vàbán kính ít nhất 20m, và mỗi thắng phải có ít nhất 100m

Hình 8-3n

11 Bài toán cái thang: 1 cái thang dùng để vượt qua hàng rào cao 8 ft để 1bức tường cách đó 1ft phía sau hàng rào ( hình 8-3o) chiều dài ngắn nhất củacái thang mà bạn có thể sử dụng là ? biện luận câu trả lời của ban

Hình 8-3o

12 Bài toán thang trong hội trường: 1 cái thang để xung quanh 1 góc nơi 2hành lang vuông góc với nhau ( hình 8-3p) 1 hội trường rộng 7 ft, và cái kia

rộng 5 ft chiều dài tối đa các bậc thang để có thể vượt qua xung quanh 1 gócnhư vậy là bao nhiêu, cho rằng bạn phải thực hiện các thang song song với sànnhà?

Hinh 8-3p

13 Bài toán quay hình chữ nhật: 1 hình chữ nhật có chu vi 1200mm đượcquay trong không gian sử dụng 1 chân của nó như là trục (hình 8-3q) các thểtích bao bọc bởi các hình trụ có kết quả phụ thuộc vào tỉ lệ của hình chữ nhật.tìm kích thước tối đa của hình chữ nhật

Hình 8-3q

14 Bài toán tổng hợp xoay hình chữ nhật: hình chữ nhật có diện tích lớn nhấtđược cho bởi chu vi P là 1 hình vuông Quay 1 hình vuông xung quanh nhữngmặt bên của nó (như trong bài toán 13) tao ra thể tích hình trụ lớn nhất phảikhông? Nếu đúng, chứng minh nó Nếu không như vậy, tỉ lệ sản thể tích hình trụtối đa là bao nhiêu?

15 Bài toán hộp thiếc: 1 kích cỡ thong dụng của hộp thiếc với tỉ lệ “bìnhthường” có đường kính 7.3cm và cchieeuf cao 10.6cm (hình 8-3r)

Hình 8-3r

a Thể tích của nó là bo nhiêu?

b Thể tích được giữ không đổi, nhưng các tỉ lệ này được thay đổi viết 1phương trình thể hiện tổng số bề mặt của chiếc hộp (bề mặt bên cộng với 2 đầu)như 1 hàm của bán kính và chiều cao Chuyển đổi phương trnhf sao cho thể tíchthuộc 1 bán kính.

c Tìm bán kính và chiều cao của hộp để hạn chế tối đa diện tích bề nặt của

nó hộp cao và hẹp hay ngắn và rộng? tỉ lệ giữa đường kính và chiều cao là baonhiêu? Biện luận câu trả lời của bạn

d Có phải 1 chiếc hộp bình thường có thể sử dụng gần tối thiểu hộp kimloại? tỉ lệ phần trăm những gì trong kim loại có thể giúp bạn tiết kiệm bằng cách

sử dụng hộp với kích thước nhỏ nhất?

e Nếu Mỹ sử dụng 20 triệu trong số lon này 1 ngày và số kim loại trong hộp

là bình thường trị giá 0.06$ thì bao nhiêu tiền có thể được lưu tong 1 năm bằngcách sử dụng hộp với diện tích tối thiểu?

16 Dự án khái quát đồ hộp: đồ hộp có giá thấp nhất trong bài toán 15 khôngnhất thiết phải có diện tích mặt nhỏ nhất trong trường hợp này bạn sẽ tìm hiểuảnh hưởng của việc lãng phí kim loại trong quá trình sản xuất và hồng chéo kimloại trong các đường nối

a Cho rằng kim loại của hộp trong phần kết của vấn đề 15 chi phí k lần sovới mỗi centimet vuông như các kim loại cho ở bức tường trong hình trụ Tì giátrị của k để làm hộp có giá thấp nhất có thể có tỉ lệ hộp bình hường

b Cho rằng hộp kim loại thong thường trong phần 15 được cắt từ nhữnghình vuông và những kim loại còn lại là từ các hình vuông rất lãng phí Giá trịnào ocuar k trong 1 phần giảm thiểu chi phí của các hộp bình thường dưới nàygiả định? Hộp sử dụng số tiền tối thiểu của kim loại dưới đây giả định gần với tỉ

lệ của hộp bình thường hay xa hơn?

c Thong số kĩ thuật yêu cầu phần cuối của hộp được làm từ các điiểm kimloại có nhô ra 0.6cm tất cả các đường xung quanh Điều này cung cấp đủ chồnglên nhau để chế tạo các hộp khớp trên và dưới cũng cần có thêm 0.5cm bằngkim loại trong chu vi của hộp cho sự chồng chéo trong đường may tẳng đứng.làm hế nào để những thong số kĩ thuật này ảnh hưởng tối thiểu đến kích thướccủa diện tích hộp trong bài toán 15?

17 Bài toán cái cốc: bạn được Công ty Cup Yankee thuê làm việc hộ hiệnđang làm 1 trụ cốc giấy có đường kính 5cm và cao 7cm công việc của bạn làtìm cách để tiết kiệm giấy bằng cách làm những chiếc cốc cùng lượng chất lỏngnhưng có tỉ lệ khác nhau

a Tìm kích thước của cốc hình trụ có cùng thể tích để sử dụng ít giấy nhất

b Tỉ lệ đường kính và chiều cao là bao nhiêu để có diện tích cốc nhỏ nhất?

c Giấy có giá 2.00$ cho mỗi mét vuông Yankee làm 300 triệu loại cốc nàymỗi năm Viết 1 đề nghị với sếp để nói với bà ấy bạn nghĩ nó sẽ đáng giá nếuthay đổi kích thước của cốc Yankee để những cái cốc có giá thấp nhất chắcchắn rằng diện tích của chiếc cốc là nhỏ nhất.

d Nói chung nếu 1 chiếc cốc có thể tích V có tổng diện tích mặt trên nhỏnhất thì bán kính bằng chiều cao

18 Bài toán ống dẫn: 1 ống dẫn làm bằng kim loại nối với một hình chữ nhật

mở trong hệ ốngđiều hòa không khí hình khác hình chữ nhật hở(hình 8-3s) hìnhchữ nhật bên trái tại x=0 in và bên phải là x=100 in cắt ngang vuông góc vớitrục x là hình chữ nhật có chiều rộng z= 30 + 0.2x và y= 40 – 0.2x

Hình 8-3s

a Tìm diện tích của 2 hình chữ nhật cuối

b Diện tích mặt cắt ngang của ống tại x= 80 là bao nhiêu?

c Giá trị nào của x cho diện tích tối đa và diện tích tối thiểu?

19 Bài toán hình chữ nhật trong đường hình sin: 1 hình chữ nhật được mô tảtrong các khu vực được bao bọc bởi vòng cung của đồ thị y=cos và trục x(hình 8-3t) giá trị nào của x cho diện tích lớn nhất? diện tích lớn nhất đó là baonhiêu?

Hình 8-3t

20 Bài toán xây dựng: kế hoạch của Tom Oshea là xây dựng cửa hàng giadụng anh ấy mua rất nhiều quầy hình chữ nhật 50ft đến 200ft dọc theo đườngphố Cửa hàng có 4000 không gian sàn Chi phí xây dựng là 100$ cho mỗiđường dọc sàn cho 1 phần của các cửa hang dọc theo đường phố nhưng chỉ 80$

1 chân cho các phần dọc theo 2 bên Kích thước các cửa hàng sẽ có chi phí xâydựng thấp nhất là bao nhiêu? Biện luận cho câu trả lời của bạn

21 Bài toán tam giác dưới cotag: 1 tam giác vuông có đỉnh tại gốc tọa độ và 1chân dọc theo trục x các đỉnh khác tiếp xúc với đồ thị của y= cotx, như biểudiễn trong hình 8-3u

Hình 8-3u

a Như góc vuông dần tiến tới đỉnh, chiều cao của tam giác dần tiến đến vôcùng, và chiều dài đáy dần tiến tới không Tìm giới hạn diện tích khi góc vuôngdần tiến đến gốc

b Diện tích lớn nhất của tam giác có thể có nếu miền giới hạn nửa mở (0, ]

là bao nhiêu? Biện luận câu trả lời của bạn

22 Bài toán tam giác dưới đường tròn mũ: 1 tam giác vuông có 1 chân nằmtrên trục x đỉnh ở cuối bên phải của chân đó là điểm (0, 3) Các đỉnh còn lạitiếp xúc với đồ thi hàm số y= Toàn bộ tam giác nằm trong góc phần tư thứnhất tìm diện tích lớn nhất của tam giác này Biện luận cho câu trả lời của bạn

23 Bài toán hnhf chữ nhật trong parabol: 1 hình chữ nhật nằm trong khu vựcgiới hạn của trục x và parabol y= 9 -

24 Bài toán hình trụ trong parabol: trong hình 8-3w, parabol y= 9 - đượcquay quanh trục y để tạo thành 1 parabol 1 hình trụ đồng trục nội tiếp trongparabol.

e Xoay hình chữ nhật có diện tíc lớn nhất trong bài 23a sẽ có được hình trụ

có thể tích lơn nhất hay không?

f Nếu hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong parabol được tạo thànhbằng cách xoay parabol y= − quanh trục y, thì tỉ lệ (bán kính hình trụ :bán kính parabol) phụ thuộc theo bất cứ chiều dài nào của parabol không? (cónghĩa là, nó có phụ thuộc vào hằng số a nào không?) biện luận câu trả lời củabạn

25 Bài toán hình trụ trong hình cầu: 1 ình trụ nội tiếp trong hình cầu có bánkính 10cm ( hình 8-3x) đáy và chóp trên của hình trụ tiếp xúc với bề mặt củahình cầu thể tích của hình trụ sẽ phu thuộc măc dù nó cao và hẹp hoặc ngắn vàrộng

Hình 8-3z

a Cho (x, y) là tọa độ của 1 điểm trên đường tròn, như hình vẽ viết phươngtrình cho thể tích hình trụ theo x và y

b Bán kính và chiều cao của hình trụ nào sẽ cho thể tích tối đa? Thể tích tối

đa đó là bao nhiêu? Giải thích?

c Bán kính và chiều cao của hình trụ có thể tích lớn nhất lien quan với nhaunhư thế nào?thể tích lớn nhất của hình trụ có liên quan thế nào với thể tích hìnhcầu?

26 Bài toán hình nón mũi hình nón: trong thiết kế của 1 tên lửa mũi hình nón,điều quan trọng là giảm thiểu được diện tích bề mặt tiếp xúc với không khí.Theo khí động học, hình nón phải dài và mảnh Giả sử 1 hình nón tròn mũi nónchứa 1 thể tích 5 Tìm bán kính và chiều cao của hình mũi nón diện tíchmặt bên nhỏ nhất, chịu sự hạn chế đó thì chiều cao phải ít nhất bằng 2 lần bánkính của các cơ sở (sự khác biệt sẽ dễ dàng hơn nếu bạn hạn chế tối đa hìnhvuông của diện tích)

27 Bài toán hình trụ trong hình nón: trong hình 8-3y, 1 hình nón có chều cao7cm và bán kính cơ sở 5cm có 1 hình trụ nội tiếp trong nó, với các cơ sở củahình trụ chứa trong các cơ sở của hình nón

Hình 8-3y

a Tìm bán kính của hình trụ có diện tích bên lớn nhất (chỉ bên)

b Tìm bán kính hình trụ có toonhgr diện tích lớn nhất (bao gồm cả mặt trên

và dưới) biện luận cau trả lời của bạn

28 Bài toán hình trụ tổng quát trong hình nón: 1 hình nón có 1 hình trụ nọitiếp trong nó, với cơ sở của nó chứa trong cơ sở của hình nón

a Bán kính của hình nón và hình trụ lien quan đến các mặt bên của hình trụ

có diện tích lớn nhất như thế nào? Biện luận câu trả lời của bạn

b Tìm bán kính của hình trụ có diện tích lớn nhất

c Nếu hình nón thấp và to, tổng diện tích lớn nhất xảy ra ứng với chiều caocủa hình trụ giảm đến không và tất cả các vật liệu được dùng các cơ sở trên vàdưới bán kính và chiều cao hình nón bằng bao nhiêu để hiện tượng này xảy ra?

29 Bài toán ellipse mũi hình nón: 1 phần mũi hình nón của máy bay chởhàng là 1 nửa hình ellipse có đường kính 8m và chiều dài 9m (hình 8-3z) mũithay đổi mở được để 1 hàng trụ container có thể đặt được bên trong Thể tích lớnnhất conainer có thể giữ là bao nhiêu?

Hình 8-3zBán kính và chiều cao lớn nhất của container này là bao nhiêu? Giải thích

30 Dự án áp suất than tàu ngầm: theo 1 thiết kế mới, phía cuối của 1 thân tàungầm sẽ được xây dựng trong hình dạng của 1 parabol dài 16m và đường kính8m (hình 8-3aa) Vì đây là 1 mặt cong gấp đôi, nên rất khó để uốn cong các tấmthép dày thành hình dạng này Vì vậy các parabol được làm bằng thép tương đốimỏng, và thân tàu áp lực xây dựng bên trong là 1 hình trụ (1 bề mặt cong đơnlẻ) 1 hihf nón cụt cũng là 1 bề mặt đơn lẻ uốn cong, điều đó sẽ có thể làm dễdàng và có thể chứa thể tích nhiều hơn (hình 8-3bb) Làm thế nào để có thể tíchlớn hơn chứa trong các hình nón cụt lớn hơn trong hình trụ? 1 số thứ bạn cần tìm

là phương trình của parabol này nói riêng và phương trình cho thể tích hình chópcụt của 1 hình nón nói chung

Hình 8-3aa

Hình 8-3bb

31 Bài toán tính chất của cực đại địa phương: những định nghĩa của cực đạiđịa phương như sau: f(c) là cực đại địa phương của f trên khoảng (a, b) khi vàchỉ khi f(c)≥ f(x) với tất cả mọi giá trị của x trong (a, b) hình 8-3cc minh họacho định nghĩa này

Hình 8-3cc

a Chứng minh f(c) là cực đại địa phương của f trên (a, b) và f khả vi tại x= ctrong (a, b) thì f’(c)= 0 (xem xét các dấu hiệu thowowngsoos khi x nằm bênphải và bên trái của c, sau đó tìm giới hạn trái và phải )

b Giải thích tại sao tính chất trong phần a là sai nếu không có giả thiết f khả

vi tại x= c?

c Giải thích tại sao this chất ngược lại trong phần a là sai?

32 Tính chất của baiix quay súc vật với tường thấp: Millie Watt cài đặt 1hàng rào điện xung quanh 1 bãi quây hình chữ nhật dọc theo tường phần hoặctoàn bộ tường tạo thành tất cả hoặc 1 phần của của 1 bên bãi quây Tong chiềudài của hàng rào (không bao gồm tường) là 1000 ft tìm diện tích lớn nhất mà cô

ấy có thể kèm theo nếu:

a Bức tường dài 600 ft (hình 8-3dd, bên trái)

b Bức tường dài 400 ft ( hình 8-3dd, ở giữa).

c Bức tường dài 200 ft (hình 8-3dd, bên phải)

Hình 8-3dd33

- Một trong những điều quan trọng nhất bạn đã hộc được từ mục cuối củabạn

- Các tính năng quan rtrongj của đồ thị của 1 hàm mà đạo hàm cấp 2 của nónói cho bạn biết

- Làm thế nào bạn giải quyết những vấn đề thế giới thực liên quan đến giátrị cực đại và cực tiểu

- Bất kì kĩ thuật hay ý tưởng nào veef bài toán giá trị cực trị chưa rõ rangvới bạn

………

………

8.4 Thể tích của 1 khối tròn xoay bởi vỏ hình trụ

Trong chương 5, bạn đã học cách để tìm thể tích của khối tròn xoay vuông gócvới trục xoay Hình 8-4a cho thấy miền thuộc đồ thị y=4 − từ x= 0 đến x=

3 xoay quanh trục y tạo thành 1 hình khối cắt vuông góc với trục quay làm chochiều dài của hàm y (đường- đường cog) từ y= 0 đến y= 3 và (đường cong-đường cong) lập từ đó Cắt song song với trục xoay này rất khó

Hình 8-4aNhư khu vực quay, mỗi dải song song với trục quay tạo ra 1 vỏ hình trụ, nhưtrong hình 8-4b trong phần này bạn sẽ tìm thấy thể tích của khối bằng cách tíchhợp , thể ích của 1 vỏ điển hình

Hình 8-4b

Vỏ tron hình 8-4b going như chiếc lon thiếc mà không có phần kết thúc Từ 1cái vỏ mỏng, bạn có thể thấy thể tích của bằng cách cắt giảm bên và lăn raphẳng (hình 8-4b, bên phải) kết quả là hình chữ nhật đặc có kích thước gầnđúng

Chiều dài: chu vi của vỏ tại điểm mẫu (2 , trong trường hợp này)

Chiều rộng: chiều cao của vỏ tại điểm mẫu (y, trong trương hợp này)

Độ dày: chiều rộng của dải ( , trong trường hợp này)

Thể tích của khối sẽ bằng tổng của vỏ được đưa bởi tính chất này

TÍNH CHẤT: thể tích khối sẽ bằng khoảng tổng của thể tích vỏ

Thể tích khối sẽ gần bằng tổng thể tích của vỏ ( hình 8-4c) thể tích chính xác sẽbằng giới hạn của tổng- đó là số nguyên không xác định Các vỏ trong cùng làtại x= 0 và ngoài cùng là tại x= 3 Do đó những giới hạn của tích phân sẽ từ 0đến 3 (phần của khối từ x= -3 đến x= 0 đơn giản là hình ảnh của khu vực luânchuyển, không phải củ khu vực riêng mình) ví dụ 1 cho thấy các chi tiết của thể

tích khối rắn này

Ví dụ 1: miền dưới đồ thị y=4 − từ x= 0 đến x= 3 quay quanh trục y để tạothành 1 khối tìm thể tích của khối bằng cách cắt hình thành vỏ hình trụ Sử dụngđịnh lý cơ bản để có được câu trả lời chính xác Cho thấy câu trả lời của bạn là

Đáp án: thể tích của của vỏ hình trụ là

= 2Thế4 − cho y ta có

Thể tích được tìm thấy bằng cách them tất cả cua dV và lấy giới hạn ( tích hợp)

= 2 (4 − ) = 2 (43 −14

= 2 36 − − 0 + 0 = 31.5 = 98.96 …Kiểm tra: thể tích của hình trụ ngoại tiếp: π*3 *4= 36 > 31.5

Trong trường hợp bạn đang tự hỏi liệu sự biến dạng của vỏ như khi bạn cuộn nó

ra phẳng gây ra câu trả lời cuối cùng 31.5 không chính xác, câu trả lời là không.như∆ dần tiến đến không, do đó không chính xác trong xấp xỉ vỏ> trong vấn

đề C4 mục 11-7, bạn sẽ biết rằng nếu giá trị gần đúng của dV khác với giá trịchính xác bằng vô cùng bé bậc cao hơn, ví dụ (dx)(dy), thì tích phân sẽ cho giátrị thể tích chính xác Bạn có thể dùng cỏ trụ để tìm thể tích khi gặp phải nhữngđiều kiện này

Kết quả không phải là xung quanh trục y

Các trục quay không phải là rang buộc của tích phân

Cả hai đầu của chiều cao vỏ là biến

Ví dụ 2 cho tấy cách này có thể được thực hiện

Ví dụ 2: cho R là miền giới hạn dưới của đồ thị y= , trên đồ thị y= 2, và bêntrái đồ thị y= x tìm thể tích khối tạo ra khi R thay đổi theo đường y= -1 Giả sử

x và y là chân Cho thấy âu trả lời của bạn là hợp lí

Đáp án: đầu tiên vẽ miền, như trong hình bên trái của hình 8-4d tìm thấy cácgiao điểm của đồ thị Cắt song song với trục quay Đánh dấu 2 kết quả điểm mẫunhư (x1, y) và (x2, y) sau đó xoay miền về đường y= -1 Như thể hiện trong sơ

đồ giữa của hinhf8-4d, nó giúp để vẽ nửa sau của hình khối (nếu không, sơ đồlộn xộn khó thấy được các dòng) Cuộn ra khỏi vỏ và tìm dV

dV= chi vi*chiều cao*độ dày

= 2 ( + 1)( − )Cho đường cong = , chứng minh x1=

Cho đường thẳng y=x, chứng minh x2=ydV=2 ( + 1)( − )

V= ∫ 2 ( + 1)( − )

= 4.5 = 14.1371 ≈ 14.1

Hình 8-4dKiểm tra: hình trụ bên ngoài - hình trụ bên trong = ∗ 9 ∗ 3 − ∗ 4 ∗ 3 =

1 h 8-4f thể hiện hình khối tạo thành từ việc quay quanh trục y phần dâycung I của đồ thị hàm y = 4 – x2.

2 Hình 8-4g thể hiện một hình khối được tạo thành từ việc quay quanh trục

x phần dưới đồ thị của hàm y = x2/3 từ x = 0 đến x = 8

Hình 8-4g

a Chiều cao của vỏ hình trụ trong giớ hạn của điểm mẩu (x, y) là bao nhiêu?

b Tìm thể tích dV của vỏ hình trụ Khi dV thay đổi thì giớ hạn của nó cũngbiến thiên

c Tìm thể tích chính xác của hình khối bởi việc sử dụng các định lý cơ bản.

d Tìm thể tích bằng việc lập lại các miếng phẳng Câu trả lời đó có tương tựnhư câu trả lời

ở phần c không?

Cho bài 3 – 18 Tìm thể tích của hình khối tạo bởi các miếng vỏ hình trụ Bạn cóthể dùng phép lấy tích phân bằng số Dùng các hệ thức quen thuộc trong hìnhhọc để thể hiện rằng câu trả lời của bạn là hợp lý

3 Quay quanh trục y phần dưới đồ thị hàm y = -x2 + 4x +3 từ x = 1 đến x =4

4 Quay quanh trục y phần dưới đồ thị hàm y = x2 – 8x +17 từ x = 2 đến x

=5

5 Quay quanh trục x phần bị chặn bởi trục y và hàm x = -y2+ 6y -5

6 Quay quanh trục x phần bị chặn bởi trục y và hàm x = y2– 10y + 24

7 Quay quanh trục y phần trên của đồ thị hàm y = x3 mà bị chặn bởi đườngthẳng x = 1 và y = 8 ( hình 8-4h)